打印新课标下高考数学函数试题研究12-焦光莹

本科毕业论文2016届题目新课标下高考数学函数试题研究学院数学与统计学院专业数学与应用数学学生姓名焦光莹学号21205011016指导教师王朝晖职称（学位）副教授合作导师职称（学位）完成时间2016年05月08日成绩黄山学院教务处制学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在指导老师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。声明人（签名）2016年月日黄山学院本科毕业论文1目录摘要2英文摘要31引言411研究问题的提出412研究问题的意义42“大纲”和“标准”中函数部分的比较研究521“大纲”和“标准”意义的比较522“大纲”和“标准”函数内容上的变化523“大纲”与“标准”函数难度的变化924“大纲”与“标准”在函数考查形式上的变化113新课标背景函数试题的分析1431试题题型和知识点分布1432注重创新能力的考查1533重视在知识交汇处命题1734注重数学思想方法的考查174未来高考数学试题的方向2441坚定新课标方向2442注重“四基”2443注重创新能力和应用意识能力考查24结束语25参考文献26黄山学院本科毕业论文2新课标下高考数学函数试题研究数学与统计学院数学与应用数学专业焦光莹（21205011016）指导老师王朝晖（副教授）摘要新的课程标准下对高中数学的教学提出了新的要求。而函数作为高中数学的开篇，同时又是贯穿高中数学的主线，其在高中数学和大学数学中都有着重要的作用。论文共分为四个部分第一部分，阐述研究意义；第二部分，对“大纲”和“标准”中函数部分进行了比较研究，从内容、难度和要求三个方面进行比较；第三部分，对新课标背景下函数试题进行了深入的分析；第四部分，未来高考数学试题方向。关键词新课标；高考数学；函数试题研究黄山学院本科毕业论文3RESEARCHONTHETESTQUESTIONSOFCOLLEGEENTRANCEEXAMINATIONUNDERTHENEWCURRICULUMSTANDARDJIAOGUANGYING（21205011016）DIRECTORWANGZHAOHUIASSOCIATEPROFESSORSCHOOLOFMATHEMATICSANDSTATISTICS,MATHEMATICSANDAPPLIEDMATHEMATICS,HUANGSHANUNIVERSITY,HUANGSHAN,CHINA245041ABSTRACTHIGHSCHOOLMATHEMATICSTEACHINGUNDERTHENEWCOURSESTANDARDPROPOSEDNEWREQUIREMENTSANDFUNCTIONSASAHIGHSCHOOLMATHBEGINSANDRUNSTHROUGHTHEMAINLINEOFHIGHSCHOOLMATHEMATICS,BOTHINHIGHSCHOOLANDUNIVERSITYMATHEMATICSPLAYSANIMPORTANTROLETHEREAREFOURPARTSINTHISPAPERTHEFIRSTPARTDESCRIBESTHESIGNIFICANCETHESECONDPARTUNDERTAKESCOMPARATIVESTUDYOFTHE“OUTLINE“AND“STANDARD“FUNCTIONSFROMCONTENT,DIFFICULTY,ANDREQUIREMENTSTHETHIRDPARTTAKESDEEPANALYSISOFTHEFUNCTIONSUNDERTHEBACKGROUNDOFNEWCOURSESTANDARDTHEFOURTHPARTSISTHEFUTUREDIRECTIONOFMATHEMATICSTESTOFCOLLEGEENTRANCEEXAMINATIONKEYWORDSNEWCURRICULUMSTANDARDSTHEUNIVERSITYENTRANCEEXAMMATHEMATICSRESEARCHONFUNCTIONTEST黄山学院本科毕业论文41引言高考数学在整个高考体系中可以说处于重中之重的地位，不仅体现在它在高考中所占的分数比重上，更重要的是，数学也是其他各科学科的基础，俗话说“学好数理化，走遍天下都不怕”，可见，数学在人们心目中的地位。然而，现如今高考数学却一直成为学生和家长们心中“最难考的一门”，多数考生通往理想大学的“死穴”。