《计算机数值方法教学课件》第三章偏微分方程的数学性质

空天工程中的数值计算方法,国防科技大学航天与材料工程学院,任课教员：雷勇军李洁罗振兵联系电话：1397519597176452（军线）Email:lijiegfkd.mtn办公室：航天学院C-215,授课内容安排,第三章偏微分方程的数学性质第四章有限差分法的基本概念第五章线性偏微分方程的有限差分法第六章流体力学控制方程的有限差分法,教材和参考书,教材计算流体力学基础及其应用JohnD.Anderson著，吴颂平刘赵淼译.机械工业出版社，2007.,参考书,1、计算流体力学基础，苏铭德等，清华大学出版社，1997.2、计算流体力学差分方法的原理和应用，张涵信沈孟育著，国防工业出版社，2003.3、计算流体力学方法及应用，阎超，北京航空航天大学出版社，2007.,与教材对应的内容安排,第三章偏微分方程的数学性质（教材第3章）第四章有限差分法的基本概念（教材第4章）第五章线性偏微分方程的有限差分法（教材第6章）第六章流体力学控制方程的有限差分法（教材第2、5、9章）,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,F18StoreSeparation,HypersonicLaunchVehicle,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,ExternalAerodynamics,InteriorVentilation,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,汽车尾流数值模拟,观后镜的数值模拟,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,Polymerizationreactorvessel-predictionofflowseparationandresidencetimeeffects.,Twin-screwextrudermodeling,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,防洪堤与分洪区规划研究,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,台风流动形式CFD结果,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,城市干道CO污染分布模拟,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,船舶、潜艇与水面、波浪计算,应用算例,航空航天汽车工业制造工业土木工程环境工程船舶制造,应用算例,其它（体育等）,应用算例,其它（生物等）,蜜蜂拍翅过程表面压强变化,应用算例,其它（生物等）,鱼体表压强分布,鱼体表速度梯度分布,第三章偏微分方程的数学性质,3.1偏微分方程基本概念3.2偏微分方程的分类3.3典型方程3.4定解问题的适定性,3.1偏微分方程基本概念,1、偏微分方程的一般形式,3.1偏微分方程基本概念,方程的阶：未知函数导数的最高阶数方程的次数：最高阶导数的幂次线性、拟线性、非线性齐次、非齐次,3.1偏微分方程基本概念,线性、拟线性、非线性,微分方程中各项关于未知函数及其各阶导数均为一次，则称为线性的。,微分方程若不是线性的，但对未知函数的所有最高阶导数都是线性的，则称为拟线性的。不是线性又不是拟线性的方程，称为非线性的。,3.1偏微分方程基本概念,齐次、非齐次,在线性微分方程中，不带未知函数及其导数的项，称为自由项。,当自由项不恒为零时，方程称为非齐次的，否则称为齐次的。,3.1偏微分方程基本概念,例：,一阶一次拟线性非齐次,一阶二次非线性齐次,二阶一次线性非齐次,3.1偏微分方程基本概念,初始条件边界条件,2、定解条件,第一类边界条件：第二类边界条件：第三类边界条件：,3.1偏微分方程基本概念,初值问题（Cauchy问题）边值问题初边值问题,3、定解问题,3.2偏微分方程的分类,分类方法：,Cramer法特征值法特征线法,3.2偏微分方程的分类,1、Cramer法,其中,3.2偏微分方程的分类,1、Cramer法,3.2偏微分方程的分类,1、Cramer法,3.2偏微分方程的分类,1、Cramer法,特征方程,特征线,3.2偏微分方程的分类,1、Cramer法,0,=0,0(hyperbola)双曲线，0(ellipse)椭圆，0(parabola)抛物线。,平面正交变换，三种标准型：,3.2偏微分方程的分类,1、Cramer法,3.2偏微分方程的分类,导数值确定且与方向无关,导数值不确定,特征方程,相容方程,1、Cramer法,3.2偏微分方程的分类,1、Cramer法,例：,椭圆型,抛物型,3.2偏微分方程的分类,2、特征值法,一般形式:,全为复数；不同实数；全为零；部分为实数，部分为复数；全为实数，部分相同。,椭圆型双曲型抛物型双曲-椭圆型双曲-抛物型,3.2偏微分方程的分类,2、特征值法,例:,令,则,3.2偏微分方程的分类,2、特征值法,3.2偏微分方程的分类,3、特征线法,一般形式:,特征方程：,全为复数；不同实数；全为零；部分为实数，部分为复数；全为实数，部分相同。,椭圆型双曲型抛物型双曲-椭圆型双曲-抛物型,3.2偏微分方程的分类,例:,3、特征线法,双曲型,3.3典型方程,波动方程扩散方程Laplace方程Burgers方程,3.3典型方程,（i）,特征线:,平行直线,解:,1、波动方程,信息影响域,信息依赖域,特征线C.Ls.:,平行直线,解:,Hyperbolic（双曲型）,3.3典型方程,1、波动方程,精确解：,计算域：,3.3典型方程,1、波动方程,3.3典型方程,1、波动方程,（i）,特征线:,平行,特征线:,相交,解:,解:,3.3典型方程,1、波动方程,若,则,0t1:,连续解,t1:,间断解,弱间断,强间断,3.3典型方程,1、波动方程,（ii）,特征线:,解析解:,双曲型,3.3典型方程,2、扩散方程,抛物型,t0a),0个,1个,3个,2个,(u0,ua),3.4定解问题的适定性,双曲型,抛物型,椭圆型,1)物理现象,2)解的性质,3)定解