数值分析实验报告

学生实验报告实验课程名称开课实验室学院年级专业班学生姓名学号开课时间至学年学期总成绩教师签名1实验项目类型课程名称数值分析实验项目名称GAUSS消元法验证演示综合设计其他指导教师成绩一、实验目的（1）高斯列主元消去法求解线性方程组的过程（2）熟悉用迭代法求解线性方程组的过程（3）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序二、实验内容分别用高斯列主元消元法和直接消元法求解线性方程组7251039142304X三、实验原理对于线性方程组（1）1212N12NBNAXAX常记为矩阵形式（2）AXB根据高等代数的知识，若，上式的解存在且唯一。0A（1（GAUSS直接消元法考虑上述线性方程组的增广矩阵，对增广矩阵进行行变换，将（2）式化为等价的三角形方B阵，然后回代解之，这就是GAUSS消元法。具体如下A消元令；1,NIJIJA，1,2NII，对K1到N1，若，进行0KA211,1,2N0,12NKIIKIKKJIJIJKIIIALIKLIBBK，B回代，若A0N1NNIIIJJKIXBAX（2（GAUSS列主元消元法设列主元消元法已完成的第K1（）次消元，的到方程组AB1KNKXAXB在进行第K次消元前，先进行2个步骤A在至这一列内选出最大值，即，若，此时AN,MAKKIIIN,0KIA0A方程组无确定解，应给出退出信息。B若，则交换第行和行，然后用GAUSS消元法进行消元。,0KIKI四、MATLAB软件实现（1）写出GAUSS消元法和列主元消元法实现的MATLAB函数根据以上的算法，写出如下程序GAUSS消元法FUNCTIONYGAUSS1A,BM,NSIZEA检查系数正确性IFMNERROR矩阵A的行数和列数必须相同RETURNENDIFMSIZEBERRORB的大小必须和A的行数或A的列数相同RETURNEND再检查方程是否存在唯一解IFRANKARANKA,BERRORA矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解RETURN3END这里采用增广矩阵行变换的方式求解CN1A,CB消元过程FORK1N1AK1N,KCAK1N,KCAK1N,K/AK,KAK,KCEND回代结果XZEROSLENGTHB,1XNAN,C/AN,NFORKN111XKAK,CAK,K1NXK1N/AK,KEND显示计算结果DISPXDISPXYX高斯列主元消元法求解线性方程组AXBA为输入矩阵系数,B为方程组右端系数方程组的解保存在X变量中FUNCTIONYGAUSS_LINEA,BFORMATLONG设置为长格式显示,显示15位小数M,NSIZEA先检查系数正确性IFMNERROR矩阵A的行数和列数必须相同RETURNENDIFMSIZEBERRORB的大小必须和A的行数或A的列数相同RETURNEND再检查方程是否存在唯一解IFRANKARANKA,BERRORA矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解RETURNENDCN1A,CB增广FORK1N1R,MMAXABSAKN,K选主元MMK1修正操作行的值4IFAM,K0IFMKAKM,AMK,换行ENDAK1N,KCAK1N,KCAK1N,K/AK,KAK,KC消去ENDENDXZEROSLENGTHB,1回代求解XNAN,C/AN,NFORKN111XKAK,CAK,K1NXK1N/AK,KENDYXFORMATSHORT设置为默认格式显示,显示5位（2）建立MATLAB界面利用MATLAB的GUI建立如下界面求解线性方程组详见程序。五、计算实例、数据、结果、分析下面我们对以上的结果进行测试，求解57251039142304X输入数据后点击和，得到如下结果更改以上数据进行测试，求解如下方程组12344321X得到如下结果6六、实验中遇到的问题及解决办法在本实验中，遇到的问题主要有两个（1）如何将上述的GAUSS消元法的算法在MATLAB中实现针对此问题我借鉴了网上以及课本上的算法的MATLAB实现的程序；（2）如何将建立界面使得可以随意输入想要求解的相关矩阵后就可以直接求解针对此问题，我通过网上的一些关于MATLAB的GUI设计的相关资料，总结经验完成了此项任务。七、实验结论通过以上的测试，我们发现以上算法和程序能够求出线性方程组的比较精确解。