其实为了能够将众多考生区分出不同的层次，每年的高考数学试卷无论是从题型、题量，还是难度考查上都发生着巨大的变化。11研究问题的提出普通高中数学课程标准（实验）从2003年4月的正式发布到现在，无论是处在教师岗位上的一线教育者，还是专于研究教育事业的专家学者们，为了适应社会进步和教育的发展，培养出符合国家和社会需要的新型人才，处在不同层次的教育工作者都在全身心的、不断深入地去探寻新课改对高考数学的影响。以函数为例，函数不仅是高中数学的核心部分，也是大学学习高等函数的基础。由于刚刚升入高中，学生对于抽象的函数理解起来有一定的困难，这也造成很多学生在学习函数这一章节时思维能力跟不上，产生“恐函”的心理，从而导致很多学生在高考数学试题中函数部分失分较为严重。新课改的提出对函数的考查形式上做了新的要求，特别着重强调了利用导数性质来研究函数的性质，利用导数求函数的相关问题在历年考查中也占有相当的比例，新课改对该种题型的重视同样在提醒考生对该方面的理解与加强，更多的去探索导数与函数之间的联系，掌握多种方法解决函数问题的思路，这也正是近几年高考的难点和重点。12研究问题的意义新课改是为了适应社会进步和教育的发展而实施的新课程改革，是课程本身及教材理念的根本性改革，根本指向是人的发展，它倡导自主、合作、探究的学习方式。首先，高考对于众多的学生、家长乃至整个社会都有着重要的意义，我们对于高考试题的研究和分析，可以帮助考生在以后的学习道路上能够减少或者避免走一些不必要的弯路，可以让学生们在复习的过程中，能够深刻的理解和掌握学习到的知识，同样另一方面，试题的研究也可以为高中教师在教学的过程中提供一些策略和手段。自1977年高考制度恢复之日起，数学考试确实发生着巨大的变化，而对于即将走上教师工作岗位上的我们来说，时刻关注数学命题的发展趋势，寻找数学发展的教学规律，以及考试本身对教学的影黄山学院本科毕业论文5响。因此，对数学试题的研究具有深远的意义。本论文针对新课改的要求，将最新几年的高考试题作为研究对象，分析高中函数在高考试题中的考查形式、重点以及解决问题的方法，探索函数在实际生活中的应用，帮助学生更好的解决学习过程中遇到的问题，同样，也可以帮助教师在教学过程中总结出一些行之有效地方法，提高教学质量，为后续的数学研究提供一些可以参考的有用价值。1最后，在这个经济飞速发展的今天，新课程标准制定的是为了消除考试的弊端，发展素质教育，对学生教育实践和创新能力的培养才能更好的适应和满足这个社会的要求，培养学生研究问题时的发散思维，避免学生形成思维定势模式，使整个教育体系从应试教育走向素质教育。2“大纲”和“标准”中函数部分的比较研究21“大纲”和“标准”的意义比较首先我们需要了解“大纲”和“标准”的区别教学大纲多采用的是“提高学生”、“使学生”、“培养学生”等一些不规范的方式来陈述，这种陈述方式意味着行为的主体是教师而不是学生。课堂标准多采用的是行为目标的陈述方式，从学生的角度出发，行为的主体是学生，而不是教师。教学大纲分别从教学目标和教学内容两方面做了明确的规定，并且用大量的篇幅展现了日常教学中可能涉及的所有知识点的要求；大多数的教学大纲还对具体的教学顺序以及各部分所占的课时数做出了要求；教师在学习和使用大纲时主要关心的是知识点发生了哪些变化增加或者删减了哪些内容具体的要求和课时数是多少在规定的时间内能否完成教学任务和教学目标课程标准关心的是课程目标、课程改革的基本理念和基本思路；关注的是学生学习的过程和方法，以及伴随这一过程而产生的情感，正确的价值观和职业素养的形成；教师在使用课程标准的过程中，主要关注的是如何利用各科所特有的优势促进每一个学生的个性发展，而不仅仅关注学生对某个结论是否记住，记的是否标准，能否准确使用那么，在我们大概了解“大纲”与“标准”之间的区别之后，针对高中数学函数部分，我们将从函数部分在高考考查的内容、难度以及要求等几个方面做出相关的研究，将大纲和标准之间做出对比分析如下22“大纲”和“标准”函数内容上的变化首先，“大纲”与“标准”中函数部分所涉及的知识点都有各自的规定，那么不同的知识点的考查也对学生在学习能力上有着不同的影响，增加或减少的黄山学院本科毕业论文6知识点也相应对不同学习的能力者提出了不同的要求，简而言之，“标准”比“大纲”更加适合大部分学生的能力，更多更细致的知识点让学生更系统的学习函数的模块；相反，越少的知识点可能会让学生理解起来更加困难。所以合理的分布每一部分的知识点会让教师的“教”和学生的“学”的过程中能够游刃有如。下表给出了“大纲”和“标准”函数部分知识点的增减比较。