现代教育技术题库

P342研究一下，出现下列情况时，分析过程有何更改。A如果与是的函数。B如果与是的函数。C如果,和都是的函数。补充讨论提示当系统处于均匀态的时候，所有相关的物理量都将有其各自确定的值；我们的目的是研究系统因为一个小的扰动而偏离均匀态的时候，它能否在经过一段时间以后回到这个均匀态。如果能，我们就称之为稳定的，反之为不稳定的。我们把这一分析过程称之为稳定性分析过程。它的基本思路是首先确定系统的均匀态（或者称为平衡解），然后就每一个状态分析其稳定性，即引入小扰动，写出关于扰动的物理方程，并化简保留线性项，进而求解线性微分方程组，如果关于扰动部分的解不随时间的增长而趋于零，说明该均匀态是不稳定的。参考答案控制方程均匀态小扰动A自行写出分析过程，参考结果如下线性常系数偏微分方程组稳定性条件B自行写出分析过程，参考结果如下线性常系数偏微分方程组稳定性条件C参考分析过程I将,和作TAYLOR展开，忽略二阶包括二阶以上小量II代入控制方程整理，忽略二阶包括二阶以上小量其中III稳定性分析猜测有如下的形式解代入II的方程中可得有非平庸解的条件是系数行列式为零稳定性的充分条件为什么上式两根均为负，见书上的分析稳定性条件注这里根据物理条件已经假定，当然也可以放弃这一假设，进行更详细的讨论。注意1和的书写，如这里也可以写作；2是一阶小量，不是二阶小量；3HTTP/MATHWORLDWOLFRAMCOM/STABILITYMATRIXHTML4定义为，且假设是正小量。忽略的高次项，找到二次方程较大根的近似值。推出增长得最快的扰动的波长的近似值。提示部分符号已作修改做作业时要把下面省略的详细步骤补充完整I二次方程II定义III失稳条件因为是小量，所以也是小量，进而可知也是小量。IV二次方程较大根的近似值V增长得最快，说明扰动最大极大值条件小技巧舍去负值VI波长近似值因为，所以波长近似值注意1正确理解题目的意思。2掌握在时的TAYLOR展开THETAYLOREXPANSION。P516在9式得方程中消去，以便得到关于径向运动的一个微分方程。把它积分以便推得径向运动的开普勒表示式，此处A是椭圆的长半轴，E是偏心率，N是轨道的频率，T是经过近日点的时间THETIMEOFPERIHELIONPASSAGE，而E（称为偏近点角,THEECCENTRICANOMALY）是一个参数，每走一圈，它的取值范围为。位置角度即为所谓的真近点角THETRUEANOMALY，量值，随时间而线性变化，称为平近点角THEMEANANOMALY。在推导中，应先得到下列形式的能量方程为此，请注意在近日点和远日点（即分别离太阳最近和最远的位置）处的径向速度为零。本题重点复习和掌握简单微积分和微分方程的解法，简要了解一下天文学名词。提示从轨道运动方程推导能量方程。参考答案轨道方程由第二个式子，有代入第一个式子，有上式两边同乘以，整理得积分上式得在远日点和近日点处的径向速度为零，即因此（注意C1是否写对了，可能差一个符号）能量方程令，有即令，则有因此当时，则所以，偏近点角和真近点角的关系补充题用简单函数如幂级数、指数函数、对数函数来表示当时函数的量阶本题要求给出具体分析过程ABCDEFG提示两个函数之间的关系HTTP/MATHWORLDWOLFRAMCOM/LANDAUSYMBOLSHTMLHTTP/MATHWORLDWOLFRAMCOM/ASYMPTOTICNOTATIONHTML参考分析过程举例如下方法一、可作TAYLOR展开THETAYLOREXPANSION的情况求量阶只需要展出第一项即可，这里多展了几项，只作参考A因为，则B同A有，CDG方法二、不可能只作TAYLOR展开的情况E逐渐忽略小量F这里只讨论的情况方法三、猜测比较法，如C猜测量阶为，比较时使用LHOSPITAL法则THELHOSPITALSRULE为使，只有取G猜测量阶为，比较时使用LHOSPITAL法则THELHOSPITALSRULE为使，只有取详细解题示例A方法一直接进行TAYLOR展开THETAYLOREXPANSION因为所以方法二因为所以则方法三猜测量阶为，比较时使用LHOSPITAL法则THELHOSPITALSRULE为使，只有取注意1称为的双曲正弦函数，也可以写作；称为的双曲余弦函数，也可以写作；称为的反双曲正弦函数，也可以写作；称为的反双曲余弦函数，也可以写作。有同学将理解为、，都是不对的。