高考数学二轮复习 5.5 轨迹问题课件 理.ppt

第5讲轨迹问题重点知识回顾1求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围2求轨迹方程的常用方法：定义法，直接法，代入法(相关点法)，参数法，交轨法3求轨迹方程的注意事项：求轨迹方程的关键是在复杂的运动变化中，发现动点p的运动规律，即p点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，又要检验是否漏解，出现增解则要舍去，出现漏解，则需补充检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形,主要考点剖析考点一直接法命题规律根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(或向量的坐标运算公式)进行整理、化简即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了例1已知两定点a，b，如果动点p满足，则点p的轨迹所包围的图形的面积等于()(a)(b)4(c)8(d)9【解析】两定点a，b，如果动点p满足|pa|2|pb|，设p点的坐标为(x,y)，则(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24，所以点p的轨迹所包围的图形的面积等于4,答案b【点评】本题由给出的已知条件，直接得出表达式即可解决问题互动变式1设过点p(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a,b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点,若2且1,则点p的轨迹方程是()(a)3x2y21(x0,y0)(b)3x2y21(x0,y0)(c)x23y21(x0,y0)(d)x23y21(x0,y0),【解析】设p(x,y)，则q(x,y)，又设a(a,0),b(0,b)，则a0,b0，于是(x,yb)，(ax，y)，由2可得ax,b3y，所以x0,y0，又(a,b)(x,3y)，由1可得x23y21(x0,y0)答案d,考点二定义法命题规律定义法求轨迹方程，运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程例2如图，在以点o为圆心，|ab|4为直径的半圆中，p是半圆弧上一点，pob30曲线c是满足|ma|mb|为定值的动点m的轨迹，且曲线c过点p建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程【分析】根据题意，用双曲线定义求出曲线c的方程,【解析】(1)以o为原点，ab、ab中垂线所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则a(2,0),b(2,0),p(，1)，依题意得24，曲线c是以原点o为中心，a、b为焦点的双曲线设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2,2a2，a22,b2c2a22，曲线c的方程为1,【点评】本题由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意互动变式2已知椭圆的一个焦点和一条准线与抛物线y28(x2)的焦点和准线分别重合，求椭圆短轴端点的轨迹方程,【解析】由抛物线y28(x2)知：其顶点为(2,0)，焦点为(0,0)，准线为x4(如图所示)，设椭圆短轴端点为b(x，y),由椭圆第二定义知：,即,化简得x2y2|x|(x4)当x0时，轨迹方程为y24x(x0)；当x0时，轨迹方程为(x1)21(x0),考点三参数法、代入法(相关点法)命题规律有时求动点应满足的几何条件不易得出，无明显的相关点，但较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x、y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，消去参数，就得到普通方程有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查,例3设椭圆方程为x21，过点m(0,1)的直线l交椭圆于点a、b,o是坐标原点，点p满足，当l绕点m旋转时，求动点p的轨迹方程【分析】分别利用参数法与代入法求解【解析】法一(参数法)：直线l过点m(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为ykx1记a(x1,y1)、b(x2,y2)，由题设可得点a、b的坐标(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的解,将代入并化简得：(4k2)x22kx30，所以设点p的坐标为(x,y),由知p为ab的中点,故消去参数k得4x2y2y0当k不存在时，a、b中点为坐标原点(0,0)，也满足方程，所以点p的轨迹方程为4x2y2y0,法二(代点法)：设点p的坐标为(x,y)，因a(x1,y1)、b(x2,y2)在椭圆上，所以x121，x221得x12x22(y12y22)0，所以(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0当x1x2时，有x1x2(y1y2)0并且将代入并整理得4x2y2y0当x1x2时,点a、b的坐标为(0,2)、(0,2)，这时点p的坐标为(0,0),也满足,所以点p的轨迹方程为4x2y2y0.,【点评】选参数时，必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，因参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等互动变式3（2011年杭州一模）过抛物线y24x的焦点f作直线与抛物线交于p、q两点，当此直线绕焦点f旋转时，弦pq中点的轨迹方程为_,【解析】(法一)当直线pq的斜率存在时，设pq所在直线方程为yk(x1)，与抛物线方程联立，消去y得k2x2(2k24)xk20设p(x1,y1),q(x2,y2),pq中点为m(x,y),则有消k得y22(x1)当直线pq的斜率不存在时，易得弦pq的中点为f(1,0)，也满足所求方程，故所求轨迹方程为y22(x1),(法二)设p(x1,y1),q(x