2016年高考全国3卷理科数学试题含详细答案

华发教育华发教育中心绝密启封并使用完毕前注意事项1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至3页，第卷3至5页。2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合，则（）|230,|0SXTXSTA2，3B（，23,）C3,）D（0，23,）UU【答案】D考点1、不等式的解法；2、集合的交集运算【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化（2）若，则（）I12Z4I1ZA1B1CDII【答案】C【解析】试题分析，故选C4I4II121Z考点1、复数的运算；2、共轭复数【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并I同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成1复数除法可类比2I实数运算的分母有理化复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解华发教育华发教育中心（3）已知向量，则（）13,2BAUV31,2BCUVABCABCD04560120【答案】A考点向量夹角公式【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，ABCOSABAB要注意夹角的定义和它的取值范围；（2）由向量的数量积的性质有018，因此，利用平面向量的数量积可以解决与|ACOSABAB长度、角度、垂直等有关的问题（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低A15CB气温约为下面叙述不正确的是（）5CA各月的平均最低气温都在以上B七月的平均温差比一月的平均温差大0CC三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均气温高于的月份有5个20C【答案】D华发教育华发教育中心考点1、平均数；2、统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B（5）若，则（）3TAN42COSINABC1D62851625【答案】A【解析】试题分析由，得或，所以3TAN434SIN,COS534IN,COS5，故选A2162COSI5考点1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式【方法点拨】三角函数求值“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系（6）已知，则（）432A25B13C（A）（B）（C）（D）CABCACAB【答案】A【解析】试题分析因为，所以，故选4235AB123354CABCA考点幂函数的图象与性质【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决华发教育华发教育中心（7）执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的（）46ABN（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B考点程序框图【注意提示】解决此类型时要注意第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体（8）在中，边上的高等于,则（）ABC4B13BCCOSA（A）（B）（C）（D）310100310【答案】C【解析】试题分析设边上的高线为，则，所以AD3B，由余弦定理，知25AD2华发教育华发教育中心，故选C222225910COSABCAD考点余弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90（D）81183655418【答案】B考点空间几何体的三视图及表面积【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解10在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，1ABCVABC6，则的最大值是（）8BC13V（A）4（B）（C）6（D）9232【答案】B【解析】试题分析要使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下VR华发教育华发教育中心底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选3233492RB考点1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解（11）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为OFC210XYAB,AB的左，右顶点为上一点，且轴过点的直线与线段交于点，与CPPALPFM轴交于点若直线经过的中点，则的离心率为（）YEBME（A）（B）（C）（D）131234【答案】A考点椭圆方程与几何性质【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法（1）直接求得的值，进而求得,AC的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；3通过特殊值E,ABCBAE或特殊位置，求出E（12）定义“规范01数列”如下共有项，其中项为0，项为1，且对NN2MM任意，中0的个数不少于1的个数若，则不同的“规范01数2KM12,KA4列”共有（）（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C【解析】试题分析由题意，得必有，则具体的排法列表如下10A8华发教育华发教育中心01110110101110011010110010110100110101100101010101考点计数原理的应用【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题本大题共3小题，每小题5分（13）若满足约束条件则的最大值为_,XY102XYZXY【答案】32【解析】试题分析作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过ZXY点时取得最大值，即1,2AMAX132Z考点简单的线性规划问题华发教育华发教育中心【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤1作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；2作出目标函数的等值线等值线是指目标函数过原点的直线；3求出最终结果（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移SIN3COSYXSIN3COSYX_个单位长度得到【答案】3考点1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少X（15）已知为偶函数，当时，则曲线在点FX0XLN3FXXYFX处的切线方程是_1,3【答案】21YX【解析】试题分析当时，则又因为为偶函数，所以0LN3FXFX，所以，则切线斜率为，所以切线方LN3FXX112F程为，即321Y2YX考点1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函0YFX0数的解析式”有如下结论若