参考HTTP/MATHWORLDWOLFRAMCOM/TOPICS/HYPERBOLICFUNCTIONSHTML2幂级数不足于构成完备的标准函数集，需要补充对数函数、指数函数，以及P6410水星轨道方程式中，是一小参数。题目提示的方法解（题目中部分符号有意更改，做作业要求按原题的符号推导）设方程有形式解一阶导数二阶导数平方项（补充推导过程）方程左边方程右边由的任意性，则一级近似（补充推导过程）因此所以两个相继的近日点之间的角度为注平方项中涉及了三角函数的积化和差，请自行复习。我们也可以有下面更加一般化的写法设方程有形式解一阶导数二阶导数平方项方程左边方程右边。庞加莱方法（POINCARESMETHOD）水星轨道方程式中，是一小参数。解（题目中部分符号有意更改，做作业要求按原题的符号）假设则即原方程左边原方程右边当时因为当（近日点）即时，则而当很小时方程右边除了零阶的项以外，最大的项为，它是因此方程的左边除了零阶的项以外，最大的项的量阶必须为我们可以分别讨论和两种情况，易见这两种情况均不合理，前者不可能找到一个常数使得成立，后者不能消除久期项的影响；因此必须有，此时为消除久期项（自行复习高等数学内容），关于的系数必须为零，则结合定解条件我们可以定出即有两个相继的近日点之间的角度为为得到更高阶的解，我们可以继续假设如下形式具体的讨论略去，因为方法完全类似于上述的讨论。极烦的方法水星轨道方程式中，是一小参数。这是来自一本很老的纸版参考答案的题解，里面有诸多笔误，但还是不断被传抄，因此我们将其主要的错误修改后贴在这里，仅供参考。实际上，这个解题过程相当繁琐，原因是它一开始就将一级近似代入方程推导，我们前面提供的方法有效地避免了这一复杂性，希望引起大家的重视。先简要提炼一下这份参考答案的解题过程最烦的方法，吃力不讨好解的形式一级近似TAYLOR展开则方程左边（太复杂略去）方程右边（太复杂略去）相应项相等所以两个相继的近日点之间的角度为详细图片见网上答案P904A阶的第一类贝塞耳函数BESSELFUNCTIONOFTHEFIRSTKIND的定义如下证明（形式地）这个级数给出了贝塞耳方程BESSELDIFFERENTIALEQUATION的解。B如果是整数，试证C证明它可充当带有整数下标的贝塞耳函数BESSELDIFFERENTIALEQUATION的母函数。D证明E证明提示本题要求验证即可，有推导兴趣的参见“数学物理方程科大版P84”。A推导过程如下因此式中，为THECOMPLETEGAMMAFUNCTIONB推导过程如下C推导过程如下D令，代入C，利用EULER公式THEEULERFORMULA得两边同乘以，并在上对积分，交换积分和求和的顺序有式中，是THEKRONECKERDELTA因此E令，代入D得实际上就是周期函数的性质。P1027求下列积分当时的渐近展开式A补余误差函数BFRESNEL积分参考答案（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题）提示分部积分法INTEGRATIONBYPARTS，注意渐近展开ASYMPTOTICEXPANSION的表示P94。ATHECOMPLEMENTARYERRORFUNCTION或者或者或者BFRESNELINTEGRALS可直接推导，也可利用上述结果，具体推导过程略去，做作业需要完全写出因此或者写作P1128考虑在均匀力场中沿轴的随机走动。在时间内，粒子以概率分别向左和向右移动距离（其中为常数）。写出粒子在时刻位于离原点距离处的概率的一个差分方程。求时的极限微分方程。参考答案（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题）提示题目中的左和右的对应性不是很明确，自己选择一种对应关系，给出结论即可；若差分方程和初始条件结论为若差分方程和初始条件结论为下面以一种为例来推导差分方程和初始条件使用TAYLOR展开，有方程左边方程右边可见因此，则定义和有极限微分方程P14810试作一形式为的变量代换，把微分方程,均为常数转化成标准形式提示参考答案（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题）变量代换则有代入，有整理得与标准形式比较，得由上式，第二个式子，有代入，有即解得因此，取函数作变量代换，有标准形式P1709A试证B按照普朗克定律，温度时的辐射密度为试证温度时，在空腔内的总辐射密度为参考答案（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题）A由TAYLOR展开有或者因此那么其中INTEGRALBYPARTS,要求写出详细推导过程考虑函数的FOURIER展开式中即由PARSEVAL定理因此则有P168EQN45/习题P169EX8C得证因为所以P169EQN47得证因此B空腔内的总辐射密度令则有STEFANSLAWEX12非齐次边界问题A齐次边界问题试证和正交。