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1.5.3定积分的概念（一）,前面我们一起解决了两个问题：,1,求曲边梯形的面积,2,求物体做变速运动的位移,实例1,（求曲边梯形的面积）,一、问题再现,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)取近似,求和:任取xixi-1,xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度x,V虽然是变速，但在很短一段间隔内，V的变化不大，可近似看作是匀速运动问题。,A,B,（求变速直线运动的路程）,实例2,(1)分割,(2)近似代替,(3)求和,(4)取极限,（求变速直线运动的路程）,实例2,求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程的共同特征：,归纳提炼,1.都通过“四部曲”分割、近似代替、求和、取极限来解决问题.,2.都归结为求同一种类型的和式的极限问题.,3.解决问题的思想方法相同在局部小范围内“以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的思想.,我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分.由此我们可以给定积分的定义.,二、定积分的定义,定义,如果函数在上连续，用分点x1,x2,x3.xn即,将区间等分成n个小区间，,在每个小区间上任取一点作和式,当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数（极限值）叫做函数在的定积分，,记作：,即,定积分的定义：,定积分的相关名称：叫做积分号，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。,积分下限,积分上限,按定积分的定义，有(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为,定积分的定义：,1,S=5/3,注意,3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有,2,-2,-2,2,0,A,3.定积分,x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。,三、定积分的几何意义,当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，,上述曲边梯形面积的负值。,=-S,S,yf(x),曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的相反数,也就是：,探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?,性质1：,性质2：,被积函数的常数因子可以提到积分号外,四、定积分的基本性质,三:定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,理论迁移,课本例1利用定积分定义，计算.,解题步骤：分割；近似代替、作和；取极限,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,定积分的几何意义：,曲边梯形的面积(或面积的相反数),定积分的概念（二）-题型课,定积分的定义:,几何意义:,性质：,回顾：,定积分等于曲边图形面积或面积的相反数,可提性,加减分配率,区