《高等数学教学资料》

函数,1.1、区间、邻域,1.区间,(1)闭区间a,b=x|axb,(2)开区间(a,b)=x|axb,(a,b=x|axb(称为左开右闭区间),a,b)=x|axa,(,b=x|xb,(,b)=x|xb,(,+)=x|(x+=x|xR,区间1,4与(1,4)的区间长度均为4(1)=5.,区间(,2与(1,+)的区间长度均为+.,例1.,2.邻域,点x0的邻域:,U(x0,)=x|xx0|0=(x0,x0+),xU(x0,)|xx0|,点x0的去心邻域:,(x0,)=x|00=(x0,x0)(x0,x0+),x(x0,)0|xx0|f(x1),则称在区间I上单调增加,记为f(x)I;,若x2x1f(x2)x1f(x2)f(x1),则称在区间I是不减少的;,若x2x1f(x2)f(x1),则称在区间I是不增加的;,函数的单调性是一个局部性的性质,它与区间I有关.,例8.,y=sinx在其定义域内不是单调函数,例9.,证明函数y=x3在其定义域内单调增加.,y=x3的定义域为(,),证:,x1,x2(,),不妨设x10,使|f(x)|M.,若函数y=f(x)在区间I上有界,则它的图形夹在两条水平线y=A和y=B之间.,y=f(x),x,x,y,y,A,A,B,B,O,O,y=f(x),函数的有界性,设函数y=f(x)在区间I上有定义.若存在实数M(可正可负),对一切xI恒有f(x)M成立,则称函数y=f(x)在区间I上是上方有界的,简称有上界;若存在实数m(可正可负),对一切xI恒有f(x)m成立,则称函数y=f(x)在区间I上是下方有界的,简称有下界.,x,O,O,m,M,y,y,x,有上界,有下界,在区间I上:f(x,y)有界,f(x,y)既有上界又有下界.,在区间I上,有上界的函数必有确界,有下界的函数必有下确界.,函数y=f(x)在区间I上无界,则不论M0的值取得多么大,总x0I,使得|f(x)|M成立.,证明或判断无界,通常依据:,例10.,函数y=x2在其定义域Df=(,)内是无界的.,解:,讨论函数y=x2的有界性.,3.奇偶性,设函数y=f(x)的定义域Df关于坐标原点对称,若,xDf,有f(x)=f(x)成立,则称f(x)为偶函数;,xDf,有f(x)=f(x)成立,则称f(x)为奇函数;,奇函数的图形关于坐标原点对称,偶函数的图形关于y轴对称.,指出下列函数在其定义域内哪些是奇函数,哪些是偶函数:,1)y=sinx,2)y=cosx,3)y=x,4)y=x+x4,5)y=|x|,6)y=5,7)y=sgnx,例11.,1)、3)、7)、8)为奇函数,解:,4)既不是奇函数又不是偶函数.,2)、5)、6)为偶函数,定理1.,一个偶函数与一个奇函数的积是一个奇函数.,两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数.,两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数.,在关于坐标原点对称的区间I内:,在关于坐标原点对称的区间I内有定义的任何一个函数f(x),均可表示为区间I内的一个偶函数与一个奇函数之和的形式.,定理2.,定理2证明提示:,4.周期性,设函数y=f(x),x(,),若存在0,对一切x(,)恒有y=f(x)=f(x),则称f(x)为周期函数,为函数f(x)的一个周期.,如果一个周期函数有最小正周期存在,记为T=min,0,则称T为周期函数的周期.,y=sinx的最小正周期T=2,而=2k(kZ且k0)均为它的周期,故称正弦函数y=sinx的周期为2.,例12.,三、基本初等函数,将以下六种最简单函数称为基本初等函数:,1.常值函数y=C(C为常数).,2.幂函数y=x(R为常数).,3.指数函数y=ax(a0,a1).,4.对数函数y=logax(a0,a1).,5.三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx.,6.反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,y=arcsecx,y=arccscx.,四、复合函数与反函数,1.复合函数,称y=(fg)(x)=f(g(u)为函数y=f(u)与u=g(x)复合而成的复合函数.其中,u称为中间变量.,y=(fg)(x)=f(g(u)xDg,设有映射y=f(u),uDf及u=g(x),xDg,如果对于映射g(x)的定义域Dg(或定义域的一部分)中的每一个x所对应的u值,都属于f(u)的定义域Df,那么,将u=g(x)代入y=f(u)消去u后,就有,y=(fg)(x)=f(g(u),Dg,u=g(x),y=f(u),Df,Rf,Rg,u,y,x,RgDf,复合函数,例13.,例14.,解:,它是由以下几个函数复合而成:,2.反函数,自由落体运动中,选时间t为自变量,则;选位移s为自变量,则有.习惯上,称为函数的反函数,而称为直接函数.,设函数y=f(x),xDf的值域为yRf.如果由关系y=f(x)可确定x=(y),yRf,则称其为函数y=f(x)的反函数,而称y=f(x)为直接函数.y=f(x)的反函数记为x=f1(y),yRf.,习惯上,将y=f(x)的反函数记为y=f1(x).,设有函数y=ax(a1),x(,),其值域为y(0,),则该函数的反函数为x=logay,y(0,).,例15.,例16.,解:,故所求反函数为,函数y=f(x)有反函数存在,则x与y之间必定是一一对应的.,将函数y=f(x)的反函数写成x=f1(y)时，函数与其反函数的图形相同。,将函数y=f(x)的反函数记为y=f1(x)时，函数y=f(x)与其反函数y=f1(x)的图形关于第一、三象限的角平分线y=x对称.,定理3(反函数存在定理)若函数y=f(x),xD