2011年高考数学试题分类汇编大全解析几何

解析几何一、选择题1（重庆理8）在圆0622YX内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为A5B10C5D2【答案】B2（浙江理8）已知椭圆210XYAB与双曲线214YCX有公共的焦点，1C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,AB两点，若1恰好将线段AB三等分，则A23AB2C21BD2【答案】C3（四川理10）在抛物线250YXA上取横坐标为14X，2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆536Y相切，则抛物线顶点的坐标为A2,9B0,5C2,9D1,6【答案】C【解析】由已知的割线的坐标4,1,2AKA,设直线方程为2YAXB，则2365B又4,9A4（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2X，则抛物线的方程是A8YXB28YXC24YD4YX【答案】B5（山东理8）已知双曲线210BAB，的两条渐近线均和圆C2650XY相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为A2154XYB215XYC2136XYD213XY【答案】A6（全国新课标理7）已知直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，L与C交于A，B两点，|为C的实轴长的2倍，C的离心率为（A）2（B）3（C）2（D）3【答案】B7（全国大纲理10）已知抛物线C24YX的焦点为F，直线24YX与C交于A，B两点则COSAFA45B3C5D【答案】D8（江西理9）若曲线120XY与曲线2C0YMX有四个不同的交点，则实数M的取值范围是A（3，）B（3，0）（0，3）C，D（，）（，）【答案】B9（湖南理5）设双曲线2109XYA的渐近线方程为320XY，则A的值为A4B3C2D1【答案】C10（湖北理4）将两个顶点在抛物线0YPX上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为N，则AN0BN1CN2DN3【答案】C11（福建理7）设圆锥曲线R的两个焦点分别为F1，F2，若曲线R上存在点P满足12PF432，则曲线R的离心率等于A3或B或2C1或2D23或【答案】A12（北京理8）设0,A,4B，4,CT,DTR记NT为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数NT的值域为A9,10B9,102C2D【答案】C13（安徽理2）双曲线82YX的实轴长是（A）2（B）2（C）4（D）42【答案】C14（辽宁理3）已知F是抛物线Y2X的焦点，A，B是该抛物线上的两点，F，则线段AB的中点到Y轴的距离为（A）4（B）1（C）54（D）7【答案】C二、填空题15（湖北理14）如图，直角坐标系XOY所在的平面为，直角坐标系XOY（其中轴一与Y轴重合）所在的平面为，45。（）已知平面内有一点2,P，则点P在平面内的射影P的坐标为；（）已知平面内的曲线C的方程是20XY，则曲线C在平面内的射影C的方程是。【答案】（2，2）21XY16（浙江理17）设12,F分别为椭圆213XY的左、右焦点，点,AB在椭圆上，若125FAB则点的坐标是【答案】0,117（上海理3）设M为常数，若点0,5F是双曲线219YXM的一个焦点，则M。【答案】1618（江西理14）若椭圆21XYAB的焦点在X轴上，过点（1，2）作圆21XY的切线，切点分别为A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】2154XY19（北京理14）曲线C是平面内与两个定点F1（1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数2A的点的轨迹给出下列三个结论曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积大于1A2。其中，所有正确结论的序号是。【答案】20（四川理14）双曲线2XY1P4643上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P到左准线的距离是【答案】5【解析】8,610ABC，点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为14，所以145CDD21（全国大纲理15）已知F1、F2分别为双曲线C29X7Y1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），AM为F1AF2的平分线则|AF2|【答案】622（辽宁理13）已知点（2，3）在双曲线C0,12BAYX上，C的焦距为4，则它的离心率为【答案】223（重庆理15）设圆C位于抛物线2YX与直线X3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为_【答案】6124（全国新课标理14）（14）在平面直角坐标系XOY中，椭圆C的中心为原点，焦点12,F在X轴上，离心率为2过点1F的直线L交C于A，B两点，且2ABF的周长为16，那么C的方程为_【答案】2168Y25（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果X与Y都是整数，就称点,XY为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果K与B都是无理数，则直线YKXB不经过任何整点直线L经过无穷