八、参考文献1杨大地，王开荣2006数值分析北京科学出版社2何光辉2008数值分析实验重庆大学数理学院数学实验教学中心3百度文库，百度知道教师签名年月日实验项目类型课程名称数值分析实验项目名称插值方法验证演示综合设计其他指导教师何光辉成绩一、实验目的（1）学会拉格朗日插值、牛顿插值等基本方法（2）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序（3）会用这些函数解决实际问题二、实验内容（1）设计拉格朗日插值算法，编制并调试相应的函数子程序（2）设计牛顿插值算法，编制并调试相应的函数子程序（3）给定函数四个点的数据如下X11233951Y3887427646512117试用拉格朗日插值确定函数在X2101，4234处的函数值。（4）已知用牛顿插值公式求的近似值。，392415三、实验原理（1）拉格朗日插值7N次拉格朗日插值多项式为LNXY0L0XY1L1XY2L2XYNLNXN1时，称为线性插值，L1XY0XX1/X0X1Y1XX0/X1X0Y0Y1X0XX0/X1X0N2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2XY0XX1XX2/X0X1/X0X2Y1XX0XX2/X1X0/X1X2Y2XX0XX1/X2X0/X2X1对节点XII0,1,N中任一点XK0KN作一N次多项式LKXK，使它在该点上取值为1，而在其余点XII0,1,K1,K1,N上为0，则插值多项式为LNXY0L0XY1L1XY2L2XYNLNX上式表明N个点XII0,1,K1,K1,N都是LKX的零点。（2）牛顿插值插商公式1231111,KJJJJJJJKFXFXXXNEWTON插值多项式为121231212311,NNNNXFFXFXFX四、MATLAB软件实现（1）分别写出LAGRANGE插值法和NEWTON插值法的求解函数LAGRANGE插值法求解函数X，Y为初始数据，Z为插值点FUNCTIONZLAGRANGEX,Y,AFORMATLONG显示15位NLENGTHX取长度初始计算S0进入公式计算FORJ0N1T1FORI0N1IFIJTTAXI1/XJ1XI1ENDENDSSTYJ1ENDZS显示输出结果FORMATSHORTNEWTON插值法求解函数X，Y为初始数据，Z为插值点FUNCTIONJNEWTONX,Y,ZNMAXSIZEX8L1AY1BAS1一次因子的乘积,预设为1DXY差商FORI1N1DX0DXFORJ1NIDXJDX0J1DX0J/XIJXJENDDFDX1SSZXI一次因子乘积AASDF计算各次NEWTON插值的值LL1BA结果保存在变量B中ENDJB（2）建立界面利用MATLAB中的GUI编程建立如下界面详见程序。五、计算实例、数据、结果、分析下面我们对以上的问题进行测试输入数据9计算结果如下当X2101时，X4234时，同理可以测试（4）中的的值。5六、实验中遇到的问题及解决办法在本实验中，遇到的问题主要有两个（3）如何将上述的插值的算法在MATLAB中实现针对此问题我借鉴了网上以及课本上的算法的MATLAB实现的程序；（4）如何将建立界面使得可以随意输入想要求解的相关矩阵后就可以直接求解针对此问题，我通过网上的一些关于MATLAB的GUI设计的相关资料，总结经验完成了此项任务。七、实验结论通过以上的测试，我们发现以上算法和程序能够求出插值的比较精确解。八、参考文献1杨大地，王开荣2006数值分析北京科学出版社102何光辉2008数值分析实验数理学院数学实验教学中心3百度文库，百度知道教师签名年月日实验项目类型课程名称数值分析实验项目名称数值微积分验证演示综合设计其他指导教师何光辉成绩一、实验目的（1）学会复化梯形、复化辛浦生求积公式的应用（2）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序（3）会用这些函数解决实际问题二、实验内容（1）设计复化梯形公式求积算法，编制并调试相应的函数子程序（2）设计复化辛浦生求积算法，编制并调试相应的函数子程序（4）分别用复化梯形公式和复化辛浦生公式计算定积分10SINDX三、实验原理（1）复化梯形求积公式11定义；给出XFBA,结束0TAXNBH输入输出NT2BFAFH,1NIXFIAXI图1复化梯形求积公式算法的流程图STEP1给出被积函数、区间端点和等分数；XF,BA,NSTEP2求出；,KHXNSTEP3计算；10,KXFBFASTEP4得210BFFFHTNKN（2）复化辛普森求积公式开始12开始定义；给出XFBA,246BFTSAFHS结束输入N输出NS00TSBXANBHNS1,021,121NIXFSXXITIIIIHII图2复化辛普森求积公式算法的流程图STEP1给出被积函数、区间端点和等分数；XF,BA,NSTEP2求出；,KHXNBSTEP3计算；10210,KKXFFFASTEP4得461102BFFFFHSNKNKN13四、MATLAB软件实现（1）分别写出复化梯形