拓扑学练习题

1点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分）1、已知,下列集族中，（）是上的拓扑,XABCDEX,ACT,BEX,ACDET答案2、设，下列集族中,（）是上的拓扑BCX,XAC,ABCT,T答案3、已知,下列集族中，（）是上的拓扑,ABCDX,XACD,ABCDT,T答案4、设，下列集族中,（）是上的拓扑ABCX,XAB,ABACT,CT答案5、已知,下列集族中，（）是上的拓扑,ABDX2,XABCDT,XABCDT,答案6、设，下列集族中,（）是上的拓扑ABC,XBCT,XABCT,答案7、已知，拓扑,则（）,ABCD,ABXBCD答案8、已知，拓扑,则（）,ABCD,XAT,BBCD答案9、已知，拓扑,则（）,XAB,AB答案10、已知，拓扑,则（）,AB,XATB答案11、已知，拓扑,则（）,XABCD,ABCD答案312、已知，拓扑,则（）,XABCD,XATCCBD答案13、设，拓扑,则的既开又闭的,ABCD,ACX非空真子集的个数为（）1234答案14、设，拓扑,则的既开又闭的非空,XABC,XABCT真子集的个数为（）1234答案15、设，拓扑,则的既开又闭的非空,ABC,BCX真子集的个数为（）0123答案16、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数,XAB,XBT为（）0123答案17、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个,AB,ABX数为（）1234答案18、设，拓扑,则的既开又,XABC,ABCT闭的非空真子集的个数为（）1234答案19、在实数空间中，有理数集的内部是（）Q4QRQR答案20、在实数空间中，有理数集的边界是（）QRQR答案21、在实数空间中，整数集的内部是（）ZRZR答案22、在实数空间中，整数集的边界是（）RZR答案23、在实数空间中，区间的边界是（）0,1,0,1答案24、在实数空间中，区间的边界是（）2,3,2,3答案25、在实数空间中，区间的内部是（）0,1,0,15答案26、设是一个拓扑空间，A,B是的子集,则下列关系中错误的是（XX）DDBAB答案27、设是一个拓扑空间，A,B是的子集,则下列关系中正确的是（XX）DDBAB答案28、设是一个拓扑空间，A,B是的子集,则下列关系中正确的是（XX）DABDBDDA答案29、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的XX是（）DDA答案30、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确XX的是（）若,则若,则D0AXDXA若A,则若,则12X答案631、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的XX是（）若,则若,则D0AXDX若A,则若,则12X12A答案32、设，令,则由产生的上的,XABCD,ABCDBBX拓扑是（）,C,D,C,D,A,B,C,C,D,C,D,C,A,B,CX,D,B,C,B,D,B,C,D答案33、设是至少含有两个元素的集合，,XPX是的拓扑，则（）是的基|GPTT,|BXX|BX|XP答案34、设,则下列的拓扑中（）以为子基XABC,SA,A,A,C,A,A,B,A,B,X答案35、离散空间的任一子集为7开集闭集即开又闭非开非闭答案36、平庸空间的任一非空真子集为开集闭集即开又闭非开非闭答案37、实数空间中的任一单点集是R开集闭集既开又闭非开非闭答案38、实数空间R的子集A1,则（）2134ARA0A答案39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）整数集有理数集无理数集BA,答案40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）整数集Z有理数集无理数集整数集Z的补集答案41、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（1,23X,TX）1234答案42、已知,则上的所有可能的拓扑有（）AB1个2个3个4个答案43、已知A,B,C,则上的含有个元素的拓扑有（）个XX3579答案44、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为T8T,XT,X当时,当时,TUTU答案45、在实数下限拓扑空间中，区间是（）R,AB开集闭集既是开集又是闭集非开非闭答案46、设是一个拓扑空间，,且满足,则是（X,ABXDAB）开集闭集既是开集又是闭集非开非闭答案47、设,是的拓扑，,123,12,3,2T12则的子空间的拓扑为XA,1,TX122答案48、设,是的拓扑，,3X,13,2TXX13A则的子空间的拓扑为A,1,1T3答案49、设,是的拓扑，,12X,12,3,2TXX23A则的子空间的拓扑为A,3,T9,2,3,TX,3TX答案50、设,是的拓扑，,则1,1,21A的子空间的拓扑为A,T,1T1,3XX答案51、设,是的拓扑，,则2,2,13,2T2A的子空间的拓扑为XA,1,T212X答案52、设,是的拓扑，,则13X,1,3,TX3A的子空间的拓扑为A,2,1,TX33答案53、设是实数空间，是整数集，则的子空间的拓扑为（）RZRZ,TTP答案1054、设是拓扑空间的积