7_第五章_弯曲应力

1,上一讲回顾,力学基础：梁微段的平衡,几何意义：线性看微分，段值看积分，q值确定凹凸性。,根据数学函数画剪力弯矩图,利用微分关系的几何意义画剪力弯矩图,分析步骤：,建立坐标,分段建立剪力、弯矩方程,画剪力弯矩图,求支反力,Fs图:斜率q=常数,Fs直线;q0,上斜;q0,上斜；Fs0处,M图凹;q0处,M图凸(喻:雨伞),校核:两图右边回零点.,分析步骤：,求特征截面的剪力、弯矩值,根据微分关系，确定各段曲线的形状,根据剪力、弯矩图的封闭性，校核,求支反力,跟着箭头走先求支反力，从左往右去。,根据剪力图，两点对一段；若遇外力偶，顺上逆下走。,3,变形,强度准则,外力,杆件,内力,应力,应变,材料性能,材料力学分析的基本路径,4,若梁的横截面积相同,(1)，(2)两种情况那种情况对梁承载有利？,5,5-2弯曲正应力,第五章弯曲应力,5-1引言,附录A截面几何性质,6,5-1引言,伽利略指出：,如果杆件断裂，断口将发生在根部A-B部位，,原因：固接的边缘充当施力杠杆BC的支点，而杆的厚度BA则是杠杆的另一臂，沿BA作用有抗力。此抗力阻止墙内部分与墙外部分BD分离,7,建立了“实验观测假设分析与推导”的现代科学研究方法,受当时实验条件的局限,静力不平衡19世纪初才由L.Poinsot以静力学公理明确阐明刚体上力系的简化与平衡,伽利略开创性研究的评述,1.局限性,2.开创性,8,下图公式中S应由S/2代替，离正确结论仅一步之差。,结论：矩心位置无关紧要。,马略特（1680）的研究,设，以B点为矩心中图：,下图：D为矩心，,发现有的纤维拉伸，有的纤维压缩,9,弯曲正应力,弯曲切应力,梁弯曲时横截面上的内力和应力,5-2对称弯曲正应力,弯曲正应力,弯曲切应力,10,对称弯曲,纯弯曲,寻找横截面上的应力分布最简单的弯曲变形模式作为研究对象,+,外力作用在纵向对称面上,横截面上只有弯矩,对称弯曲与纯弯曲,11,对称弯曲：,梁具有纵向对称截面，且在纵向对称面内承受横向外力（或外力的合力）时的受力与变形形式。,12,纯弯曲,纯弯曲：梁或梁段各横截面剪力为零、弯矩为常数。横力弯曲：既有剪力又有弯矩。,13,对称纯弯曲的弯曲正应力分析,横截面上的内力与应力的关系：,弯曲应力问题是一个静不定问题,问题关键确定应力在横截面上的分布，How？,14,研究思路静不定问题的分析方法几何、物理、平衡三方面分析,1、几何方面,观察外部变形,假设内部变形,建立几何方程（应变分布）,应力分布,物理方程,2、物理方面,应力公式,静力方程,3、平衡方面,15,实验观察,外部变形观察结果：,横线：,纵线：,1、平面假设：变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交,2、单向受力假设：梁内各纵向纤维仅受轴向应力,一、实验观测与基本假设,横截面：缩短区宽度增加，伸长区宽度减小。,16,推论：,一侧伸长，一侧缩短,存在既不伸长，也不缩短的面,中性层,中性层,中性轴,中性轴截面纵向对称轴,变形过程中横截面间绕中性轴相对转动,17,1.几何方面,考察线段ab的变形：,变形前：,变形后：,二、弯曲正应力一般公式,18,2.物理方面,由胡克定律和单向受力假设：,y偏离中性轴的坐标值（坐标原点位于中性轴）r中性层的曲率半径,19,3.静力学方面,定义：,确定中性层的曲率半径,20,结论：,三、最大弯曲正应力,定义,（抗弯截面系数）,21,典型截面的惯性矩与抗弯截面系数,各种标准型钢的惯性矩与抗弯截面系数可查手册,22,小结,中性轴过截面形心,中性轴位置：,正应力公式：,中性层曲率：,对称弯曲与纯弯曲,应用条件：,细长梁的非纯弯曲（下节讨论）,23,例已知：钢带厚d=2mm,宽b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。计算：带内的smax与M。,解：1.问题分析,应力变形关系：,内力变形或内力应力关系：,已知r=(D+d)/2,E,截面尺寸，可应用下述关系求应力与内力,或,24,2.应力计算,3.弯矩计算,或,25,附录A截面几何性质,截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。,拉压：,扭转：,弯曲：,A,IP,WP,Iz,Wz表征截面几何性质的量,回顾：我们已经学习了哪些截面的几何性质？,受力杆件的应力与应变，不仅与外力相关，而且与截面的几何性质也相关。,26,A-1静矩与形心,一、静矩,积分：,分别称为对坐标轴z和y的静矩或一次矩。,静矩的量纲：,同一图形对不同的坐标轴，静矩不同。,静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。,单位：m3或mm3,27,二.形心,回顾理论力学的质心计算公式：,均质等厚薄板质心位于中面形心,静矩：,或,如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。形心轴：通过截面形心的坐标轴。,28,三、组合截面的静矩与形心,组合截面对某轴的静矩各个组合部分对同一轴静矩之和。,组合截面的形心,29,图形中挖去一块面积，计算时可把看成负面积,30,例：确定下图所示截面的形心位置.,解：将截面分为两部分，利用组合截面的公式：,31,A-2极惯性矩惯性矩,1、截面对o点的极惯性矩或二次极矩,2、截面对z轴或y轴的惯性矩或二次轴矩,3、一个恒等式,图形对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和等于它对该两轴交点的极惯性矩。,32,若梁的横截面积相同，(1)、(2)两种情况那种情况对梁承载有利？,矩形截面,33,圆形截面,三角形截面,空心圆截面,34,二、惯性矩的平行移轴定理,Cy0z0形心直角坐标系,Oyz任意直角坐标系,二者平行,同理:,一、简单截面惯性矩,截面对任意坐标轴z的惯性矩等于对其形心轴Zo的惯性矩Izo，加上两轴间距离平方与截面积的乘积。,A-3惯性矩的平行轴定理,35,三、组合截面的惯性矩,组合截面对任一轴的惯性矩，等于各组成部分对同一轴的惯性矩之和。,36,例：求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩,1、求全截面形心轴位置,2、求对各部分自身形心轴的惯性矩,解：方法一，如图将截面划分四块,3、求对全截面形心轴惯性矩,方法二：负面积法。自行完成,37,思考：下列计算是否正确(C为截面形心)?,答：不正确，因为Z1不是形心轴。,38,求截面B-B上的最大拉/压应力,例2,解：步骤1、求解B-B截面上