数学试题分类汇编辽宁卷

2010年数学试题分类汇编辽宁卷一、选择题1、已知集合1,3579U，1,57A，则UCA（A）,（B）（C）3,59（D）3,92、已知A0，则X0满足关于X的方程AX6的充要条件是A2201,RABB2201,XRABXXCD3、已知A，B均为集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3,UBA9,则A（A）1,3B3,7,9C3,5,9D3,94、已知点P在曲线41XYE上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是A0,B,2（C）3,4D3,45、设2ABM，且12AB，则M（A）0（B）10（C）20（D）1006、已知0A，函数2FXABC，若0X满足关于的方程20AXB，则下列选项的命题中为假命题的是（A）0,XRFX（B）0,XRFX（C）F（D）F7、已知点P在曲线Y41XE上，A为曲线在点P处的切线的倾斜角，则A的取值范围是A0,B,23,D3,4二、填空题8、（本小题满分12分）已知函数1LN12AXXF（I）讨论函数的单调性；（II）设A如果对任意,0,21X，|4|2121XXFF，求A的取值范围。9、（本小题满分12分）已知函数21LN1FXAX（）讨论函数的单调性；（）设2，证明对任意12,0,X，1212|4|FXFX三、选择题10、（2010辽宁文数）（11）已知,SABC是球O表面上的点，SABC平面，A，1SAB，2，则球的表面积等于（A）4（B）3（C）2（D）11、（2010辽宁理数）1212有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为A的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则A的取值范围是A（0,62）B（1,2）C,）D（0,）四、填空题12、如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条OABCOABCOABC棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大A1S231S23小关系为。13、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_14、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为五、选择题15、如果执行右面的程序框图，输入6,4NM，那么输出的P等于（A）720（B）360（C）240（D）12016、如果执行右面的程序框图，输入正整数N，M，满足NM，那么输出的P等于（A）1MNCBCMNDA17、两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为23和4，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A）12B5C14D6六、填空题18、（本小题满分12分）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。（疱疹面积单位2M）（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（）完成下面2列联表，并回答能否有999的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。附22NADBCK19、（本小题满分12分）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。（）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果（疱疹面积单位MM2）表1注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（）完成下面22列联表，并回答能否有999的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”表320、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为A、B、C，6COSAC，则TANTCAB_。七、解答题21、（本小题满分12分）在ABC中，A,B,C分别为内角A,B,C的对边，且2SINSIN2SINAABCB（）求A的大小；（）求I的最大值22、（本小题满分12分）在ABC中，ABC、分别为内角ABC、的对边，且2SINSIN2SINB（）求的大小；（）若I1，试判断的形状23、（本小题满分12分）在ABC中，已知B45,D是BC边上的一点，AD10,AC14,DC6，求AB的长八、选择题24、平面上O,A,B三点不共线，设,OAABB，则OAB的面积等于A22|ABAB22|C1|D1|25、平面上,OAB三点不共线，设,OAABB,则OA的面积等于（A）22AB（B）22A（C）221（D）221B九、填空题26、（2010浙江理数）（14）设12,32NNNNX012NAXA，将K的最小值记为NT，则2345351,0,23NTT其中N_27、（2010辽宁理数）（16）已知数列NA满足113,2,NA则NA的最小值为_28、设NS为等差数列NA的前项和，若3624S，则9A。29、（2010陕西文数）11观察下列等式1323（12）2，132333（123）2，13233343（1234）2，根据上述规律，第四个等式为1323334353（12345）2（或152）十、选择题30、设抛物线28YX的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，PAL，为垂足，如果直线AF斜率为3，那么P（A）4（B）8（C）83（D）1631、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线F与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）312（D）51232、设抛物线Y28X的焦点为F，准线为L,P为抛物线上一点,PAL,A为垂足如果直线AF的斜率为3,那么|PF|A4B8C83D1633、设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A2B3C12D51234、设A,B为实数，若复数12IAB，则（A）31,2ABB3,1ABCD十一、解答题35、（本小题满分10分）选修41几何证明选讲如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（I）证明ABED（II）若C的面积ES21，求的大小。