空间是126XX126,X1P到的投射，则是（）1P单射连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案55、设是拓扑空间的积空间是126XX126,X2P到的投射，则是（）P单射连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案56、设是拓扑空间的积空间是126XX126,X3P到的投射，则是（）33P单射连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案57、设是拓扑空间的积空间是126XX126,X4P到的投射，则是（）44P单射连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案58、设是拓扑空间的积空间是126XX126,X5P到的投射，则是（）55P单射连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案59、设是拓扑空间的积空间是126XX126,X6P11到的投射，则是（）X66P单射连续的单射满的连续闭映射满的连续开映射答案60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，1212X1AX，则有（）BXAABBB答案61、有理数集是实数空间的一个（）QR不连通子集连通子集开集以上都不对答案62、整数集是实数空间的一个（）Z不连通子集连通子集开集以上都不对答案63、无理数集是实数空间的一个（）R不连通子集连通子集开集以上都不对答案64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若,则ZYZ为不连通子集连通子集闭集开集答案65、设是平庸空间，则积空间是（）12,X12X离散空间不一定是平庸空间平庸空间不连通空间12答案66、设是离散空间，则积空间是（）12,X12X离散空间不一定是离散空间平庸空间连通空间答案67、设是连通空间，则积空间是（）12,X12X离散空间不一定是连通空间平庸空间连通空间答案68、实数空间R中的连通子集E为开区间闭区间区间以上都不对答案69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为开区间闭区间区间以上都不对答案70、实数空间R中的连通子集E为开区间闭区间区间区间或一点答案71、下列叙述中正确的个数为（）（）单位圆周是连通的；（）是连通的1S0R（）是连通的（）和同胚20,R21234答案72、实数空间仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案73、整数集作为实数空间的子空间（）ZR仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理13既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案74、有理数集作为实数空间的子空间（）QR仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案75、无理数集作为实数空间的子空间（）仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案76、正整数集作为实数空间的子空间（）ZR仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案77、负整数集作为实数空间的子空间（）Z仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案78、2维欧氏间空间（）2R仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案79、3维欧氏间空间（）3仅满足第一可数性公理仅满足第二可数性公理既满足第一又满足第二可数性公理以上都不对答案80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）平庸性连通性离散性第一可数性公理答案81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）第一可数性公理连通性14第二可数性公理平庸性答案82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）第一可数性公理可分性第二可数性公理离散性答案83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）平庸性可分性离散性第二可数性公理答案84、设是一个拓扑空间，若对于,均有,X,XYXXY则是空间空间空间以上都不对0T1T2答案85、设，则是1,2X,X,T空间空间空间以上都不对0T1T2答案86、设，则是,2,空间空间空间道路连通空间0T1T2答案87、设，则是,23X,X,T空间空间空间以上都不对0T1T2答案88、设，则是1,23,3（,X空间空间空间以上都不对0T1T2答案89、设，则是1,23X,3X（,T15空间空间空间以上都不对0T1T2答案90、设，则是1,23X,X（,XT空间空间空间以上都不对0T1T2答案91、设，则是1,23,1,空间空间空间以上都不对0T1T2答案92、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