表11大纲和标准中的函数部分的比较大纲标准变化分析函数部分函数、映射的概念；函数的性质单调性，奇偶性；判断某些函数的性质的步骤（单调性、奇偶性）；利用函数的性质（单调性、奇偶性）简单绘制图像。了解构成函数的要素，求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；了解简单的分段函数；理解函数的单调性及其意义，了解函数的奇偶性与周期性的含义；掌握二次的图像与性质，求二次函数的最值与单调区间。增加了求解函数的定义域与值域，利用函数图像研究函数的性质；减少了映射的概念，判断某些函数的性质（单调性、奇偶性）指数函数部分指数函数的概念指数函数的图像指数函数的性质，关于分数指数幂和有理数指数幂和有理数指数幂的性质了解指数函数模型的实际背景；理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图像通过的特殊点增加了指数函数的实际应用模型；指数函数的单调性。黄山学院本科毕业论文7知道指数函数是一类重要的函数模型对数与对数函数对数的定义；对数运算性质；对数函数的概念；对数函数的图像；对数函数的性质；对数函数性质的应用；反函数的概念；两个互为反函数的函数之间的关系；求某些简单函数的反函数；理解对数的概念及其运算性质；知道用换底公式能将一般对数转换成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；了解指数函数Y与对数函数Y互为反函数A0,A增加了换底公式及其应用；对数函数的单调性；减少了互为反函数的两个函数的图像关系；求一些简单的函数的反函数函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系；判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解增加了结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系；判断一元二次方程根的存在性及根的个数；根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解黄山学院本科毕业论文8函数的实际应用和综合应用指数函数的应用对数函数的应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升，指数增长，对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。增加了幂函数的应用分段函数的应用导数的概念及其几何意义导数公式；多项式的导数；利用导数求变化率了解导数概念的实际背景；理解导数函数的几何意义，求曲线切线斜率能根据导数定义求函数YCC为常数,YX,Y,Y,Y的导数。能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。增加了导数函数的几何意义求曲线切线斜率；减少了利用导数求变化率。导数的应用极值问题以及最值问题；求多项式函数的单调函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单黄山学院本科毕业论文9区间调区间；利用导数求函数的极值问题。积分的运算及应用了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念了解微积分基本定理的含义从上表中我们可以看出大纲与标准从函数内容上比较而言，函数的知识点整体上是增加的，但是也有少部分知识点是减少的，具体表现为以下几点1标准相对于大纲而言,增加的知识点“求函数的定义域和值域”、“利用函数图象研究函数的性质”、“函数的最值与极值问题”要求考生在复习的过程中加强对函数概念的理解，掌握对函数图象的基本绘制，其次，求解函数的最值、极值问题本身就利用到函数的单调性，所以，将求函数的最值极值问题安排其后，可以让学生再学习知识的过程中做到循序渐进；另外，增加的知识点“二次函数的图像问题”、“一元二次方程的根的存在性问题”等等，这些可以培养学生掌握“分类讨论以及数形结合”等重要的数学思想方法。2标准相对于大纲而言,减少的知识点“映射的概念”，学生对于函数的概念本身理解起来就比较困难，在深入到映射这个更高的层次会让学生在学习的过程中更加难以理解和接受，所以减少这一部分的内容也是减轻了学生和老师的压力，更是响应了国家提出的“减负”政策。