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平面向量复习课,内容提要,一、向量及其有关概念,向量,向量的几何表示向量的模零向量单位向量平行向量共线向量相等向量相反向量,有向线段,二、向量的运算,向量的运算,几何方法,坐标方法,加法减法实数与向量的积,加法减法实数与向量的积平面向量数量积,几何方法：,O,A,B,O,A,B,C,B,A,O,实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换。,坐标方法,说明：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。,说明：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。,说明：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。,向量运算律,1、实数与向量的积运算律,2、平面向量数量积的运算律,思考：你能将此运算律用坐标表示出来吗？,精选例题,例1判断下列命题及其逆命题的真假：1、若|=|，则与是共线向量；2、若，则在方向上的投影是；3、若，则；4、若，则且,例2判断下列运算律的正误,精选例题,例3设，若，求的值。,解：由已知条件，得：,=（3，2）-2（，7）,=（3-2，-12）,=（-2，）,=，=-12,三、两个重要定理,1、向量共线充要条件向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得,2、平面向量基本定理如果是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一个向量，有且只有一对实数，使,注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。,内容提要,四、数量积的主要应用,1、计算向量的模：,坐标表示：,2、两点间距离公式：,3、计算两个向量的夹角：,内容提要,5、向量共线（平行）充要条件：,4、向量垂直充要条件：,坐标表示：x1y2-x2y1=0,坐标表示：x1x2+y1y2=0,内容提要,注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线）垂直或平行的重要方法之一。,精选例题,例4已知=（1，2），=（-3，2），当k为何值时，（1）与垂直；（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？,解：由已知=（k-3，2k+2），=（10，-4）（1）当时，这两个向量垂直。由（k-3）10+（2k+2）（-4）=0，得：k=19,（2）当与平行时，存在唯一实数，使=，由（k-3，2k+2）=（10，-4）,解得,反向,五、两个重要公式,1、定比分点坐标公式,2、平移公式,中点公式,内容提要,设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且，则,如果点P（x1，y2）按向量平移至，则,精选例题,例5设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线P1P2上使，求点P的坐标。,例6（1）函数的图象经过怎样的平移，可以得到函数的图象？（2）函数的图象经过怎样的平移，可以得到函数的图象？,内容提要,六、正弦定理及其变形公
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