，XX则是（）正则空间正规空间空间空间1T4答案93、设是一个拓扑空间，若的每一个有限子集都是闭集，则是（）X正则空间正规空间空间空间1T4答案94、设是一个拓扑空间，若对及的每一个开邻域，都存XXU在的一个开邻域,使得,则是（）XVU正则空间正规空间空间空间1T4答案95、设是一个拓扑空间，若对的任何一个闭集及的每一个开XXA邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（）UAVUX正则空间正规空间空间空间1T4答案96、设，则是1,23X，,23X（T,16空间空间空间正规空间0T1T2答案97、设，则是,23X，,13X（,XT空间空间空间正规空间0T1T2答案98、设，则是,23，,31（,空间空间空间正则空间0T1T2答案99、设，则是,23X，,1X,XT空间正则空间空间正规空间T4T答案100、设，则是1,23，,13,空间正则空间空间正规空间T4T答案101、设，则是1,23X，,23,X,XT空间正则空间空间正规空间T4T答案102、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个（）X连通空间道路连通空间紧致空间可分空间答案103、紧致空间中的每一个闭子集都是（）连通子集道路连通子集紧致子集以上都不对答案104、HAUSDORFF空间中的每一个紧致子集都是（）连通子集开集闭集以上都不对17答案105、紧致的HAUSDORFF空间中的紧致子集是（）连通子集开集闭集以上都不对答案106、拓扑空间的任何一个有限子集都是（）X连通子集紧致子集非紧致子集开集答案107、实数空间的子集是（）R1,23A连通子集紧致子集开集非紧致子集答案108、实数空间的子集是（）,4连通子集紧致子集开集非紧致子集答案109、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（）XX空间紧致空间可数补空间非紧致空间1T答案二、填空题（每题1分）1、设,则的平庸拓扑为XAB答案T2、设,则的离散拓扑为答案,XAB、同胚的拓扑空间所共有的性质叫答案拓扑不变性质4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_答案R5、当且仅当对于的每一邻域有ADXXU答案U6、设是有限补空间中的一个无限子集，则XDA18答案X7、设是有限补空间中的一个无限子集，则AA答案8、设是可数补空间中的一个不可数子集，则D答案X9、设是可数补空间中的一个不可数子集，则AA答案10、设,的拓扑,则的子集123,23TXX1,2的内部为答案211、设,的拓扑,则的子集X,1,3A的内部为答案112、设,的拓扑,则的子集123,23TXX1,2的内部为答案113、设,的拓扑,则的子集X,3A的内部为答案14、设,则的平庸拓扑为ABCX答案T15、设,则的离散拓扑为XC答案,ABCACB16、设,的拓扑,则的子集12323TXX19的内部为1,3A答案317、设,的拓扑,则的子集2X,13,TXX的内部为1,答案118、是拓扑空间到的一个映射，若它是一个单射，并且FYY是从到它的象集的一个同胚，则称映射是一个XFXF答案嵌入19、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并FYY且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个FF答案商映射20、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个,XYFXYX开集的象集是中的一个开集，则称映射是一个UFF答案开映射21、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个,YFY闭集的象集是中的一个闭集，则称映射是一个FF答案闭映射22、若拓扑空间存在两个非空的闭子集,使得XAB,则是一个；,AB答案不连通空间23、若拓扑空间存在两个非空的开子集,使得,则是一个；,X20答案不连通空间24、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个XX；答案不连通空间25、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则YZYZ也是的一个Z答案连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；答案在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；答案可商性质28、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间1N12,NXP也具有性质，则性质称为12XP答案有限可积性质29、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得XAB,则称是一个；ABX答案不连通空间30、若满足第一可数性公理，则积空间满足12,12X答案第一可数性公理31、若满足第二可数性公理，则积空间也满足12,X12答案第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个子空间也具有性P质,则称性质为P答案可遗传性质33、设是拓扑空间的一个子集，且,则称是的一个DXDX；答案稠密子