基于Matlab的数值积分公式问题说明书

洗手数值分析洗手洗手洗手洗手学号BEEF130080402015洗手洗手学生所在学院BEEF测试与光电工程学院洗手洗手学生姓名BEEF张翀洗手洗手任课教师BEEF郑华盛洗手洗手教师所在学院BEEF数信学院洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手基于MATLAB的数值积分公式问题洗手洗手张翀，吃饭测试与光电工程学院测试计量技术及仪器，吃饭130080402015洗手洗手洗手摘要BEEF在求一些函数的定积分时，吃饭由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，吃饭导致积分很难精确求出，吃饭只能设法求其近似值，吃饭因此能够直接借助牛顿莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。洗手数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。洗手积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；BEEF因此，吃饭探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。洗手洗手本文介绍了数值积分法的几种计算公式，吃饭如矩形求积公式、BEEF梯形求积公式和辛普森求积公式及相应的MATLAB命令,并给出了用MATLAB编程求数值积分的实例。洗手洗手关键词MATLAB；BEEF数值积分；BEEF矩形求积公式；BEEF梯形求积公式；BEEF辛普森求积公式洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手目录洗手洗手1引言1洗手2数值积分算法介绍1洗手21数值求积公式的构造1洗手22求积公式的推导2洗手23常见的牛顿科特斯求积公式5洗手24复合求积公式7洗手3关于河流横断面积的数值积分问题8洗手4问题的求解过程9洗手5基于MATLAB编程的各种求积公式对问题的求解9洗手6总结13洗手参考文献14洗手附录15洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手11引言洗手实际问题当中常常需要计算积分。洗手有些数值方法，吃饭如微分方程和积分方程的求解，吃饭也都和积分计算相联系。洗手洗手在一元微积分学中,对于积分洗手，吃饭洗手BADXFI只要找到被积函数F（X）原函数为FX,求FX在该区间上的定积分便可用牛顿莱布尼兹公式求解,即洗手。洗手洗手BAAFBDXF用牛顿莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用,但它并不能解决定积分计算的所有问题。洗手在工程技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿莱布尼兹公式求解其可能出现的情况有洗手某些被积函数FX,其原函数无法用初等函数表示,如洗手，吃饭等。洗手洗手DXE2XSIN函数FX结构复杂,求其原函数非常困难。洗手洗手函数FX的结构虽然简单且其原函数存在,但其原函数的结构相对复杂。洗手洗手函数FX没有具体的表达式,只有一些由试验测试数据形成的表格或图形。洗手洗手而在这些情况下,可采用“数值积分”的方法求出定积分近似值。洗手洗手2数值积分算法介绍洗手21数值求积公式的构造洗手大多数实际问题的积分是需要用数值积分方法求出近似结果的。洗手数值积分原则上可以用于计算各种被积函数的定积分，吃饭无论被积函数是解析形式还是数表形式，吃饭其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数，吃饭用多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。洗手由于所选多项式形式的不同，吃饭可以有许多种数值积分方法。洗手而利用插值多项式来构造数值求积公式是最常用的一种方法。洗手洗手对于积分，吃饭用一个容易积分的函数去代替被积函数，吃饭这样的BAFXDXFX2自然以多项式为最佳，吃饭因为多项式能很好的逼近任何连续函数，吃饭而XNLX且容易求出其原函数。洗手洗手洗手22求积公式的推导洗手在积分区间上取有限个点，吃饭作的次插值多项,AB01NAXXBFXN式，吃饭其中，吃饭为次插值基函数。