另外，“反函数的求解”也相应的减少了，学生在相继学习了函数的概念、性质、图像等一些问题之后，抽象的思想还未完全掌握，还未理解透彻，如果这个时候在继续学习反函数的话，只能是加重学生的负担、压力，并且会让部分学生学习的积极性大大减少，学习的效率也大大降低。所以，反函数的减少也体现了新课标“以人为本”的理念。223“大纲”与“标准”函数难度的变化首先在研究“大纲”与“标准”难度系数的变化前，那么我们需要对难度系数进行赋值，将难度转化成可比较的量，根据教学目标要求可以将难度系数从高到低分为三个层次，依次赋值3,2,1，难度系数1表示对知识点有基本的了解和识别；难度系数2表示学生能够对知识点理解和独立操作；难度系数3表示学生能够对知识点完全掌握，并对该知识点能够运用自如。黄山学院本科毕业论文10表12“大纲”与“标准”函数难度的变化表知识点大纲难度知识点标准难度映射1用集合语言表达函数2函数概念1函数的三要素1函数的单调性、奇偶性1函数的定义域与值域2判断函数的单调性、奇偶性1映射1反函数1函数解析式2互为反函数的两个函数的关系2分段函数1指数函数3函数的单调性、奇偶性2指数函数的图像，性质3函数的最值2对数2利用函数图像研究函数性质2对数函数3幂函数及其运算2对数函数的图像、性质3指数函数2指数函数的运用2指数函数的性质（单调性）2对数函数的运用2对数2函数性质的运用3对数的运算性质2导数概念的实际背景1对数函数的性质（单调性）1瞬时变化率就是导数1指数函数与对数函数互为反函数1导数的内涵1幂函数、分段函数的运用1导数的几何意义2导数的几何意义2基本初等函数的导数公式2基本初等函数的导数公式2简单函数的导数2导数的四则运算2导数的四则运算法则2导数的公式表2导数公式表2函数单调性与导数2函数的单调性与导数之间的关系2利用导数求函数的单调区间2导数研究函数的性质（单调性）2封闭区间上的多项式函数的最值2多项式的导数2定积分的基本思想1利用导数求最值1定积分的概念1利用导数求给定区间的上的多项式函数的最值2定积分的运用1总计5045从上表我们可以看出，虽然在函数内容的知识点上“标准”比“大纲”多黄山学院本科毕业论文11了一部分，但是就难度来说，“标准”比“大纲”有所降低，但是仍然有许多重要的知识点难度系数没有降低，反而有所增加，比如函数的单调性、指数函数、对数函数等一些知识点，这说明这些知识点在高考考查的内容上依然处于重中之重的位置。同样，在新课标改革下，又新增了一部分内容，如微积分，也能说明在以后的高考中，这些也将成为考查的对象。另外，还有一部分知识点在难度系数上有所降低，在考察的形式方面、对学生提出的侧重点有所改变，利用函数的图像研究函数的性质，对数函数、指数函数的图像与性质，导数研究函数的最值问题等都在培养学生能够对函数的图像有直观的理解与把握。324“大纲”与“标准”在函数考查形式上的变化函数的内容及难易程度的不同决定着函数内容在考查形式上存在着很大的差距，不同的题型严重影响着学生答题的进程和速度。函数在考查形式上也比较广泛，有选择题、填空题、证明题与计算题；首先，选择题具有客观性，做题方法很重要，方法对了可能“事半功倍”，方法不对就可能“事倍功无”，所以选择题容易得分也容易失分；其次对于填空题，只追求最后的结果，不问过程，相对选择题来说有一定的难度，想靠“投机取巧”取胜很难；最后，对于证明题和计算题，对学生的考查就有一定的区分度，学习好点的学生，可能得到满分，学习不好的学生就可能得到零分或者零星的步骤分。所以，函数题型的变化侧面反映出新课标对学生提出的不同的要求，所需掌握的侧重点的不同，以及数学思想的不同。4表13“大纲”与“标准”在函数考查形式上的变化考点题型命题规律黄山学院本科毕业论文12函数的概念及其表示分段函数及其应用选择题填空题201120122013201420150123456函数概念及其表示函数的单调性、奇偶性、周期性选择题填空题201120122013201420150123456单调性奇偶性、周期性二次函数与幂函数选择题填空题20112012201320142015024681012二次函数幂函数黄山学院本科毕业论文13指数与指数函数选择题201120122013201420150123456指数与指数函数指数与指数函数对数与对数函数选择题解答题20112012201320142015024681012对数与对数函数对数与对数函数函数的图像的识别与应用选择题201120122013201420150123456函数图像的识别函数图像的应用黄山学院本科毕业论文14