集34、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个；21答案可分空间35、设是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，X则称是一个；答案LINDELFF空间36、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个开子空间也具有P性质,则称性质为P答案对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质,那么它的任何一个闭子空间也具有性质,则称性质为答案对于闭子空间可遗传性质38、设是一个拓扑空间，如果X则称是一个空间0T答案中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设是一个拓扑空间，如果则称是一个空间X1T答案中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设是一个拓扑空间，如果则称是一个空间2T答案中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻X域互不相交41、正则的空间称为；1答案空间3T42、正规的空间称为；1答案空间443、完全正则的空间称为；1T答案空间或TYCHONOFF空间352244、设是一个拓扑空间如果的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，XX则称拓扑空间是一个答案紧致空间45、设是一个拓扑空间，是的一个子集如果作为的子空间YYX是一个紧致空间，则称是拓扑空间的一个答案紧致子集46、设是一个拓扑空间如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆XX盖，则称拓扑空间是一个答案可数紧致空间47、设是一个拓扑空间如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个答案列紧空间48、设是一个拓扑空间如果中的每一个序列都有一个收敛的子XX序列，则称拓扑空间是一个答案序列紧致空间三判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射答案理由设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，XYFXY因为对任意，都有,由于中的任何一个子集都A1FA（是开集，从而是中的开集，所以是连续的1FF2、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑12,TX12TX答案理由因为（1）是的拓扑，故T1，T，从而12,；,12（）对任意的T1T，则有T1且T，由于T1,BA,BA,T2是的拓扑，故T1且T2，从而XT1T；23（）对任意的，则，由于T1,T2是21T21,T的拓扑，从而UTUT1,UTUT2,故UTUXT1T；综上有T1T也是的拓扑X3、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（）Y答案理由设是任一满足条件的映射，由于是平庸空间，它FY中的开集只有,易知它们在下的原象分别是,均为中的FX开集，从而连续FXY4、设为离散拓扑空间的任意子集，则（）ADA答案理由设为中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，P所以是的开子集，且有，即,从而XPPDADA5、设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则（）答案理由设,则对于任意,有唯一的一个邻域，且AYXXYXX有,从而，因此是的一个凝聚点，但YXXAA对于的唯一的邻域，有,所以有YD6、设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则（AX24）答案理由对于任意因为包含多于一点，从而对于的唯一的邻,XXAX域，且有，因此是的一个凝聚点，即，XXDA所以有DA7、设是一个不连通空间，则中存在两个非空的闭子集,使得XB（）,B答案理由设是一个不连通空间，设是的两个非空的隔离子集X,AB使得,显然，并且这时有AB从而是的一个闭子集，同理可证是的一个闭子集，这就证XAX明了满足,B8、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间答案理由这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集，令AX，则都是中的非空闭子集，它们满足，易见BA,ABX是隔离子集，所以拓扑空间是一个不连通空,9、设拓扑空间满足第二可数性公理，则满足第一可数性公理（）答案理由设拓扑空间满足第二可数性公理，是它的一个可数基，对XB于每一个,易知是点处的一个邻域基，它XB|XX是的一个子族所以是可数族，从而在点处有可数邻域基，故BX25满足第一可数性公理X10、若拓扑空间满足第二可数性公理，则的子空间也满足第二XY可数性公理（）答案理由由于满足第二可数性公理，所以它有一个可数基，因B为是的子空间，则是的一个可数基，YX|B|BY从而的子空间也满足第二可数性公理11、若拓扑空间满足第一可数性公理，则的子空间也满足第一XY可数性公理（）答案理由由于满足第一可数性公理，