和复化辛浦生求积的求解函数复化梯形公式求积分值FUNCTIONTTRAPF,A,BF为积分函数A,B为积分区间N是等分区间份数N200HBA/N步长T0FORK1N1X0AHKTTLIMITF,X0ENDTHLIMITF,ALIMITF,B/2HTTDOUBLETSIMPSON公式求积分值FUNCTIONSSIMPSONF,A,BF为积分函数A,B为积分区间N是等分区间份数N200HBA/2N步长S10S20FORK1NX0AH2K1S1S1LIMITF,X0ENDFORK1N1X0AH2KS2S2LIMITF,X0ENDSHLIMITF,ALIMITF,B4S12S2/3SDOUBLES（2）建立界面利用MATLAB中的GUI编程建立如下界面14详见程序。五、计算实例、数据、结果、分析下面我们对以上的问题进行测试输入数据计算结果如下六、实验中遇到的问题及解决办法15在本实验中，遇到的问题主要有两个（5）如何将上述的积分算法在MATLAB中实现针对此问题我借鉴了网上以及课本上的算法的MATLAB实现的程序；（6）如何将建立界面使得可以随意输入想要求解的相关矩阵后就可以直接求解针对此问题，我通过网上的一些关于MATLAB的GUI设计的相关资料，总结经验完成了此项任务。七、实验结论通过以上的测试，我们发现以上算法和程序能够求出积分的比较精确解。八、参考文献1杨大地，王开荣2006数值分析北京科学出版社2何光辉2008数值分析实验数理学院数学实验教学中心3百度文库，百度知道教师签名年月日实验项目类型课程名称数值分析实验项目名称常微分方程的数值解法验证演示综合设计其他指导教师何光辉成绩一、实验目的（1）学会欧拉方法和四阶龙格库塔方法的使用（2）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序（3）会用这些函数解决实际问题二、实验内容用欧拉方法和四阶龙格库塔方法求解微分方程初值问题YSINYX，Y010，求Y1。三、实验原理1欧拉法欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。从（92）式由于YX0Y0已给定，因而可以算出,00XFY设X1H充分小，则近似地有,0001YFHX记,NIXYI016从而我们可以取,001YXHFY作为YX1的近似值。利用Y1及FX1,Y1又可以算出YX2的近似值,12F一般地，在任意点XN1N1H处YX的近似值由下式给出,1NNYXHF这就是欧拉法的计算公式，H称为步长。在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为,210,2110KYXFYXFHYKNNNKN（2）四阶龙格库塔方法四阶龙格库塔法求解公式如下34231214321,6HKYXFKKHYXFKYNNNN四、MATLAB软件实现（1）分别写出欧拉方法和四阶龙格库塔方法求解微分方程的求解函数EULER法，初值YACFUNCTIONYEULERF,A,B,CN1000HBA/NXAHBYZEROS1,N1Y1CFORI2N1XXI1YYI1YIYI1EVALFHENDFUNCTIONYRKF,A,B,C17N1000HBA/NXAHBYZEROS1,N1Y1CFORI1NXXIYYIK1HEVALFXXH/2YYK1/2K2HEVALFXXYYIK2/2K3HEVALFXXIHYYIK3K4HEVALFYI1YIK12K22K3K4/6END（2）建立界面利用MATLAB中的GUI编程建立如下界面18详见程序。五、计算实例、数据、结果、分析下面我们对以上的问题进行测试输入数据计算结果如下六、实验中遇到的问题及解决办法在本实验中，遇到的问题主要有两个（7）如何将上述的求解微分方程的算法在MATLAB中实现针对此问题我借鉴了网上以及课本上的算法的MATLAB实现的程序；（8）如何将建立界面使得可以随意输入想要求解的相关矩阵后就可以直接求解针对此问题，我通过网上的一些关于MATLAB的GUI设计的相关资料，总结经验完成了此项任务。七、实验结论通过以上的测试，我们发现以上算法和程序能够求出微分方程组的比较精确解。八、参考文献1杨大地，王开荣2006数值分析北京科学出版社2何光辉2008数值分析实验数理学院数学实验教学中心3百度文库，百度知道教师签名年月日19实验项目类型课程名称数值分析实验项目名称估计水塔的水流量验证演示综合设计其他指导教师何光辉成绩一、实验目的（1）学会对实际问题的分析方法（2）学会利用所学的知识解决实际问题（3）设计出相应的算法，编制相应的应用程序二、实验内容某居民区，其自来水是有一个圆柱形水塔提供，水塔高122M，塔的直径为174M，水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次。