函数的零点与方程的根选择题201120122013201420150123456函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根导数的概念及其几何意义选择题解答题积分的运算及应用选择题填空题2011201220132014201502468101214导数的概念积分的运算及应用从上表中我们可以看出，新课改后，从2011年2015年高考试卷中函数绝大部分是以选择题与填空题的形式考查，部分是以大题形式存在，根据上表对于函数题型与分值的直观展现可以得出函数部分注重对于基础知识的考查，多以选择题和填空题的形式存在，但是并不意味着考试变简单了，虽然只是考查基础知识，但是需要学生把整个函数体系相结合，这就意味着函数部分并不是那么简单。再次观察选择题部分，我们可以看到，新课标后基本上是每年必出一题，趋于稳定；从2011年到2015年全国新课标卷的分值分布，我们也可以发现，函数图像的识辨和应用是大题的考查重点，在近两年的试卷中都占有较高的分值，除此之外，导数的概念及导数与函数单调性的关系也是近几年大题考查的趋势，那么考生在备考的过程中应该关注这种发展趋势，以便更好的迎来新课改的挑战。53新课标背景下函数试题的分析31试题题型和知识点分布新课标下，高中课程要求掌握的知识点比较多，涉及方面也比较广，有些黄山学院本科毕业论文15知识难度相对来说也比较高，但是对于高考来说，把所有考查的知识点融入到一张纸上，单独分开考查显然是不够的，那么对于知识的融合使我们在学习过程中需要重点理解并加以练习的，特别是函数部分，函数部分是我们高中数学考查的核心部分，是高考的主体，所以学生在进行试题研究时如何将所学知识与题目进行联系起来，是我们重点把握的对象6。以全国新课标卷为例进行研究试题题型众所周知，新课标卷一般包括卷和卷，题型分为选择题、填空题和解答题，在这里，主要针对函数部分进行题型的分析，同样函数部分也占了这三种考查类型，卷主要是“四选一“的单项选择题，全卷一般会有10道选择题，总分值有50分，而这一部分中函数知识大约有23道，分值一般在1015分，所占比重较高，考查的内容也是一些必修的基本知识和基本技能；卷主要是填空题和解答题出现，填空题只要求结果，不要求过程，共5道题；解答题一般分为三个类型的考查题目计算题、证明题、应用题，需要详细给出相关解题过程、相应的文字说明和推理过程，这一部分所占分值有75分，而函数这这一部分的所占比分有15分左右，函数解答题的考查对于学生的要求也上升到更高的层次，需要学生理解和掌握函数的相关知识。知识点分布在近几年的高考试卷考查中，函数的概念，函数的定义域，函数的表示方法以及分段函数都是高考考查的热点，考生在备考的过程中应注意加强对函数概念的理解，求一些简单函数的定义域，能够利用解析式求函数值，另外要特别注意加强函数对分段函数的理解，加强函数与方程，分类讨论及数形结合等思想方法的应用意识。在函数的性质这一部分，通常会通过给出具体的函数，判定函数的单调性与奇偶性，已知函数单调性与奇偶性，求参数的范围，以及求函数的单调区间，备考过程中，要求考生理解并掌握奇偶性与单调性的定义，切实掌握判断函数单调性以及奇偶性的方法，强化函数性质的应用意识，熟练掌握利用函数性质解决求函数的最值、求零点、求参数范围及解“函数”不等式等相关问题。另外，还有部分的考查重点是以二次函数，幂函数，指数函数，对数函数的复合函数为载体，考查函数的图像及性质的应用。考生应该认真掌握二次函数，幂函数，指数函数，对数函数图像与性质，并对该种类型题目加以训练。下面就针对新课标下具体的考查能力，摘取近几年高考数学的函数试题，进行分析。732注重创新能力的考查新课改的主要目标是培养学生的创新精神和实践精神，那么高考命题小组本着这种原则，将传统的题型彰显灵活，透出新意，追求稳中有变，变中有新，黄山学院本科毕业论文16新中又不失实效，使学生在学习的过程中逐步掌握“自主、合作、探究”型的学习方式，逐步打开课改前固有的思维模式，发展学习个性，实现学习上的飞跃，下面笔者就举出几个例子，来体现一下高考函数试题的奥妙例1如图，圆的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边OX为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将OOAM点到直线的距离表示为的函数，则在上的MXFXYF0,图像大致为（）这种题型在形式上有很大的突破性，虽然题目很长，看似比较难，实则不难，如果方法用对将会事倍功半，运用排除法是对此题的最好的解决方法，所以考生在解决问题时一定要保证自己的思想处于灵活状态，这也是做选择题最常用到的方法。