牛莉 现性代数教案 第01章

线性代数,牛莉等编著,中国水利水电出版社,第1章行列式,1.1全排列及其逆序数,1.1.1排列与逆序自然数组成的有序数组称为一个元排列，记为元排列共有个排列称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序定义1在一个元排列中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序一个元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）,计算排列逆序数的方法：设为个自然数的一个排列，考虑元素，如果比大且排在前面的数有个，就说这个元素的逆序数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列的逆序数，即,例1求下列排列的逆序数：（1）；（2）解此排列为偶排列（2）同理可得此排列的奇偶性由确定,1.1.2对换定义2将一个排列中的某两个数的位置互换（其余的数不动），就得到了一个新排列，称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对换，称为相邻对换定理1对排列进行一次对换，则改变其奇偶性由定理1可得下面的推论推论1奇排列调成自然（标准）排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列的对换次数为偶数,推论2全体元排列（）的集合中，奇、偶排列各占一半,1.2行列式的概念,1.2.1二、三阶行列式一、二阶行列式求解二元一次方程组(1.2.1)引入符号称为二阶行列式（1.2.1）的系数行列式），它代表一个数，简记为，其中数称为行列式的第（行标）行、第（列标）列的元素,当时，求得方程组(1.2.1)的解为，根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中的分子也可用二阶行列式表示若记其中表示将中第列换成(1.2.1)式右边的常数项所得到的行列式,，,其中,于是，当系数行列式时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解,，,二、三阶行列式求解三元一次方程组(1.2.2)引入符号称为三阶行列式（1.2.2)的系数行列式）,三阶行列式的对角线法则：当系数行列式时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解，其中,三阶行列式具有以下特点：（1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成，而第二个下标（列标）排列成，它是自然数的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列：；带负号的三项列标排列是：由上节知，前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为，其中为列标排列的逆序数；,（3）因共有个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和因此，三阶行列式可以写成其中为排列的逆序数，即，上式表示对三个数的所有排列求和,1.2.2阶行列式的定义定义3称由个数排成行列组成的记号为阶行列式，简记为,阶行列式可表示为其中表示对的所有排列取和，数称为行列式的元素定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数,定义4对角线以下（上）的元素均为零的行列式称为上（下）三角行列式阶上三角行列式,同理，阶下三角行列式,1.3行列式的性质,转置行列式:设将的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为,称为的转置行列式显然也是的转置行列式，即性质1行列式与其转置行列式相等，即性质2行列式的两行（列）互换，行列式变号推论行列式有两行（列）相同，则此行列式为零性质3行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式,推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论2行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零性质4行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零性质5若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和,即,性质6将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变即第行乘加到第行上，有,为叙述方便，引进以下记号：（1）交换行列式的两行（列），记为；（2）第行（列）乘以，记作，第行（列）提出公因子，记作；（3）将行列式的第行（列）乘加到第行（列）上，记为,例1计算解,例2计算解,例3计算解从第1列开始，前列减后列，然后再在前3列中，前列减后列,例4计算阶行列式,解从第1行开始前行乘加到后行上，得,其中记号“”表示全体同类因子的乘积,1.4行列式按行（列）展开,1.4.1行列式按某一行（列）展开定义5在阶行列式中，将元素所在的第行和第列划去，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；称为元素的代数余子式引理如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零，则此行列式等于与它的代数余子式的乘积，即,定理3行列式等于它的任意一行（列）的各或,例1计算解,从而解得,例2计算解按第1行展开，有,以此作递推公式，得,例3证明范德蒙德（Vander-monde）行列式证对行列式阶数用数学归纳法当时，,，,结论成立假设对阶范德蒙德行列式结论成立，往证阶范德蒙德行列式也成立从第行开始，后行减前行的倍，得按第1列展开，并提出每一列的公因子，,有上式右端的行列式是一个阶范德蒙德行列式，由归纳法假设，它等于所有因子的乘积，其中，即,推论行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即或,结合定理3及推论，得到代数余子式的重要性质：或其中,1.5克拉默（Cramer）法则,设含有个未知数，个方程的线性方程组为(1.5.1)阶行列式称为方程组(1.5.1)的系数行列式,定理5（克拉默法则）若线性方程组(1.5.1)的系数行列式，则方程组有惟一解(1.5.2)其中是将系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即,克拉默法则等价地指出：如果方程组(1.5.1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式当方程组(1.5.1)的右端常数项全为零时，即(1.5.3)称(1.5.3)为齐次线性方程组当不全为零时，称方程组(1.5.1)为非齐次线性方程组,显然，齐次线性方程组(1.5.3)必定有解称之为零解，若解不全为零，则称为非零解定理6若齐次线性方程组(1.5.3