北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题和答案

圆的专题专练含答案 一、解答题1. 如图，在ABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，O是BEF的外接圆(1)求证：AC是O的切线；(2)过点E作EHAB，垂足为H，求证：CD=HF；(3)若CD=1，EH=3，求BF及AF长2. 如图，AB为O的直径，点E在O上，C为BE的中点，过点C作直线CDAE于D，连接AC、BC(1)试判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；(2)若AD=2，AC=6，求AB的长3. 如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AEDC，垂足为E，F是AE与O的交点，AC平分BAE(1)求证：DE是O的切线；(2)若AE=6，D=30，求图中阴影部分的面积4. 如图，AB是O的直径，BAC=90，四边形EBOC是平行四边形，EB交O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F(1)求证：CF是O的切线；(2)若F=30，EB=4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和)5. 如图，AB为半圆O的直径，AC是O的一条弦，D为BC的中点，作DEAC，交AB的延长线于点F，连接DA(1)求证：EF为半圆O的切线；(2)若DA=DF=63，求阴影区域的面积(结果保留根号和)6. 如图在RtABC中，C=90，BD平分ABC，过D作DEBD交AB于点E，经过B，D，E三点作O(1)求证：AC与O相切于D点；(2)若AD=15，AE=9，求O的半径7. 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，过点D作DEAC，垂足为E(1)求证：DE是O的切线；(2)如果BC=8，AB=5，求CE的长8. 如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AEDC，垂足为E，F是AE与O的交点，AC平分BAE(1)求证：DE是O的切线；(2)若AE=6，D=30，求图中阴影部分的面积9. 如图，在RtABC中，BAC=90，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的D与AC相交于点E(1)求证：BC是D的切线；(2)若AB=5，BC=13，求CE的长10. 如图，在RtACB中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F (1)求证：DE是O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求O直径的长11. 如图，ABC内接于O，AB=AC，BAC=36，过点A作AD/BC，与ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与O交于点F(1)求DAF的度数；(2)求证：AE2=EFED；(3)求证：AD是O的切线12. 如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DEAC，垂足为E(1)求证：DE为O的切线；(2)若O的半径为5，BAC=60，求DE的长13. 如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，且AC=CD，ACD=120(1)求证：CD是O的切线；(2)若O的半径为2，求图中阴影部分的面积14. 如图，AB为O的直径，点C在O外，ABC的平分线与O交于点D，C=90(1)CD与O有怎样的位置关系？请说明理由；(2)若CDB=60，AB=6，求AD的长15. 如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DFAB，垂足为F，连接DE(1)求证：直线DF与O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长16. 如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD.已知CAD=B(1)求证：AD是O的切线(2)若BC=8，tanB=12，求O的半径17. 如图，已知ABC是等边三角形，以AB为直径作O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DEAC于点E(1)求证：DE是O的切线；(2)若ABC的边长为4，求EF的长度答案和解析1.