36、（本小题满分12分）设椭圆C210XYAB的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线L的倾斜角为60O,AFBI求椭圆C的离心率；II如果|AB|154，求椭圆C的方程37、（本小题满分10分）选修44坐标系与参数方程已知P为半圆C（为参数，0）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为3。（I）以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II）求直线AM的参数方程。38、已知椭圆的方程为210XYAB，,AB、0,B和,0QA为的三个顶点（1）若点M满足AQB，求点M的坐标；（2）设直线1LYKXP交椭圆于C、D两点，交直线2LYKX于点E若21BKA，证明E为CD的中点；（3）设点P在椭圆内且不在轴上，如何构作过PQ中点F的直线L，使得L与椭圆的两个交点1P、2满足12Q12P令10A，5B，点的坐标是（8，1），若椭圆上的点、满足，求点1、2的坐标39、（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8KM的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为X轴，线段AB的垂直平分线为Y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10KM的区域。（I）求考察区域边界曲线的方程（II）如图4所示，设线段12P是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动02KM，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上40、（本题满分15分）已知M1，直线20MLXY，椭圆21XCY，,2F分别为椭圆C的左、右焦点（）当直线L过右焦点2F时，求直线L的方程；（）设直线与椭圆C交于,AB两点，12FV，12B的重心分别为,GH若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数M的取值范围解析本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。41、（本小题满分12分）设1F，2分别为椭圆21XYCAB0的左、右焦点，过2F的直线L与椭圆C相交于A,B两点，直线L的倾斜角为60，1F到直线L的距离为23（）求椭圆的焦距；（）如果2AFB,求椭圆C的方程42、（本小题满分10分）选修45不等式选讲已知CBA,均为正数，证明361222CBACBA，并确定CBA,为何值时，等号成立。以下是答案一、选择题1、D在集合U中，去掉1,57，剩下的元素构成UCA2、C【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力。【解析】由于A0,令函数221BYAXXA，此时函数对应的开口向上，当XBA时，取得最小值2B，而X0满足关于X的方程AXB,那么X0,YMIN2201BAXA，那么对于任意的XR,都有21YA2BA2013、D【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于VENN图解决集合问题的能力。【解析】因为AB3，所以3A，又因为UBA9，所以9A，所以选D。本题也可以用VENN图的方法帮助理解。4、D24112XXXEYE，2,10XYE，即1TAN0，3,45、A解析选A21LOG2L5LOG10,10,MMAB又,10M6、C函数FX的最小值是02FFXA等价于0,R，所以命题C错误7、D【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为2411XXEYE，即TANA1,所以34二、填空题8、解（）FX的定义域为（0，）211AAXFX当A时，F0，故F在（0，）单调增加；当1时，X0，故X在（0，）单调减少；当1A0时，令F0，解得12A则当1,2X时，FX0；,时，FX0故F在0,A单调增加，在1,2A单调减少（）不妨假设12X，而1，由（）知在（0，）单调减少，从而,，12124FXFX等价于12,0,X，21FF令4GFX，则24AGX等价于在（0，）单调减少，即12AX从而2224141X故A的取值范围为（，212分9、解FX的定义域为0,，211AAXFX当A0时，F0，故FX在0,单调增加；当A1时，0,故FX在0,单调减少；当1A0时，令F0,解得X12A当X0,12A时,FX0；X2，时，F0,故FX在（0,）单调增加，在（12A，）单调减少不妨假设X1X2由于A2,故FX在（0，）单调减少所以124FF等价于124X14X2,即FX24X2FX14X1令GXFX4X,则A4241X于是G221X0从而GX在（0，）单调减少，故GX1GX2，即FX14X1FX24X2，故对任意X1,X20,，12124FFXX三、选择题10、A由已知，球O的直径为2RSC，表面积为24R11、A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为A的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，A，A，如图，此时A可以取最大值，可知AD3，SD21A，则有1A0综上分析可知A（0,62）四、填空题12、321S【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。