B假定讨论当有什么性质时，非齐次边界问题存在什么样的解C问B的结论和A的结论是否相容。参考答案（参考答案中有些符号和书上原题不同，做作业请按原题完成）A要证明在区间上的正交性，就是要证明写法一分部积分并利用边界条件可以证明自己补充详细推导过程写法二（这一种写法使用了分部积分没有）因为和所以则有B假设则有因此解的性质讨论1若（对于任意的自然数满足），则，即方程有唯一解；2若（存在自然数满足而），则无解，即方程无解；3若（存在自然数满足且），则有任意解，即方程有任意解。C相容性讨论假设若显然有只需要讨论不恒等于零的情况，即，此时必为整数以满足边界条件，记，根据B中根的性质23的讨论，方程有解必有，则因此，两个结论一样，不矛盾，一致，吻合，无差别，相容。P1826热传导方程解为幅度改写为注这里使用的“幅度”在英文原版书中是”AMPLITUDE”，查金山词霸【物理学】THEMAXIMUMABSOLUTEVALUEOFAPERIODICALLYVARYINGQUANTITY振幅周期性变量的最大绝对值【数学】THEMAXIMUMABSOLUTEVALUEOFAPERIODICCURVEMEASUREDALONGITSVERTICALAXIS振幅沿垂直轴摆动的周期性曲线的最大绝对值因此这里取。如果有同学取，这是中文版题目本身不是很明确可能理解成“RANGE”的缘故，所以这里都不判错，况且这两种理解对本题主要关心的量没有影响。中文版有些翻译不是很恰当，但有些是不影响我们掌握应用数学方法的，所以希望大家不要因为这些问题分散注意力。记（用最小二乘法（LEASTSQUARESFITTING）求解。为什么）（要求写出详细过程）写法一最小二乘法则有矛盾方程组解矛盾方程，两边同时左乘于，有张韵华,等数值计算方法和算法科学出版社2000P59则因此或者注计算过程中取几位有效数字一般原则是比最后结果至少多一位有效数字。认为不要影响。最后结果取几位有效数字这取决于测量数据的精度，在一般实验课程中大家都应该掌握了。这里只要不是很夸张比如位数取很多位，我们将不予评价。没有掌握规则的同学，自己找本实验技能的书复习一下，那会对你以后书写研究论文有帮助的。写法二最小二乘法定义误差求A和B使误差最小，则有极值条件即结果同上。P1951提示A从14式证明15式已知交换积分顺序变量代换变量代换因为，所以证毕。B特殊情况下代入15式变量代换所以C应用习题P1027的结果（注意补充推导过程）即（思考为什么需要这么处理）P2075这里我们以更一般的形式为例，部分符号有意更改，做作业请按原题完成定义函数共轭函数THECOMPLEXCONJUGATE自相关函数THEAUTOCORRELATIONFUNCTION定义为代入得交换积分和求和的顺序积分得利用EULER公式THEEULERFORMULA得因为式中，是THEKRONECKERDELTA所以P2212部分符号和书上原题可能不同请自行补充详细的推导过程扩散方程式中，为温度，定常问题指的是不随时间发展而变化的问题，即与时间无关的问题。定常问题热导率为常数，定常问题核对自洽性因为所以还有解的误差和相对误差均和同量级。近似解精确到的量级。在零阶近似下，近似解和精确解一致。P2337B定理的应用在粘性流体中，一个受重力而下落的小球，可以观察到它下落的速度（在一段时间后）为一常数。令,和分别表示球的半径和密度，液体的密度和粘性系数以及重力加速度。B因为这里的运动不是加速的，我们不需要运用加速度正比于重力的关系，而可以把力当作独立的基本单位去处理，试证明。提示参量量纲关联所有参量的关系式，形式上记作定义参量组合成的无量纲参数相应量纲即因此注意这个式子并不是关联测量量的关系式，只是定义的无量纲参数的可能形式。如“取”这种说法是不严格的，因为实际上的并不一定只是这样的幂指数的简单形式。六个参量四个独立的基本单位，故有两个无量纲参数。不妨取，我们有一个无量纲参数再者取，我们有另一个无量纲参数由定理我们有，即也可写成我们也可以取，我们有一个无量纲参数再者还取，我们有另一个无量纲参数由定理我们有，即也可写成我们还可以有很多很多的取法。P236EX12BU