洗手用0NKLXFLX,KL近似代替被积函数，吃饭洗手NF则得洗手（21）洗手0NBBBNKAAAKFXDLXDFXLDX若记洗手（22）洗手011BBKKNKKAAKKXXXALXDD则得数值求积公式洗手（23）洗手0NBKAFXDAFX其中称为求积系数，吃饭称为求积节点。洗手则称该求积公式为插值型求积公式。洗手洗手KK为了便于计算与应用，吃饭常将积分区间的等分点作为求积节点，吃饭这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿科特斯求积公式。洗手洗手在积分区间上取个等距节点，吃饭其中，吃饭,AB1NKXAH0,1NBAHN做次拉格朗日插值多项式，吃饭因为，吃饭所以洗手NNLNFLXR洗手BBBNAAAFXDLXRXD洗手110NBBNKNAAKFXLXFXD记洗手3（24）1BBNKKAAKKXALXDD洗手（25）洗手11BNNNARFFXD截去第二项得洗手0BKAFXDAF显然与无关，吃饭只与节点有关。洗手令，吃饭则当KAF,1KXNXATH时，吃饭，吃饭于是洗手,XB,TN（26）洗手1112NNAHTT而洗手0111KKKKKNXXXX洗手N从而得洗手0111KKHATTKTKTND记洗手（27）洗手0111NKNKCTTKTKTND则洗手NKKABAC故求积公式（23）可写成洗手（28）洗手0NBKAFXDAFX这就是牛顿科特斯求积公式，吃饭其中称为科特斯系数。洗手洗手NKC部分科特斯系数取值如下表21洗手科特斯系数具有以下特点洗手（1）（2）洗手01NICNNII（3）当8时，吃饭出现负数，吃饭稳定性得不到保证。洗手而且当较大时，吃饭由于N4RUNGE现象，吃饭收敛性也无法保证。洗手故一般不采用高阶的牛顿科特斯求积公式。洗手（4）当7时，吃饭牛顿科特斯公式是稳定的。洗手洗手N表21部分科特斯系数表洗手洗手知道了什么是牛顿科特斯求积公式，吃饭下面我们来看它的误差估计，吃饭首先来看看牛顿科特斯求积公式的截断误差。洗手我们知道牛顿科特斯求积公式是一个插值型数值求积公式，吃饭当用插值多项式代替进行积分时，吃饭其截断误差NLXF即积分真值和近似值之差，吃饭推导如下洗手RFI，吃饭由插值多项式BBBBNNAAAAIFXDFXXDFXLD的误差估计可知，吃饭用次拉格朗日多项式逼近函数时产生的误差为洗手N（29）11BNNAFFXLXD洗手其中。洗手对上式两边从到作定积分，吃饭便可得出10,NIINXXABAB它的截断误差洗手（210）洗手11BNNNARFFXD洗手523常见的牛顿科特斯求积公式洗手231矩形求积公式洗手在牛顿科特斯求积公式中，吃饭如果取，吃饭用零次多项式（即常数）代替被积0N函数，吃饭即用矩形面积代替曲边梯形的面积，吃饭则有洗手（211）洗手000BBAAFXDLXDACFXBAFX称式（211）为矩形求积公式洗手根据牛顿科特斯求积公式的误差理论式，吃饭矩形求积公式的误差估计为洗手1洗手01001BAFRXDFBA232梯形求积公式洗手在牛顿科特斯求积公式中，吃饭如果取，吃饭用一次多项式代替被积函数，吃饭即用1N梯形面积代替曲边梯形的面积，吃饭则有洗手洗手1110BBAAFXDLXACFXF其中，吃饭,查表可得代入上式得出洗手0F1B102C（212）洗手12BBAAFXXDF称式（212）为梯形求积公式洗手由于用一次多项式近似代替被积函数，吃饭所以它的精度是1。洗手也就是说，1LFX吃饭只有当被积函数是一次多项式时，吃饭梯形求积公式才是准确的。洗手洗手根据牛顿科特斯求积公式的误差理论式（210），吃饭梯形求积公式的误差估计为洗手洗手23112BAFBARXDXF是被积函数二阶导数在点的取值，吃饭洗手FF,AB233辛普森求积公式洗手在牛顿科特斯求积公式中，吃饭如果取，吃饭用二次多项式代替被积函数，吃饭即曲2N边用抛物线代替，吃饭则有洗手洗手222201BBAAFXDLXACFXFCFX6其中，吃饭，吃饭，吃饭,查表可得，吃饭，吃饭代入上式0XA12B2X2016C23C得出洗手（213）洗手21632BBAAABFDLAFFF称式（213）为辛普森求积公式，吃饭也称抛物线求积公式。洗手它的几何意义是BEEF用过3个点，吃饭，吃饭的抛物线和，吃饭构成的,F,2BF,FXAB曲边梯形面积，吃饭近似地代替了被积函数形成的曲边和，吃饭构成的X曲线梯形面积。洗手洗手下面对辛普森求积公式的误差进行估计。