多个整点，当且仅当L经过两个不同的整点直线YKX经过无穷多个整点的充分必要条件是K与B都是有理数存在恰经过一个整点的直线【答案】，三、解答题26（江苏18）如图，在平面直角坐标系XOY中，M、N分别是椭圆124YX的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作X轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为K（1）当直线PA平分线段MN，求K的值；（2）当K2时，求点P到直线AB的距离D；（3）对任意K0，求证PAPB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分解（1）由题设知，,20,2,NMBA故所以线段MN中点的坐标为2,，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以21K（2）直线PA的方程21,4XYYX代入椭圆方程得解得3,2,43,APX因此于是,032C直线AC的斜率为032,1320YXAB的方程为故直线1|4|,2D因此（3）解法一将直线PA的方程KXY代入2221,411YXKK解得记则0,CAKP于是故直线AB的斜率为,20K其方程为,0232,22KXKXKY代入椭圆方程得解得232233,BK或因此于是直线PB的斜率12322231KKK因此,1PBAK所以解法二设0,0,11212121XCYAXXYXP则设直线PB，AB的斜率分别为21,K因为C在直线AB上，所以20112XYXK从而1212211XYXYKK04212121XY因此,PBAK所以27（安徽理21）设，点的坐标为（1,1），点B在抛物线YX上运动，点Q满足QB，经过点与MX轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足PM,求点的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养解由MPQ知Q，M，P三点在同一条垂直于X轴的直线上，故可设1,202020YXYYXYXP则则再设,11AB即由解得01YX将式代入式，消去0Y，得11,2XYX又点B在抛物线Y上，所以21XY，再将式代入21XY，得012,1,012,222YXYX得两边同除以因故所求点P的轨迹方程为28（北京理19）已知椭圆214XGY过点（M,0）作圆21XY的切线I交椭圆G于A，B两点（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为M的函数，并求AB的最大值（19）（共14分）解（）由已知得,12BA所以32C所以椭圆G的焦点坐标为0,3,离心率为2ACE（）由题意知，1|M当1时，切线L的方程X，点A、B的坐标分别为,231,此时3|AB当M1时，同理可得3|当|M时，设切线L的方程为,MXKY由048414,2222MKXKYXMK得设A、B两点的坐标分别为,21Y，则221214,48KXKMX又由L与圆1,1|,222KMY即得相切所以1212|YXAB446122KKM3|42由于当M时，,3|AB所以,1,|4|2因为,2|3|4|3|2MAB且当M时，|AB|2，所以|AB|的最大值为229（福建理17）已知直线LYXM，MR。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线L相切与点P，且点P在Y轴上，求该圆的方程；（II）若直线L关于X轴对称的直线为，问直线L与抛物线CX24Y是否相切说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一（I）依题意，点P的坐标为（0，M）因为ML，所以12，解得M2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径22|0,RMP故所求圆的方程为8XY（II）因为直线L的方程为,M所以直线的方程为YX由22,404YXM得16（1）当,0即时，直线L与抛物线C相切（2）当M，那时，直线与抛物线C不相切。综上，当M1时，直线L与抛物线C相切；当1时，直线与抛物线C不相切。解法二（I）设所求圆的半径为R，则圆的方程可设为22XYR依题意，所求圆与直线0LXYM相切于点P（0，M），则24,|0|MR解得2,R所以所求圆的方程为28XY（II）同解法一。30（广东理19）设圆C与两圆2254,54XYXY中的一个内切，另一个外切。（1）求C的圆心轨迹L的方程（2）已知点M3,05F，且P为L上动点，求MPF的最大值及此时点P的坐标（1）解设C的圆心的坐标为,XY，由题设条件知22|55|4,XY化简得L的方程为214X（2）解过M，F的直线L方程为25YX，将其代入L的方程得2153840X解得12126156145,5XLLTT故与交点为因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故11|,MF22|MTF，若P不在直线MF上，在P中有|P故|只在T1点取得最大值2。31（湖北理20）平面内与两定点1,0AA，2,0A连续的斜率之积等于非零常数M的点的轨迹，加上1、2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线的方程，并讨论的形状与M值得关系；（）当1M时，对应的曲线为1；对给定的1,0,U，对应的曲线为2C，设F、2是C的两个焦点。试问在1C撒谎个，是否存在点N，使得1F2F的面积2|SMA。