所以对,在点处有XXX一个可数邻域基，因为是的子空间，则VXY是在点的一个可数邻域基，从而的子|XYXX空间也满足第一可数性公理12、设，则是空间1,23X,23,XT,T3答案理由因为是的一个闭集，对于点和没有各自的开,1,邻域互不相交，所以不是正则空间，从而不是空间3T注也可以说明不是空间X1T13、设，则是空间1,23,2,X3答案理由因为是的一个闭集，对于点和没有各自的开,X2,邻域互不相交，所以不是正则空间，从而不是空间3T注也可以说明不是空间1T14、设，则是空间1,23X，,3,X,X126答案理由因为对于点和点，没有开邻域不包含，从而不是X空间1T注也可以考虑点和点15、设，则是空间,23X，,13,XT,XT4答案理由因为对于点和点，没有开邻域不包含，从而不是X空间故是空间1T,4注也可以考虑点和点16、空间一定是空间（）32T答案理由因为空间是正则的空间，所以对于空间中的任意不31T3TX同的两点，是中的闭集，由于是正则空间，从而,XYX对于它们有各自的开邻域使得，所以是空,UV2T间17、空间一定是空间（）4T3T答案理由因为空间是正规的空间，所以对于空间中的任意41T4TX点和不包含的闭集，由于也是一个闭集及是正规空间，XXAX故存在的开邻域使得，这说明是正则空间，,UV因此是空间X3T18、设是拓扑空间的两个紧致子集，则是一个紧致子集,ABAB答案理由设A是一个由中的开集构成的的覆盖，由于和XA27都是的紧致子集，从而存在A的有限子族A1A2分别是BX和的覆盖，故是A的有限子族且覆盖，所以A12B是紧致子集19、HAUSDORFF空间中的每一个紧致子集都是闭集答案理由设是HAUSDORFF空间的一个紧致子集，则对于任何X，若，则易知不是的凝聚点，因此，从而XXAXAA是一个闭集四名词解释每题2分1同胚映射答案设和是两个拓扑空间如果是一个一一映射，YFXY并且和都是连续映射，则称是一个同胚映射或同F1XF胚2、集合的内点A答案设是一个拓扑空间，如果是点的一个邻域，AXXX则称点是集合的一个内点X3、集合的内部答案设是一个拓扑空间，则集合的所有内点构成的集X合称为集合的内部4拓扑空间的基,T答案设是一个拓扑空间，是的一个子族如果中的BTT每一个元素是中的某些元素的并，则称是拓扑的一个基B5闭包答案设是一个拓扑空间，集合与集合的导集XAXA的并称为集合的闭包DAD6、序列答案设是一个拓扑空间，每一个映射叫做中的一SZX个序列7、导集28答案设是一个拓扑空间，集合的所有凝聚点构成的集合称为XA的导集A8、不连通空间答案设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使XAB得,则称是一个不连通空间B9、连通子集答案设是拓扑空间的一个子集如果作为的子空间是一个YY连通空间，则称是的一个连通子集10、不连通子集答案设是拓扑空间的一个子集如果作为的子空间是一XX个不连通空间，则称是的一个不连通子集11、空间1A答案一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为空间1A12、空间2答案一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为空间2A13、可分空间答案如果拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个可分XX空间14、空间0T答案设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空X0T间15、空间1T答案设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中XX每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空间X1T2916、空间2T答案设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点各自XX有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间是空X2T间17、正则空间答案设是一个拓扑空间，如果中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正则空间X18、正规空间答案设是一个拓扑空间，如果中的任何两个无交的闭集都X各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正规空间19、完全正则空间答案设是一个拓扑空间，如果对于和中任何一个不X包含点的闭集存在一个连续映射使得以及XB0,1F0FX对于任何有，则称拓扑空间是一个完全正则空间Y1FX20、紧致空间答案设是一个拓扑空间如果的每一个开覆盖都有一个有限X子覆盖，则称拓扑空间是一个紧致空间21、紧致子集答案设是一个拓扑空间，是的一个子集如果作为的YXYX子空间是一个紧致空间，则称是拓扑空间的一个紧致子集22、可数紧致空间答案设是一个拓扑空间如果的每一个可数开覆盖都有有X限子覆盖，则称拓扑空间是一个可数紧致空间23、列紧空间答案设是一个拓扑空间如果的每一个无限子集都有凝聚X点，则称拓扑空间是一个列紧空间24、序列紧致空间答案设是一个拓扑空间如果中的每一个序列都有一个收X敛的子序列，则称拓扑空间是一个序列紧致空间五简答题（每题4分）1、设是一个拓扑空间，是的子集，且试说明,ABXAB30DAB答案对于任意,设是的任何一个邻域，则有XDAUX