321S13、23【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为22314、23PDCBA解析填画出直观图图中四棱锥即是，PABC所以最长的一条棱的长为23五、选择题15、B134560P16、D【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力【解析】第一次循环K1,P1,PNM1第二次循环K2,PNM1NM2；第三次循环K3，PNM1NM2NM3第M次循环K3，PNM1NM2NM3N1N此时结束循环，输出PNM1NM2NM3N1NMA17、B【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则PAPA1PA213542六、填空题18、解（）图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。（）表3疱疹面积小于270M疱疹面积不小于270M合计注射药物A3B10注射药物B35C65D合计19N62490165720K由于82，所以有999的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”19、解（）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为91802CP4分（）（I）图注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。8分（II）表32207653045619K由于K210828，所以有999的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。12分20、解析考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边A、B具有轮换性。当AB或AB时满足题意，此时有1COS3C，21COSTN2C，2TAN，1TANT2TANABC，TANTAB4。（方法二）26COSCSBBCB，222236,ABCCAB2TANTININOSIN1SINSSCSICOCBAABCAAB七、解答题21、解（）由已知，根据正弦定理得22ABCBC即22ABC由余弦定理得2COSA故1COS2A，A1206分（）由（）得INSIN60BCB31COSIN2I60B故当B30时，SINBSINC取得最大值1。12分22、解（）由已知，根据正弦定理得CBCBA22即BCA22由余弦定理得ACOS2故10,COSA（）由（）得SINSINISIN222CB又SINCB，得1B因为90,0，故所以A是等腰的钝角三角形。23、解在ADC中，AD10,AC14,DC6,由余弦定理得COS22DCA1036912,ADC120,ADB60在ABD中，AD10,B45,ADB60，由正弦定理得SINSIBAD,AB310SINSIN625645ADB八、选择题24、C【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。【解析】三角形的面积S12|A|B|SIN，而2221|COS,ABABAB1|1,|SIN,AB25、C22111|SIN,|COS,|22|OABABSABABAB2九、填空题26、解析本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题27、21【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】ANANAN1AN1AN2A2A1A1212N13333N2N所以31设F，令F230，则F在3,上是单调递增，在0,3上是递减的，因为NN,所以当N5或6时N有最小值。又因为53A，612，所以，A的最小值为621A28、填153162354SAD,解得12AD，9185AD29、解析第I个等式左边为1到I1的立方和，右边为1到I1和的完全平方所以第四个等式为1323334353（12345）2（或152）十、选择题30、B利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则4|8SIN30PF31、D不妨设双曲线的焦点在X轴上，设其方程为210,XYAB，则一个焦点为,0,FCBB一条渐近线斜率为A，直线F的斜率为BC，1AC，2BAC20CA，解得512CE32、B【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为32YX，所以点2,43A、6,43P，从而|PF|62833、D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。【解析】设双曲线方程为210,XYAB，则F（C,0）,B0,B直线FBBXCYBC0与渐近线Y垂直，所以1CAA，即B2AC所以C2A2AC,即E2E10,所以152E或E（舍去）34、A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由12IAB可得12IABI，所以12AB，解得3A，B，故选A。十一、解答题35、证明（）由已知条件，可得BECAD因为AEBC与是同弧上的圆周角，所以EBACD故ABEADC5分（）因为ABEADC，所以A，即ABACADAE又S12ABACSIN，且S12ADAE，故ABACSINADAE则SINBAC1，又为三角形内角，所以BAC9010分36、解设12,XY，由题意知1Y0，20（）直线L的方程为3XC，其中2AB联立23,1YXCAB得222430ABY解得221233,CCAYB因为AFB，所以12Y即2233BCACAB得离心率E6分（）因为213ABY，所以24315AB由23CA得5BA所以54，得A3，椭圆C的方程为219XY12分37、解（）由已知，M点的极角为3，且M点的极径等于3，故点M的极坐标为（，）5分（）M点的直角坐标为（,6），A（0,1），故直线AM的参数方程为163XTY（T为参数）10分38、解析1,2ABM；2由方程组12YKXPAB，消Y得方程2222110AKBXAKPB，因为直线1LYKX交椭圆于C、D两点，所以0，即220ABP，设CX1,Y1、DX2,Y2，CD中点坐标为X0,Y0，则10211KABPYKX，