若存在，求TAN1FN2的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）解（I）设动点为M，其坐标为,XY，当XA时，由条件可得122,AMYKMAXA即22MYXA，又12,0,A的坐标满足22,MXY故依题意，曲线C的方程为A当1,M时曲线C的方程为221,XYC是焦点在Y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为A，C是圆心在原点的圆；当10时，曲线C的方程为221XYM，C是焦点在X轴上的椭圆；当M时，曲线C的方程为2,AC是焦点在X轴上的双曲线。（II）由（I）知，当M1时，C1的方程为22XYA当1,0,时，C2的两个焦点分别为12,01,0FAMF对于给定的,M，C1上存在点0NXY使得2|SA的充要条件是22020,1|XYA由得0|,YA由得0|1MAY当|150,0,2MAM即或时，存在点N，使S|M|A2；当|15,21MA即或52时，不存在满足条件的点N，当115,0,2M时，由100,1,FAXYFAMXY，可得22201,N令122|,|,RN，则由212112COS,COSMAFAR可得，从而2212ININTNSMSR，于是由|A，可得2212|TN|,TANM即综上可得当5,02M时，在C1上，存在点N，使得212|,TANSFN且当1,时，在C1上，存在点N，使得212|,TM且当5,2M时，在C1上，不存在满足条件的点N。32（湖南理21）如图7，椭圆210XYCAB的离心率为32，X轴被曲线22CYXB截得的线段长等于C1的长半轴长。（）求C1，C2的方程；（）设C2与Y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线L与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E（I）证明MDME（II）记MAB,MDE的面积分别是12,S问是否存在直线L,使得1273S请说明理由。解（）由题意知1,2,3BABAACE解得又从而故C1，C2的方程分别为,1422XYX（）（I）由题意知，直线L的斜率存在，设为K，则直线L的方程为KXY由12XYK得0设2121,XYXBA则是上述方程的两个实根，于是21KX又点M的坐标为（0，1），所以2122121XKXKXYBA2K故MAMB，即MDME（II）设直线MA的斜率为K1，则直线MA的方程为1,12XYKXKY由解得1,102KYX或则点A的坐标为,又直线MB的斜率为1K，同理可得点B的坐标为,21于是221111|2|KSMAKK由04,2YXK得08121XK解得218,14XYK或则点D的坐标为2118,K又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为4,82121K于是41|32|2121KMS因此1122476K由题意知，222111,4,3K解得或又由点A、B的坐标可知，2113,2KKK所以故满足条件的直线L存在，且有两条，其方程分别为XY和33（辽宁理20）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在X轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为E，直线LMN，L与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D（I）设12，求BC与的比值；（II）当E变化时，是否存在直线L，使得BOAN，并说明理由解（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设2214,1,0XYBYXCABAA设直线|LT，分别与C1，C2的方程联立，求得22,BATATBATB4分当13,ABEY时分别用表示A，B的纵坐标，可知2|4BABBCDA6分（II）T0时的L不符合题意0T时，BO/AN当且仅当BO的斜率KBO与AN的斜率KAN相等，即22,BATTAB解得221ETA因为2|,0,1,1TAEE又所以解得所以当2E时，不存在直线L，使得BO/AN；当21E时，存在直线L使得BO/AN12分34（全国大纲理21）已知O为坐标原点，F为椭圆21YCX在Y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2的直线L与C交于A、B两点，点P满足0OABP（）证明点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明A、P、B、Q四点在同一圆上解（I）F（0，1），L的方程为21YX，代入2YX并化简得24102分设23,AXYBPXY则1266,44121212,XYX由题意得312312,XY所以点P的坐标为,经验证，点P的坐标为2,1满足方程21,YX故点P在椭圆C上。6分（II）由,2和题设知，2,1QPQ的垂直平分线1L的方程为2YX设AB的中点为M，则21,4，AB的垂直平分线为2L的方程为214YX由、得12,L的交点为21,8N。9分221223|,|1|,3|,43|,881|,NPABXMNAN故|NP|NA|。