例2的最大值是，最小值是，则的值是（）13YXMMM解答先确定X的定义域；，10X3解得3式子两边同时平方，可以得到2241YX可以看出，；时，1XM3X或M所以。2黄山学院本科毕业论文17分析这种题型具有很大的隐蔽性，考生在解题的过程中很难将题目与二次函数联系到一起，其实将解析式两边平方，可以将X与X消去，将题目简化从而解决该问题，解题思路新颖灵活，考生需要认真了解。33重视在知识交汇处命题“在知识点交汇处设计试题”早在1993年就基本被确定为高考函数试题的基本理论，被广大命题专家和命题小组所赞许，被广大师生认可，这个理论的指导可以避免高考试题在以后的命题上出现大起大落的趋势，在一定程度上可以保证高考试题命题的稳定性。例3已知函数，等差数列的公差为2，若2XF，2468104FAA则_2123LOGNFFF此题将函数与数列融合在一起，以指数函数为背景，利用等差数列的性质，以及等差数列的基本概念，最后又引入对数函数，将数列、指数函数、对数函数交汇一起命题，这个理论的指导可以避免高考试题在以后的命题上出现大起大落的趋势，在一定程度上可以保证高考试题命题的稳定性。例4（安徽，2013分）设函数,231,NNXXFXRN证明（1）对每个，存在唯一的，满足；N2,13NX0NFX（2）对任意的，由（1）中构成的数列满足。P1NP同样，此题是将函数的多项式求导、函数的单调性与数列交汇融入一起，将导数的概念、计算和应用糅合一起，利用导数工具研究函数的性质，同时加入数列的形式，参入不等式的相关解题能力，具有较强的综合性，可以考查学生对于综合性知识的运用、分析、解决的能力。834注重数学思想方法的考查新课改是为了培养一批有创新思想，有实践能力的莘莘学子，那么，高考试卷的命题专家应该明白，高考的目的不是为了淘汰某些人，而是为了选拔出一批符合这个社会需求的人才，所以高考数学试卷的每一道题都很有讲究，包黄山学院本科毕业论文18括对数学思想方法的考查，包括数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、化归与转化的思想。数形结合思想中学数学研究的对象可以分为数和形两大部分，可以借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性阐明数的某种关系，即“以数解形”、“以形助数”。函数与方程思想函数思想是用函数的概念、性质、图像去分析问题、转化问题和解决问题，比如用函数的性质解决数学问题；用映射、函数的观点去观察分析问题中的数量关系；解不等式、方程的解的个数或分布、某些参数的取值范围等问题可以构造函数，利用函数的性质解决。分类讨论思想这种思想对于发展人的思维有很大的帮助，所谓分类讨论，就是当问题给定的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类结果，得到整个答案，实质就是“化整为零、各个击破、再积零为整”。9以上三种思想是在解决函数问题时经常用到的数学思想，掌握这种思想的实质对解决相关题目有很大的帮助。例5求下列函数的值域2231654YXX解（数形结合法）函数22的几何意义是平面内点,0PX到点A（3，4）和点B（5,2）的距离之和，我们将所得到的几何意义用图像表示如下PXYOBA35224黄山学院本科毕业论文19我们要求点P到A、B之间的距离之和，可以利用点的对称性，找出B的对称点点，即为P到A、B的距离之和的最小值。B所以，2MIN8610YY无最大值，所以。10,此题考查的是函数的值域，解题的方法运用了数学中重要的数形结合的思想，表面上考查的是函数的值域，实则是点到直线的距离问题，旨在培养学生灵活的数学思想。例6定义在R上的函数对任意都有,且FX3COS,0,120FXF函数的图像关于点中心对称，若S,T满足不等式1YF1,0，22FSFT则当时，的取值范围是（）14STS3,2A1,B5,2C1,D解答这个题目是相对来说比较难的题目，考查的知识点也比较全面，将单调性，奇偶性融合到一起考查。