洗手由于辛普森求积公式是用二次多项式逼近被积函数推得的，吃饭原则上它的代数精度为2但因多项式次数是偶数，吃饭根据定理11可知，吃饭它的代数精度为3洗手过，吃饭和3个点，吃饭构造一个的三次,AF,2BAF,BFFXLAGRANGE插值多项式,且使。洗手根据LAGRANGE插值余项3LX2ABF定理得洗手洗手4423FFFXLXXAXB,A对上式两边从到进行积分，吃饭即可得到洗手AB（214）洗手42231BBARFFXDFXXD根据定积分中值定理可知，吃饭在上总有一点满足下述关系BEEF洗手,洗手42BAFXXB洗手BAD通过变量代换,，吃饭很容易求得洗手TXTX洗手52120BABBAX把这个结果代入式（214），吃饭便得出辛普森求积公式的误差估计式洗手（215）洗手554421420280BABARFFF,AB724复合求积公式洗手前面导出的误差估计式表明，吃饭用牛顿科特斯公式计算积分近似值时，吃饭步长越小，吃饭截断误差越小。洗手但缩小步长等于增加节点，吃饭亦即提高插值多项式的次数。洗手龙格现象表明，吃饭这样做并不一定能提高精度。洗手理论上已经证明，吃饭当时，吃饭牛顿N科特斯公式所求得的近似值不一定收敛于积分的准确值，吃饭而且随着的增大，吃饭牛顿科特斯公式是不稳定的。洗手因此，吃饭实际中不常用高阶牛顿科特斯公式。洗手为了提高计算精度，吃饭可考虑对被积函数用分段低次多项式插值，吃饭由此导出复合求积公式。洗手洗手用数值积分的方法求一个函数在区间A,B上的定积分,可利用定积分的定义来求解洗手，吃饭洗手NABFDXFINKBA1LIM设，吃饭则。洗手洗手FINK1NILI此时称IN为数值积分。洗手显然数值积分IN就是I的近似值,并且当N越大,IN就越接近于精确值I由于K取值不同,数值积分IN的结果会有所不同。洗手数值积分的计算公式也有多种洗手1复合矩形公式洗手将积分区间A,BN等分,每个小区间宽度均为HBA/N,H称为积分步长。洗手记AX0X02468101214161820BEEF洗手Y00614202321251912070BEEF洗手CFTOOL洗手洗手从离散点图可以看出应该使用正弦曲线逼近。洗手洗手10洗手然后翻转图像洗手洗手洗手GENERALMODELSIN3洗手FX洗手A1SINB1XC1A2SINB2XC2A3SINB3XC3洗手COEFFICIENTSWITH95CONFIDENCEBOUNDS洗手A123682326,2411洗手B1015901566,01614洗手C100073600367,002198洗手11A201294008601,01728洗手B213411299,1383洗手C28729197,8243洗手A30172402099,01348洗手B30905508626,09483洗手C3058451044,01247洗手GOODNESSOFFIT洗手SSE00007643洗手RSQUARE09999洗手ADJUSTEDRSQUARE09995洗手RMSE001955洗手（1）矩形公式求积BEEF洗手1）左矩形公式求积洗手当分为500个矩形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,500BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I1SUMY149920/5001洗手洗手I1洗手295219洗手当分为5000个矩形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,5000BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I1SUMY1499920/50001洗手洗手I1洗手295221洗手当分为50000个矩形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,50000BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I1SUMY14999920/500001洗手洗手I1洗手295222洗手当分为500000个矩形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,500000BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I1SUMY149999920/5000001洗手洗手I1洗手295222洗手所以面积为295222。