又|NP|NQ|，|NA|NB|，所以|NA|NP|NB|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上12分35（全国新课标理20）在平面直角坐标系XOY中，已知点A（0，1），B点在直线3Y上，M点满足/MO，MA，M点的轨迹为曲线C（I）求C的方程；（II）P为C上动点，L为C在点P处的切线，求O点到L距离的最小值20）解设MX，Y，由已知得BX，3，A0，1所以MAUR（X，1Y），BUR0，3Y，AURX，2再由题意可知（）0，即（X，42Y）X，20所以曲线C的方程式为Y14X22设PX0，Y为曲线CYX22上一点，因为Y12X，所以L的斜率为12X0因此直线L的方程为001，即200则O点到L的距离20|4YXD又20X，所以20202014,XX当200时取等号，所以O点到L距离的最小值为236（山东理22）已知动直线L与椭圆C213XY交于P1,XY、Q2,两不同点，且OPQ的面积OPQS62,其中O为坐标原点（）证明1X和21Y均为定值（）设线段PQ的中点为M，求|PQ的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得62ODEGOESS若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由（I）解（1）当直线L的斜率不存在时，P，Q两点关于X轴对称，所以211,XY因为1,PXY在椭圆上，因此23又因为6,2OPQS所以1|XY由、得116|,|2此时2113,XY（2）当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为,YKXM由题意知M0，将其代入213XY，得22360KX，其中21,KM即2K（）又2121263,KXXK所以222221163|4,KMPQX因为点O到直线L的距离为2|,MDK所以1|2PQS22263|1KMK22|3MK又6,2OPQS整理得23,KM且符合（）式，此时222211163,KMXXK2222111343YX综上所述，2211,XY结论成立。（II）解法一（1）当直线L的斜率存在时，由（I）知116|,|2|,OMXPQY因此|2（2）当直线L的斜率存在时，由（I）知13,XKM221212212222223,9161|3,4443|1,YXKKMYOMKPQ所以222211|M2221354M所以|OMPQ，当且仅当2213,M即时，等号成立综合（1）（2）得|OM|PQ|的最大值为52解法二因为2222211114|OMPQXYXY21120XY所以224|10|5PP即5|,2OMQ当且仅当|OMQ时等号成立。因此|OM|PQ|的最大值为（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得62ODEGOESS证明假设存在12,EDEGUVXY满足，由（I）得222222111112123,3,5,UXVVYYVYX解得因此只能从中选取只能从中选取因此D，E，G只能在6,2这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与OEOEGSS矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G37（陕西理17）如图，设P是圆25XY上的动点，点D是P在X轴上的摄影，M为PD上一点，且45MD（）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的长度解（）设M的坐标为（X,Y）P的坐标为（XP,YP）由已知得,54XPYP在圆上，225XY，即C的方程为2156XY（）过点（3，0）且斜率为4的直线方程为43，设直线与C的交点为12,AXYB将直线方程435Y代入C的方程，得2215X即280X123434,线段AB的长度为22121164155ABXYX注求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。38（上海理23）已知平面上的线段L及点P，在L上任取一点Q，线段P长度的最小值称为点P到线段L的距离，记作,D。（1）求点,1到线段305LXYX的距离,DL；（2）设L是长为2的线段，求点集|,1DPL所表示图形的面积；（3）写出到两条线段12,L距离相等的点的集合12|,PDLL，其中12,LABLCD，是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。1,3,01,3,0ABCD。2。,。解设3QX是线段305LXYX上一点，则2229|14P，当3X时，MIN,|5DL。设线段的端点分别为,AB，以直线为X轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则1,0,A，点集D由如下曲线围成2|,1|LYXLYX，212,1CCYX其面积为4S。选择,31,0,3,0ABD，,|0XY选择12C。,|0,|4,0,|10,XYXYXYXYX选择10ABD。,|,|,1XYXYX2,|1,2,|4230,2YDBCA1225YX2XY113ABCDOODCBA311YX1111YXOBA39（四川理21）椭圆有两顶点A（1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线L与椭圆交于C、D两点，并与X轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q（I）当|CD|32时，求直线L的方程；（II）当点P异于A、B两点时，求证OP为定值。解由已知可得椭圆方程为21YX，设L的方程为10,YKX为L的斜率。则12122222410YKXYXKKXK242221128892KXYL的方程为X40（天津理18）在平面直角坐标系XOY中，点,PAB0为动点，12,F分别为椭圆21XYAB的左右焦点已知12FP为等腰三角形（）求椭圆的离心率E；（）设直线2PF与椭圆相交于,AB两点，M是直线2F上的点，满足2AMB，求点M的轨迹方程本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力满分13分（I）解设12,0,0FCC由题意，可得1|P即2ACB整理得210,1CA得（舍），或CA所以E（II）解由（I）知2,3,ACB可得椭圆方程为341XY直线PF2方程为CA，B两点的坐标满足方程组22341,XYC消