由对任意都有，可知函数是为R上的减函FX122,X120FXFFX数，又函数的图像关于点（1，0）中心对称，所以是奇函数，有YFF，所以有FX，2222FSFTFSFT则是减函数，FX所以，22ST所以，0T所以且，或S且解不等式组ST202黄山学院本科毕业论文20142ST有唯一解1ST此时有2TS对于另一组142ST所表示的可行域如图所示因为，1231TSTSTSS，T的可行域内，,2TS所以，3115,2TS所以TSO2112345643211234B4,4STST2黄山学院本科毕业论文21。1215,TS对于这种题型的掌握可以加深我们对于函数单调性和奇偶性的理解，可以深刻将单调性，奇偶性的融合一起，融入到题目中多角度考查，涉及到线性规划等多方面，题目比较新颖，思路比较灵活，考生如果稍不注意，可能解题一半就不知如何进行下去。例7（07年天津卷在R上定义的函数是偶函数，且，若XF2XF在区间1,2上是减函数，则（）XFA在区间2,1上是增函数，在区间3,4上是增函数B在区间2,1上是增函数，在区间3,4上是减函数C在区间2,1上是减函数，在区间3,4上是增函数D在区间2,1上是减函数，在区间3,4上是减函数解因为是偶函数，且，则有，所以可知函XF2XF2XF数周期为2，可画出体现增减和对称性的示意图71图71由图可知，函数在区间2,1上是增函数，在区间3,4上是减函数答XF案为B例8函数在（0,2）上是减函数，且关于的函数是偶FYX2XFG函数，那么（）AB3251FFF2153FFCD32解因为是偶函数XFG所以XG可得2FF黄山学院本科毕业论文22所以的图像关于直线对称XFY2X又在（0,2）上是减函数由此可大致作出的函数图像图81FY图81通过图像可以直观的看出三者的大小，所以选D3251FFF、（2）关于含参数函数问题例9（09年重庆卷）已知以T4为周期的函数3,121XMXF其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）0FM58,3A,7B48,3C,7D分析本题主要考查函数图像的交点及直线与曲线的位值关系，我们先在一个周期内可利用导数判断的单调性和极点进而画出第一段函21XMF数图像、通过平移和翻转画第二段函数图像，再根据周期性扩展图象，根据图象解题。解根据的解析式可作出的图象，如图91所示，XF3XFY黄山学院本科毕业论文23图91由于恰有5个实数解，由图象知当时，与XF35,3XXY有两个交点，即方程有两个根。YXM2413所以，01当时，与无交点，即方程无根9,7XXYFX2413所以，2由、得故选B总结在本题中，利用数形结合的方法使复杂的问题简单化，从函数的图像中找到问题隐含的条件关系，进而解决难题，这也是数形结合思想方法在解决函数问题时的便捷。例10求函数的值域249YXX解三角换元法令，3COS,0,则S43IN2SI4Y因为，所以54所以2SIN14，13Y所以函数的值域是1，4在这道题目中主要利用的就是三角换元法，三角换元法需要我们注意两点内容YX11234567890234735黄山学院本科毕业论文24注意换元的三角函数中的角度的取值范围，也就是此题中的的范围；可以利用三角换元的函数形式有比如,当时这类题目，1XY0,1X其实三角换元主要看定义域，定义域必须满足三角函数的定义域，才能使用三角换元法，所以当你看到或者在这个范围之内的话，一般就可以使用1,X三角换元法了。从上面部分例题中，我们能看到数学思想在函数习题解答中应用相当广泛，数学思想的自觉运用往往使我们运算变得简捷、推理合理，是提高数学能力的必经之路；另外，数学思想方法同样可以指导数学基础知识教学，通过分类讨论，数形结合等一些思想方法的学习，可以从中掌握创造性的思维，激发学生数学思维的形成，掌握这些数学方法的作用是不可估量的。4未来高考数学试题的方向41坚定新课标方向结合我国的基本国情看，高考仍然是未来选拔人才的重要方式。而高中数学一方面是高中课程的重要组成部分，在高考中占据着重要的位置。对于新课标课改后的数学命题，以前高考数学的命题完全是以“大纲”为依据，新课改之后，“标准”取代了“大纲”成了高考命题的唯一导向，这就给予学生指示，在日后学习数学的过程中，我们不能仅仅依靠课本知识，更应该紧扣“标准”这个概念，再对比一下“大纲”和“标准”的异同，以函数部分为例，我们知道新课改前后每年都会出现函数图像的问题，但是研究发现，新课改之后的函数图像题的难度远远大于新课改之前。新课改之后，函数考查主要突出了学生的综合能力。不过，我们还可以发现，无论是改前还是改后，高考数学函数部分对考查学生函数性质的认识是每年必考的知识点。42注重“四基”新课改之后，对于日常教学来说，变化最大的应该就是由原来的“双基”基础知识、基础技能，变成现在的“四基”