【答案】证明：(1)如图，连接OEBEEF，BEF=90，BF是圆O的直径BE平分ABC，CBE=OBE，OB=OE，OBE=OEB，OEB=CBE，OE/BC，AEO=C=90，AC是O的切线；(2)如图，连结DECBE=OBE，ECBC于C，EHAB于H，EC=EHCDE+BDE=180，HFE+BDE=180，CDE=HFE在CDE与HFE中，CDE=HFEC=EHF=90EC=EH，CDEHFE(AAS)，CD=HF(3)由(2)得CD=HF，又CD=1，HF=1，在RtHFE中，EF=32+12=10，EFBE，BEF=90，EHF=BEF=90，EFH=BFE，EHFBEF，EFBF=HFEF，即10BF=110，BF=10，OE=12BF=5，OH=5-1=4，RtOHE中，cosEOA=45，RtEOA中，cosEOA=OEOA=45，5OA=45，OA=254，AF=254-5=54【解析】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可(1)连接OE，由于BE是角平分线，则有CBE=OBE；而OB=OE，就有OBE=OEB，等量代换有OEB=CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE/BC；又C=90，所以AEO=90，即AC是O的切线；(2)连结DE，先根据AAS证明CDEHFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF(3)先证得EHFBEF，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF2.【答案】解：(1)相切，连接OC，C为BE的中点，1=2，OA=OC，1=ACO，2=ACO，AD/OC，CDAD，OCCD，直线CD与O相切；(2)连接CE，AD=2，AC=6，ADC=90，CD=AC2-AD2=2，CD是O的切线，CD2=ADDE，DE=1，CE=CD2+DE2=3，C为BE的中点，BC=CE=3，AB为O的直径，ACB=90，AB=AC2+BC2=3【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握各定理是解题的关键(1)连接OC，由C为BE的中点，得到1=2，等量代换得到2=ACO，根据平行线的性质得到OCCD，即可得到结论；(2)连接CE，由勾股定理得到CD=AC2-AD2=2，根据切割线定理得到CD2=ADDE，根据勾股定理得到CE=CD2+DE2=3，由圆周角定理得到ACB=90，即可得到结论3.【答案】(1)证明：连接OC，OA=OC，OAC=OCA，AC平分BAE，OAC=CAE，OCA=CAE，OC/AE，OCD=E，AEDE，E=90，OCD=90，OCCD，点C在O上，OC为O的半径，DE是O的切线；(2)解：在RtAED中，D=30，AE=6，AD=2AE=12，在RtOCD中，D=30，DO=2OC=DB+OB=DB+OC，DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，CD=DO2-OC2=82-42=43，SOCD=CDOC2=4342=83，D=30，OCD=90，DOC=60，S扇形OBC=16OC2=83，S阴影=SCOD-S扇形OBCS阴影=83-83，阴影部分的面积为83-83【解析】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OCDE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般(1)连接OC，先证明OAC=OCA，进而得到OC/AE，于是得到OCCD，进而证明DE是O的切线；(2)分别求出OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=SCOD-S扇形OBC即可得到答案4.【答案】(1)证明：如图连接OD，四边形OBEC是平行四边形，OC/BE，AOC=OBE，COD=ODB，OB=OD，OBD=ODB，DOC=AOC，在COD和COA中，OC=OCCOD=COAOD=OA，CODCOA，CAO=CDO=90，CFOD，CF是O的切线(2)解：F=30，ODF=90，DOF=AOC=COD=60，OD=OB，OBD是等边三角形，DBO=60，DBO=F+FDB，FDB=EDC=30，EC/OB，E=180-OBD=120，ECD=180-E-EDC=30，EDC=ECD，EC=ED=BO，EBO=60，OB=OD，OBD是等边三角形，BD=OB，EB=4，OB=ODOA=2，在RtAOC中，OAC=90，OA=2，AOC=60，OC=2OA=4，AC=OC2-OA2=42-22=23，S阴=2SAOC-S扇形OAD=212223-12022360=43-43【解析】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型(1)欲证明CF是O的切线，只要证明CDO=90，只要证明CODCOA即可(2)根据条件首先证明OBD是等边三角形，FDB=EDC=ECD=30，推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S阴=2SAOC-S扇形OAD即可解决问题5.