按照设计，当水塔中的水位降低至最低水位，约82M时，水泵自动启动加水。当水位升至最高水位，约108M时，水泵停止工作。表略。三、实验原理计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度乘以水塔横截面积。把时间分成5段第1未供水段、水泵开启第1段、第2未供水段、水泵开启第2段、第3未供水段。先直接对第1、2、3未供水段进行5次曲线拟合。再对得到的曲线分别求导，取得流速（即单位时间内流出的水的高度）。水泵开启第1、2段，分别在两端各取两个点，用时刻流速进行拟合得到这两段的流速。流速乘以水塔横截面积就得到任何时刻的水流量。对其进行分段积分，求和得到一天的总水流量。四、MATLAB软件实现（1）程序FUNCTIONPUSHBUTTON1_CALLBACKHOBJECT,EVENTDATA,HANDLESHOBJECTHANDLETOPUSHBUTTON1SEEGCBOEVENTDATARESERVEDTOBEDEFINEDINAFUTUREVERSIONOFMATLABHANDLESSTRUCTUREWITHHANDLESANDUSERDATASEEGUIDATAFIGURE1X0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,85968,89953,93270Y3175,3110,3054,2994,2955,2892,2850,2787,2752,2697,3550,3445,3350,3267,3156,3081,3012,2927,2842,2767,2697,3475,3389,3340TX/3600时间单位为小时HY/3281水位高度为米X1T110Y1H110F1POLYFITX1,Y1,5T10001T10H1POLYVALF1,T1PLOTX1,Y1,O,T1,H1,K20XLABEL时间（H）YLABEL水位MTITLE第一阶段供水的时间水位图FUNCTIONPUSHBUTTON2_CALLBACKHOBJECT,EVENTDATA,HANDLESHOBJECTHANDLETOPUSHBUTTON2SEEGCBOEVENTDATARESERVEDTOBEDEFINEDINAFUTUREVERSIONOFMATLABHANDLESSTRUCTUREWITHHANDLESANDUSERDATASEEGUIDATAFIGURE2X0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,85968,89953,93270Y3175,3110,3054,2994,2955,2892,2850,2787,2752,2697,3550,3445,3350,3267,3156,3081,3012,2927,2842,2767,2697,3475,3389,3340TX/3600时间单位为小时HY/3281水位高度为米X2T1121Y2H1121F2POLYFITX2,Y2,5T2T11001T21H2POLYVALF2,T2PLOTX2,Y2,O,T2,H2,RXLABEL时间HYLABEL水位MTITLE第二阶段供水时段水位图EXECUTESONBUTTONPRESSINPUSHBUTTON4FUNCTIONPUSHBUTTON4_CALLBACKHOBJECT,EVENTDATA,HANDLESHOBJECTHANDLETOPUSHBUTTON4SEEGCBOEVENTDATARESERVEDTOBEDEFINEDINAFUTUREVERSIONOFMATLABHANDLESSTRUCTUREWITHHANDLESANDUSERDATASEEGUIDATAFIGURE3X0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,85968,89953,93270Y3175,3110,3054,2994,2955,2892,2850,2787,2752,2697,3550,3445,3350,3267,3156,3081,3012,2927,2842,2767,2697,3475,3389,3340TX/3600HY/3281X3T2224Y3H2224F3POLYFITX3,Y3,5T3T22001T24H3POLYVALF3,T3PLOTX3,Y3,O,T3,H3,RXLABEL时间HYLABEL水位MTITLE第三阶段的时间水位图EXECUTESONBUTTONPRESSINPUSHBUTTON721FUNCTIONPUSHBUTTON7_CALLBACKH