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3.2利用向量解决平行与垂直问题(2),用向量运算处理平行关系,用向量运算处理垂直问题,例1如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ad=3,ab=4,=2,点m在棱上,且am=2,点n在棱上,且点q、r分别是、ab的中点,求证:mqrn,典型例题,法1：建系，利用坐标进行证明,法2：利用向量共线定理进行证明,变式：如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e、f、g、h分别是、ab、的中点,求证:efhg,d,h,e,a,b,c,d!,b!,c!,a!,f,g,感悟：利用向量证明线线平行的一般步骤1.证明两向量共线2.证明其中一个向量上所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上3.得出结论,例2如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是c1c、b1c1的中点,求证:mn平面a1bd,典型例题,分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明与平面a1bd的法向量垂直;二是在平面a1bd内找一向量与平行;三是证明可以用平面a1bd中的两不共线向量线性表示.,例2如图,在正方形abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是c1c、b1c1的中点,求证:mn平面a1bd,法1:建立如图所示的空间直角坐标系.,设正方体的棱长为1,则可求得m(0,1,1/2),n(1/2,1,1),d(0,0,0),a1(1,0,1),b(1,1,0).于是,设平面a1bd的法向量是则得,取x=1,得y=-1,z=-1,例2如图,在正方形abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是c1c、b1c1的中点,求证:mn平面a1bd,法2:,法3:,即可用与线性表示,故与是共面向量,mn平面a1bd,感悟:用向量方法证明线面平行:1.可以用共面定理来证明,即证明直线的方向向量可以用平面内两个向量线性表示;2.也可证明该直线的方向向量与平面内某直线平行(即数字表示),此时注意交代直线不在平面内.,变式：如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,棱长为4,m、n、e、f分别是、的中点,求证:平面amn平面efbd,d,e,a,b,c,d!,b!,c!,a!,f,m,n,小结,1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理.2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤:(1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系都可),用空
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