,由于，从而UB，因此，故BXXXDBADB2、设都是拓扑空间,都是连续映射，试说,XYZFXYGZ明也是连续映射GF答案设是的任意一个开集，由于是一个连续映射，W从而是的一个开集，由是连续映射，故1YFXY是的一开集，因此是FGX11GFWFG的开集，所以是连续映射GFZ3、设是一个拓扑空间，试说明若是一个闭集，则的补AAA集是一个开集A答案对于,则，由于是一个闭集，从而有一个邻XX域使得,因此，即,所以对任何UU,是的一个邻域，这说明是一个开集XA4、设是一个拓扑空间，试说明若的补集是一个开集，XXA则是一个闭集A答案设,则,由于是一个开集，所以是的一个邻XX域，且满足,因此,从而,即有，这说明是一个闭集5、在实数空间R中给定如下等价关系或者或者XY1,2,1YX,2,YX设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑,0YY31T答案1,0,Y6、在实数空间R中给定如下等价关系或者或者XY,2,YX,2,YX设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓31YY扑T答案,3,2Y7、在实数空间R中给定如下等价关系或者或者XY1,2,1YX,2,YX设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓,YY扑T答案,1,Y8、在实数空间R中给定如下等价关系或者或者XY,2,1YX,2,YX设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓,YY扑T答案,2,1Y9、在实数空间R中给定如下等价关系或者或者XY,2,YX,2,YX设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑0,3YYT32答案,3,2TY10、在实数空间R中给定如下等价关系或者或者XY1,2,1YX,2,YX设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑0,4YYT答案,4,2Y11、在实数空间R中给定如下等价关系或者或者XY1,2,1YX,2,YX设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓,4YY扑T答案,4,2Y12、离散空间是否为空间说出你的理由A答案因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是空间至多含有可数多个点的离散空2间是空间213、试说明实数空间是可分空间R答案因为是可数集，且的任何一个非空的开集至少包含一个Q球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此，故实数空间是可RQR分空间14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理答案设是一个度量空间,对，则所有的以为中心，以XXXX正有理数为半径的球形邻域构成处的一个可数邻域基，从而满X足第一可数性公理15、设是一个空间，试说明的每一个单点集是闭集1T33答案对，由于是空间，从而对每一个，XX1T,YXX点有一个邻域使得，即，故，因此YUXX,这说明单点集是一个闭集X16、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，试说明XX是一个空间1T答案对于任意，都是闭集，从而和,XY,XYX分别是和的开邻域，并且有,从而是一YYX个空间1T17、设是一个空间，是任何一个不属于的元素令,X1T和，试说明拓扑空间是一个X,XT空间0T答案对任意,若,都不是，则由于,XYXY,XY是一个空间，从而各有一个开邻域,使得若,X1UV,UX中有一个是，不妨设,则有开邻域不包含由以上YX的讨论知，对中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而是空间X0T18、若是一个正则空间，试说明对及的每一个开邻域，X都存在的一个开邻域,使得XVU答案对,设是的任何一个开邻域，则的补集是U一个不包含点的一个闭集由于是一个正则空间，于是和XX分别有开邻域和,使得，因此，所以UWVWV3419、若是一个正规空间，试说明对的任何一个闭集及的每XXA一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得UAVU答案设是的任何一个闭集，若是空集，则结论显然成立下设不是空集，则对的任何一个开邻域，则的补集是A一个不包含点的一个闭集由于是一个正规空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以VWWVU20、试说明空间的任何一个子集的导集都是闭集1TX答案设是的任何一个子集，若是空集，则，从AADA而的导集是闭集下设不是空集，则对,则有开XX邻域,使得，由于是空间，从而是UXX1TU开集，故,于是,所以是它每一点的邻域，XDAUDAD故是开集，因此是闭集21、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点X答案如果的无穷子集的没有凝聚点，则对于任意，有XX开邻域，使得，于是的开覆盖没XUXAX|U有有限子覆盖，从而不是紧致空间，矛盾故紧致空间的无穷子集必有凝聚点22、如果是紧致空间，则是紧致空间XY答案考虑投射，由于是一个连续的1PY1