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为FX0；若为奇函数，则函数的解析式为YFXFYFX（16）已知直线与圆交于两点，过分别L30MXY21X,AB,华发教育华发教育中心做的垂线与轴交于两点，若，则_LX,CD23AB|CD【答案】4考点直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法即几何问题代数化，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知数列的前N项和，其中A1NNSA0（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若，求5312S【答案】（）；（）1NNA1由，得，所以01A0NA1NA华发教育华发教育中心因此是首项为，公比为的等比数列，于是NA1111NNA（）由（）得，由得，即，NNS325S325532解得1考点1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和NANSN为NS【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法（1）定义法，即证明（常数）；1NAQ（2）中项法，即证明根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，212NNA转化为等比数列或等差数列来求解（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；YT（II）建立关于的回归方程（系数精确到001），预测2016年我国生活垃圾无害化处理YT量附注参考数据，264671932IY7140ITY72105IIY7参考公式相关系数1221YNIINIIITR，华发教育华发教育中心回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为YAB12NIIITB，AYBT【答案】（）理由见解析；（）182亿吨试题解析（）由折线图这数据和附注中参考数据得，4T2871IT50712IIY，8923417717171IIIITYT90642508R因为与的相关系数近似为099，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模YTYT型拟合与的关系考点线性相关与线性回归方程的求法与应用【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判RRR断求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性（19）（本小题满分12分）华发教育华发教育中心如图，四棱锥中，地面，PABCABCDA3BDAC，为线段上一点，为的中点4M2MNP（I）证明平面；MNAPB（II）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）852【解析】试题分析（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边PBTAMNT形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）以为坐标原点，MNA以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量,AD,YZ与平面法向量的夹角来处理与平面所成角PNPM试题解析（）由已知得，取的中点，连接，由为23ADBTNA,中点知，PCBTN/1C又，故，四边形为平行四边形，于是AD/AMNTATM/因为平面，平面，所以平面PB/PB华发教育华发教育中心设为平面的法向量，则，即，可取,NXYZPMN0PNNM0254ZYX，021于是|85|COS,2NA考点1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理（20）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，C2YXFX12,LC,AB交的准线于两点PQ（I）若在线段上，是的中点，证明；FABRPARFQ（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程FB华发教育华发教育中心【答案】（）见解析；（）21YX试题解析由题设设，则，且0,21FBYLAL,210A,1,02RQPBBAA记过两点的直线为，则的方程为3分,L02ABYX（）由于在线段上，故FA01AB记的斜率为，的斜率为，则，AR1KQ2K2211KBABA所以5分（）设与轴的交点为，LX0,1XD则2,2211BASABFABSPQFABF由题设可得，所以（舍去），1X01X1X设满足条件的的中点为AB,YE当与轴不垂直时，由可得XDEABK12XYBA而，所以YBA212X当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为12分ABXE12XY考点1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法华发教育华发教育中心【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点（21）（本小题满分12分）设函数，其中，记的最大值为COS21COSFXAX0A|FXA（）求；（）求；A（）证明|2FX【答案】（）；（）；2SIN1SINFXAXX213,056,81AA（）见解析试题解析（）2SIN1SINFXAXX（）当时，1A|SINCOS|FXX2A320F因此，4分32A当时，将变形为01AFX2COS1COSFXXX令，则是在上的最大值，21GTTA|GT,1GA，且当时，取得极小值，极小值为13A4AT2261488G华发教育华发教育中心令，解得（舍去），14A1315A（）当时，在内无极值点，05GT,|GA|1|23GA，所以|1|G23AA（）由（）得|2SIN1SIN|2|1|FXAXXA当时，105A|143FA当时，所以38AA|12FXA当时，所以1A|1642FXA|A考点1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自变量的取SINYXBX值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解请考生在22、23、24题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）选修41几何证明选讲如图，中的中点为，弦分别交于两点OABPCDABEF（I）若，求的大小；2PF（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明ECFGOCD华发教育华发教育中心【答案】（）；（）见解析60试题解析（）连结，则BCP,BCDPCBDPAF,因为，所以，又，所以AAF又，所以，因此180,2PFD31806C（）因为，所以，由此知四点共圆，BFPCDEFEFDC,其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点EG的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此GOCDO考点1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等华发教育华发教育中心23（本小题满分10分）选修44坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，XOY1C3CO