洗手洗手2M2）右矩形公式求积洗手12当分为500个矩形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,500BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I1SUMY250020/5001洗手洗手I1洗手295223洗手当分为5000个矩形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,5000BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I1SUMY2500020/50001洗手洗手I1洗手295222洗手当分为50000个矩形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,50000BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I1SUMY25000020/500001洗手I1洗手295222洗手所以面积为295222。洗手洗手2M（2）梯形公式求积BEEF洗手1）直接去离散点进行求积BEEF洗手X0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20BEEF洗手Y0,06,14,20,23,21,25,19,12,07,0BEEF洗手TRAPZX,Y洗手洗手ANS洗手洗手294000洗手2）运用拟合曲线进行求积BEEF洗手当分为500个梯形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,500BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I3TRAPZX,Y洗手洗手I3洗手295221洗手当分为5000个梯形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,5000BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I3TRAPZX,Y洗手洗手I3洗手13295222洗手当分为50000个梯形时BEEF洗手XLINSPACE0,20,50000BEEF洗手Y2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845BEEF洗手I3TRAPZX,Y洗手洗手I3洗手295222洗手所以面积为295222。洗手洗手2M（3）用辛普森公式求积BEEF洗手I4QUAD2368SIN0159X00073601294SIN1341X87201724SIN09055X05845,0,20洗手洗手I4洗手295222洗手所以面积为295222。洗手洗手2M比较上述方法的结果，吃饭认定河流的横切面积为295222。洗手洗手2M洗手洗手6总结洗手本文主要讨论了对实际问题的数值积分计算方法，吃饭并通过MATLAB软件编程实现，吃饭通过前面的研究我们知道求数值积分近似值的计算方法很多，吃饭有矩形求积公式、BEEF梯形求积公式、BEEF辛普森求积公式和相应的复合公式等等。洗手洗手牛顿科特斯方法是一种利用插值多项式来构造数值积分的常用方法，吃饭这其中梯形积分方法的误差最大，吃饭近似效果最差，吃饭辛普森方法的精度比梯形积分高了一个数量级，吃饭它的代数精度比梯形积分的代数精度高，吃饭能更好地近似积分值。洗手复合梯形积分方法比单独的梯形积分精度高，吃饭它的积分精度和被积函数有关，吃饭还和复合积分时的步长有关。洗手洗手一般来说，吃饭牛顿科特斯方法的代数精度越高，吃饭数值积分的效果越好、BEEF越精确。洗手当积分区间比较大的时候，吃饭可以采用复合积分方法可以得到更好的效果。