【答案】(1)证明：连接OD，D为BC的中点，CAD=BAD，OA=OD，BAD=ADO，CAD=ADO，DEAC，E=90，CAD+EDA=90，即ADO+EDA=90，ODEF，EF为半圆O的切线；(2)解：连接OC与CD，DA=DF，BAD=F，BAD=F=CAD，又BAD+CAD+F=90，F=30，BAC=60，OC=OA，AOC为等边三角形，AOC=60，COB=120，ODEF，F=30，DOF=60，在RtODF中，DF=63，OD=DFtan30=6，在RtAED中，DA=63，CAD=30，DE=DAsin30=33，EA=DAcos30=9，COD=180-AOC-DOF=60，由CO=DO，COD是等边三角形，OCD=60，DCO=AOC=60，CD/AB，故SACD=SCOD，S阴影=SAED-S扇形COD=12933-6036062=2732-6【解析】(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出ODEF，即可得出答案；(2)直接证明SACD=SCOD，再利用S阴影=SAED-S扇形COD，求出答案此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出SACD=SCOD是解题关键6.【答案】(1)证明：连接OD，如图所示：OD=OB，1=2，又BD平分ABC，2=3，1=3，OD/BC，而C=90，ODAD，AC与O相切于D点；(2)解：ODAD，在RtOAD中，OA2=OD2+AD2，又AD=15，AE=9，设半径为r，(r+9)2=152+r2，解方程得，r=8，即O的半径为8【解析】(1)连接OD，则有1=2，而2=3，得到1=3，因此OD/BC，又由于C=90，所以ODAD，即可得出结论(2)根据ODAD，则在RtOAD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r，AD=15，AE=9，得到(r+9)2=152+r2，解方程即可本题考查了圆的切线的判定方法、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定方法，由勾股定理得出方程是解决问题(2)的关键7.【答案】解：(1)连接OD，OD=OB(O的半径)，B=ODB(等边对等角)；AB=AC(已知)，B=C(等边对等角)；C=ODB(等量代换)，OD/AC(同位角相等，两直线平行)，ODE=DEC(两直线平行，内错角相等)；DEAC(已知)，DEC=90，ODE=90，即DEOD，DE是O的切线；(2)连接AD，AB是O的直径，ADB=90(直径所对的圆周角是直角)；ADCD；在RtACD和RtDCE中，C=C(公共角)，CED=CDA=90，RtACDRtDCE(AA)，CECD=DCAC；又由(1)知，OD/AC，O是AB的中点，OD是三角形ABC的中位线，CD=12BC；BC=8，AB=5，AB=AC，CE=165【解析】本题综合考查了切线的判定，圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定与性质解答(2)时，还可以利用射影定理来求CE的长度(1)连接OD，只要证明ODDE即可；(2)连接AD构造直角三角形ACD，根据相似三角形的判定定理AA判定RtACDRtDCE，然后由相似三角形的对应边成比例得，CECD=DCAC；最后根据三角形中位线的判定与性质求得CD的长度，从而求得CE的长8.【答案】(1)证明：连接OC，OA=OC，OAC=OCA，AC平分BAE，OAC=CAE，OCA=CAE，OC/AE，OCD=E，AEDE，E=90，OCD=90，OCCD，点C在圆O上，OC为圆O的半径，CD是圆O的切线；(2)在RtAED中，D=30，AE=6，AD=2AE=12，在RtAED中，D=30，DO=2OC=DB+OB=DB+OC，DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，CD=DO2-OC2=82-42=43，SOCD=CDOC2=4342=8312434=83，D=30，OCD=90，DOC=60，S扇形OBC=16OC2=83，S阴影=SCOD-S扇形OBCS阴影=83-83，阴影部分的面积为83-83【解析】(1)连接OC，先证明OAC=OCA，进而得到OC/AE，于是得到OCCD，进而证明DE是O的切线；(2)分别求出OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=SCOD-S扇形OBC即可得到答案本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OCDE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般9.【答案】(1)证明：过点D作DFBC于点F，BAD=90，BD平分ABC，AD=DFAD是D的半径，DFBC，BC是D的切线；(2)解：BAC=90AB与D相切，BC是D的切线，AB=FBAB=5，BC=13，CF=8，AC=BC2-AB2=132-52=12在RtDFC中，设DF=DE=r，则r2+64=(12-r)2，解得：r=103CE=AC-AE=12-2103=163【解析】(1)过点D作DFBC于点F，根据角平分线的性质得到AD=DF.根据切线的判定定理即可得到结论；(2)根据切线的性质得到AB=FB.根据勾股定理列方程即可得到结论本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键10.