PY满射，从而由紧致知是一个紧致空间X23、如果是紧致空间，则是紧致空间答案考虑投射，由于是一个连续的满22射，从而由紧致知是一个紧致空间XY3524、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集XY答案如果A是的任意一个由中的开集构成的覆盖，则X是的一个开覆盖设是的一个有限子族并且覆YB1B盖则便是A的一个有限子族并且覆盖，从而是紧1Y致子集六、证明题（每题8分）1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射则FXYX是的一个连通子集证明如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集FY使得3,ABXAB分于是是的非空子集，并且1,FF1111FFBFAFA所以是的非空隔离子集此外，1,FFBX，这说明不连通，11AFXX矛盾从而是的一个连通子集8分FY2、设是拓扑空间的一个连通子集,证明如果和是的两YAB个无交的开集使得,则或者,或者BAY证明因为是的开集，从而是子空间的开集,XY又因中，故4分Y由于是的连通子集,则中必有一个是空集若YYBA,36,则若,则8分YBAYB3、设是拓扑空间的一个连通子集,证明如果和是的两XAX个无交的闭集使得,则或者,或者Y证明因为是的闭集，从而是子空间的闭集,又因中，故4分BAYBYA由于是的连通子集,则中必有一个是空集若X,则若,则8分4、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也YZXYZ是的一个连通子集证明若是的一个不连通子集，则在中有非空的隔离子集ZX使得因此,ABBYAB3分由于是连通的，所以或者,如果，由于YYA，所以，因此,同理可ZZZB证如果，则,均与假设矛盾故也是的一个连通子BAX集8分5、设是拓扑空间的连通子集构成的一个子集族如果YX,则是的一个连通子集Y证明若是的一个不连通子集则有非空的隔离子集X使得4分,ABAB任意选取,不失一般性，设,对于每一个，由XYXA于连通，从而及,矛盾，Y37所以是连通的8分Y6、设是拓扑空间的一个连通子集，是的一个既开又闭的集合证AXBX明如果,则BA证明若,则结论显然成立下设,由于是的一个既开又闭的集合,从而是的ABX子空间的一个既开又闭的子集4分由于及连通，所以，故8分AB7、设A是连通空间X的非空真子集证明A的边界证明若,由于,从而,AA故是的隔离子集4分,AX因为A是X的非空真子集,所以A和均非空,于是X不连通,与题设矛盾所以8分8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间证明X不满足第一可数性公理证明若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，X设为VX,因为X是可数补空间，因此对,XY是的一个开邻域，从而,使得YXYV于是,4分Y由上面的讨论我们知道YXXXYV38因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾XXXXYUV从而X不满足第一可数性公理8分9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间证明X不满足第一可数性公理证明若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，X设为VX,因为X是有限补空间，因此对,XY是的一个开邻域，从而,使得于YXYV是,4分由上面的讨论我们知道YXXXY因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾XXXYUV从而X不满足第一可数性公理8分10、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射满,YFXYX足第二可数性公理，证明也满足第二可数性公理证明设满足第二可数性公理，是它的一个可数基由于B是一个开映射，是由中开集构成的FX|FY一个可数族3分下面证明是的一个基设是的任意开集，则是中BYUY1FUX的一个开集因此存在,使得由于是一1B11BFF个满射，所以有,从而是中某些元素1F的并，故是的一个基这说明也满足第二可数性公理8BYY分3911、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射满,XYFXYX足第一可数性公理，证明也满足第一可数性公理证明对,由于是一个满射，所以存在,使YFX得,由于满足第一可数性公理，故在点处存在一个可数FX邻域基，设为,又由于是一个开映射，则VXFXY是中点的一个可数邻域族3分|YFY下面证明是中点的一个邻域基设是中点的任意邻域，YYUY则是中点的一个邻域因此存在,使得因1FUXXVX1FU此,从而是中点的一个邻域基这说明也满足第一VYYY可数性公理8分12、是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证A至少有A一个凝聚点证明若没有凝聚点，则对任,一定存在的一个邻域，XAXXU使得,由于满足第二可数性公理，设是它的可数XUB基，故一定存在一个,使得,BXX更有AX,4分XB若令CXA,B,则有CB，从而C必|XXU可数于是A这样A就是可数集，这与题设XXCA为不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚点8分13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族证明设是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集40构成的集族,由于满足第二可数性公理，X设是X的可数基3分B对的每一个元素A,因为是的基,存在使得因ABBA为中的元素两两无交,从而中不同元素包含中的元素也不相同因为可数,故是可数族8分14、设是一个空间,证明的每一个邻域中X1TXXDXU都含有中的无限多个点A证明设，若有一个开邻域含有中的有限多个点，XDUA设,则是一个有限集，从而是一个闭集，故BUBB是一个开集且是的一个开邻域X4分又易知,从而，矛盾故含有中AXDAUA的无限多个点8分15、设是一个空间,证明对的每一个邻域X1TXXX有是无限集UA证明设，若有一个开邻域含有中的有限多个点，XDUA设,则是一个有限集，从而是一个闭集，故BBB是一个开集且是的一个开邻域X4分又易知,从而，矛盾故是无限UAXDAUA集8分16、设是空间的一个收敛序列,证明的极限点唯一IX2TXI证明若极限点不唯一，不妨设,其中，1LIMXY2LIIXY12Y由于是空间，故和各自的开邻域，使得21Y2,UV41因，故存在，使得当时，；同理存在1LIMXY10N1INIXU，使得当时，20N2I4分IXV令,则当时，从而,矛12AINIXUV盾，故的极限点唯一IX8分17、设是一个拓扑空间，证明是HAUSDORFF空间当且仅当积空间XX的对角线是一个闭集,|XX证明充分性对任意，于是,由于是闭,Y,XY集，所以是开集，从而有的开邻域使得，XUVV于是分别是的开邻域,且，从而是HAUSDORFF,UVXYX空间4分必要性若是HAUSDORFF空间，对，则和分别有X,XYXY开邻域，使得，从而，由于,VUV是中的开集，所以是其每一点的邻域，故是开集，UV从而是闭集8分18、设是HAUSDORFF空间，是连续映射证明XFX是的闭子集|AXFX证明对于，则，从而有互不相交的开邻AFX,FX域和，设，4分UV1WUV则是的开邻域，并且,故是开集，XA42从而是闭集8分A19、设X是一个正则空间，A是的闭子集,，证明和分XAXXA别有开邻域和使得UV证明由于X是一个正则空间，从而X和A分别有开邻域W和V使得，故，因此4分WV又由正则空间的性质知存在X的开邻域U使得,从而8分VU20、设X是一个正规空间，A，B是X的两个无交的闭子集证明和B分别有开邻域和使得AUV证明由于X是一个正规空间，从而A和B分别有开邻域W和V使得，故，因此4分W由正规空间的性质知存在A的开邻域U使得,从而8分VU21、设X是一个拓扑空间，是闭区间，若对的任何两个无交的0,1X闭集都存在一个连续映射,使得当时，,AB01FXA,当时，证明X是一个正规空间0FXFX证明设是的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续X映射,使得当时，,当时，1FXA0FXB1FX设,4分05U105VF易知分别是和的开邻域且从而X是一个正规空,BUV间8分4322、证明空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一4T定是一个不可数集证明设是空间中的一个连通子集，如果不只包含一个C4XC点，任意选取对于空间中的两个无交的闭集,XY4TX，应用URYSOHN引理可见，存在一个连续映射,XY，使得和0,1FX0FX1FY4分由于是的一个连通子集，从而连通，由于，CFC0,1FC所以，由于是一个不可数集，所以也是一个不0,1F,可数集8分23、X是空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个BB及XB,4T都有一个B使得XB11证明X是空间，必为的正规空间，对任意XX,X为闭集4T对于BB且XB,B就是X的一个开邻域由于X为正规空间，必存在X的一个开邻域U,使得4分BU也是X的开邻域，一定存在一个B，使得XU,且有11，当然就有X8分B1124、设为HAUSDORFF空间,是一个连续映射,且XXF证明是的闭集FFF证明对，则，由于是HAUSDORFF空间，XXXF存在和的邻域，使得又因为连续,故存FVU,11F44在的邻域,使得,令,则是的邻域,X2UVF221UX且4分XF事实上,若存在使得,即使得于是ZXFZYYFZ,而,FZFYFVU这样,矛盾所以,即VU1XFF是闭集8分25、设X是空间，A是X的至少含有两点的连通子集，则A一定是1T无限集证明若A为有限集，设A,BA且AB,由于X为空间，于是A与1TAA就是X的闭集且A（AA）及AA,4分从而，AAAA,故A不是X的连通子集这与题设相矛盾，所以A必为无限集8分26、如果拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则的每个收敛序列的极限点唯一IX证明因为单点集总是紧致子集，从而拓扑空间的每一个单点集是闭集，故是空间，若的极限点不唯一，不妨设收敛到X1TIX易知是包含的开邻域,因此它包含序列的几,ABBAIX乎所有项，也就是说只有有限项为IXB4分设,则是紧致子集，从而是闭集故是的|NAXBAAAB一个开邻域，它最多只能含的有限多项，从而不是的极限IXIX点，矛盾从而的每个收敛序列的极限点唯一8XI45分27、设是两个拓扑空间，是一个连续映射如果是,XYFXYA的一个紧致子集，证明是的一个紧致子集A证明设C是的一个由中的开集构成的覆盖对于任