洗手洗手洗手洗手参考文献洗手洗手樊守芳NEWTONCOTES数值求积公式的注记J枣庄学院学报，吃饭2011，吃饭282BEEF186190洗手刘小伟基于MATLAB的复合梯形数值积分法的研究与实验J甘肃联合大学学报自然科学版，吃饭2010，吃饭244BEEF2023洗手3陈佩宁,刘竞用MATLAB求数值积分的方法J，吃饭石家庄职业技术学院学报2008，吃饭126BEEF5860洗手14王建强多种数值积分方法比较分析J武汉大学测绘轩辕学报，吃饭2010，吃饭21BEEF104106洗手伍丽华，吃饭周玲丽数学软件教程M广州BEEF中山大学出版社，吃饭2008洗手张德丰等MATLAB数值计算方法M北京BEEF机械工业出版社，吃饭2010洗手LIF，吃饭LIXTHENEIGHBORSCATTERINGNUMBERCANBECOMPUTEDINPOLYNOMIALTIMEFORINTERVALGRAPHSJCOMPUTERSANDMATHEMATICSWITHAPPLICATIONS，吃饭2007，吃饭54BEEF679686洗手GUORUANOTEONNEWTONCOTESNUMERICALINTEGRALFORMULAJJOURNALOFXINJIANGUNIVERSITYNATURALSCIENCEEDITION，吃饭2010，吃饭272BEEF186190洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手洗手附录洗手拟合M文件BEEF洗手FUNCTIONNIHEX,Y洗手NIHECREATEPLOTOFDATASETSANDFITS洗手NIHEX,Y洗手CREATESAPLOT,SIMILARTOTHEPLOTINTHEMAINCURVEFITTING洗手WINDOW,USINGTHEDATATHATYOUPROVIDEASINPUTYOUCAN洗手APPLYTHISFUNCTIONTOTHESAMEDATAYOUUSEDWITHCFTOOL洗手ORWITHDIFFERENTDATAYOUMAYWANTTOEDITTHEFUNCTIONTO洗手CUSTOMIZETHECODEANDTHISHELPMESSAGE洗手洗手NUMBEROFDATASETS2洗手NUMBEROFFITS1洗手洗手15洗手DATAFROMDATASET“YVSX“洗手XX洗手YY洗手UNWEIGHTED洗手洗手DATAFROMDATASET“YVSX2“洗手XX洗手YY洗手UNWEIGHTED洗手洗手THISFUNCTIONWASAUTOMATICALLYGENERATEDON16DEC2013211243洗手洗手SETUPFIGURETORECEIVEDATASETSANDFITS洗手F_CLFBEEF洗手FIGUREF_BEEF洗手SETF_,UNITS,PIXELS,POSITION,71971688488BEEF洗手LEGH_BEEFLEGT_BEEFHANDLESANDTEXTFORLEGEND洗手XLIM_INFINFBEEFLIMITSOFXAXIS洗手AX_AXESBEEF洗手SETAX_,UNITS,NORMALIZED,OUTERPOSITION,0011BEEF洗手SETAX_,BOX,ONBEEF洗手AXESAX_BEEFHOLDONBEEF洗手洗手洗手PLOTDATAORIGINALLYINDATASET“YVSX“洗手XXBEEF洗手YYBEEF洗手THISDATASETDOESNOTAPPEARONTHEPLOT洗手ADDITTOTHEPLOTBYREMOVINGTHEIF/ENDSTATEMENTSTHATFOLLOW洗手ANDBYSELECTINGTHEDESIREDCOLORANDMARKER洗手IF0洗手H_LINEX,Y,COLOR,R,MARKER,LINESTYLE,NONEBEEF洗手XLIM_1MINXLIM_1,MINXBEEF洗手XLIM_2MAXXLIM_2,MAXXBEEF洗手LEGH_END1H_BEEF洗手LEGT_END1YVSXBEEF洗手ENDENDOF“IF0“洗手洗手PLOTDATAORIGINALLYINDATASET“YVSX2“洗手H_LINEX,Y,PARENT,AX_,COLOR,033333306666670,洗手LINESTYLE,NONE,LINEWIDTH,1,洗手MARKER,MARKERSIZE,12BEEF洗手XLIM_1MINXLIM_1,MINXBEEF洗手16XLIM_2MAXXLIM_2,MAXXBEEF洗手LEGH_END1H_BEEF洗手LEGT_END1YVSX2BEEF洗手洗手NUDGEAXISLIMITSBEYONDDATALIMITS洗手IFALLISFINITEXLIM_洗手XLIM_XLIM_11001DIFFXLIM_BEEF洗手SETAX_,XLIM,XLIM_洗手END洗手