【答案】解：(1)如图，连接OD、CD，AC为O的直径，BCD是直角三角形，E为BC的中点，BE=CE=DE，CDE=DCE，OD=OC，ODC=OCD，ACB=90，OCD+DCE=90，ODC+CDE=90，即ODDE，DE是O的切线；(2)设O的半径为r，ODF=90，OD2+DF2=OF2，即r2+42=(r+2)2，解得：r=3，O的直径为6【解析】(1)连接OD、CD，由AC为O的直径知BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知CDE=DCE，由ODC=OCD且OCD+DCE=90可得答案；(2)设O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=(r+2)2可得r=3，即可得出答案本题主要考查切线的判定与圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键11.【答案】(1)解：AD/BC，D=CBD，AB=AC，BAC=36，ABC=ACB=12(180-BAC)=72，AFB=ACB=72，BD平分ABC，ABD=CBD=12ABC=1272=36，D=CBD=36，BAD=180-D-ABD=180-36-36=108，BAF=180-ABF-AFB=180-36-72=72，DAF=DAB-FAB=108-72=36；(2)证明：CBD=36，FAC=CBD，FAC=36=D，AED=AEF，AEFDEA，AEEF=EDAE，AE2=EFED；(3)证明：连接OA、OF，ABF=36，AOF=2ABF=72，OA=OF，OAF=OFA=12(180-AOF)=54，由(1)知DAF=36，DAO=36+54=90，即OAAD，OA为半径，AD是O的切线【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键(1)求出ABC、ABD、CBD的度数，求出D度数，根据三角形内角和定理求出BAF和BAD度数，即可求出答案；(2)求出AEFDEA，根据相似三角形的性质得出即可；(3)连接AO，求出OAD=90即可12.【答案】(1)证明：如图，连接ODOA=OB，CD=BD，OD/AC.ODE=CED又DEAC，CED=90ODE=90，即ODDEDE是O的切线(2)解：OD/AC，BAC=60，BOD=BAC=60，C=ODB又OB=OD，BOD是等边三角形C=ODB=60，CD=BD=5DEAC，DE=CDsinC=5sin60=532【解析】(1)连接OD，根据OA=OB，CD=BD，得出OD/AC，ODE=CED，再根据DEAC，即可证出ODDE，从而得出答案；(2)结合(1)中的结论，可以证明BOD是等边三角形，即可求得CD和BD的长，再根据锐角三角函数即可计算DE的长本题考查了切线的判定与性质，用到的知识点是圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型13.【答案】证明：(1)连接OC，CD=AC，CAD=D，又ACD=120，CAD=12(180-ACD)=30，OC=OA，A=2=30，COD=60，又D=30，OCD=180-COD-D=90，CD是O的切线；(2)A=30，1=2A=60S扇形OBC=6022360=23，在RtOCD中，CD=OCtan60=23SRtOCD=12OCCD=12223=23图中阴影部分的面积为23-23.【解析】本题考查了本题考查了圆的切线的判定方法，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，扇形的面积，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积，题目比较典型，难度适中(1)连接OC，根据ACD，AOC为等腰三角形，ACD=120，利用三角形内角和定理求OCD=90即可；(2)求出D和COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案14.【答案】解：(1)相切理由如下：连接OD，BD是ABC的平分线，CBD=ABD，又OD=OB，ODB=ABD，ODB=CBD，OD/CB，ODC=C=90，CD与O相切；(2)若CDB=60，可得ODB=CBD=30，AOD=60，又AB=6，AO=3，AD=603180=【解析】(1)连接OD，只需证明ODC=90即可；(2)由(1)中的结论可得ODB=30，可求得弧AD的圆心角AOD的度数，再利用弧长公式求得结果即可此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点15.【答案】(1)证明：如图，连接ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，OD/AB，DFAB，ODDF，点D在O上，直线DF与O相切；(2)解：四边形ACDE是O的内接四边形，AED+ACD=180，AED+BED=180，BED=ACD，B=B，BEDBCA，BDAB=BEBC，OD/AB，AO=CO，BD=CD=12BC=3，又AE=7，37+BE=BE6，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=9【解析】(1)连接OD