高考数学复习 《构造同构式》

高考数学复习 构造同构式知识要点1.同构式的定义：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式。2.同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解。典例分析例1若，则（ ）A. B. C. D. 答案：C解： A选项：，设 ，设，则有恒成立，所以在单调递增，所以，从而存在，使得，由单调性可判断出： ，所以在不单调，不等式不会恒成立B选项：，设可知单调递增。所以应该，B错误C选项：，构造函数，则在恒成立。所以在单调递减，所以成立D选项：，同样构造，由C选项分析可知D错误点评：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将分居在不等式两侧后都具备同构的特点， 所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在的单调性即可例2（2015天津十二校联考）设，满足 ，则（ ） A. B. C. D. 答案：B解析：设，可得为奇函数，由题意可得： 点评：本题研究对象并非，而是，进而可变形为，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解例3 已知正项数列an满足：an3+lnan+2m4=0,4an+23+lnan+2+m4+ln2=0,则an+2an = 。答案：2.解析：4an+23+lnan+2+m4+ln2=0整理得4an+23+ln2an+2+m4=0，等式两边同乘以2，得8an+23+ln（2an+2）+2m4=0,又an3+lnan+2m4=0an与2an+2均为方程x3+lnx+2m4=0的根。又函数fx=x3+lnx+2m4为定义域内的增函数，所以an=2an+2，所以an+2an =2.例4 对，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）A BCD解析：已知函数在，由题意得：，令，此时要构造过原点的切线放缩模型，故，即.例5 已知方程有3个实根，则实数的取值范围是 解析：已在，在，构造，根据定义域可知，如图，当时，此时，仅存在，使，此时只存在两个实根，不合题意；当时，则一定存在或者（偏移情况），考虑到极值是左偏的，故时，定义域要求完全覆盖，故，即.巩固练习1.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A. B. C. D. 2.如果，那么的取值范围是_。3.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 4.已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程（2）过右焦点作直线交椭圆于，交轴于，若，求5.如图，设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点。参考答案1.解析：观察条件可变形为：，从而得到等式左右的结构均为的形式，且括号内的数间隔为1。所以。因为为偶函数，所以，由可得，进而答案：A2.解析：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于的项分居在不等号两侧：，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函数，能够判断是奇函数且单调递增。所以不等式等价于，即，所以，结合，可得 答案：3. 解析：，即恒成立，.4. 解析：（1） 解得 （2）由（1）得，设直线，可得，设 可得： ，由可得：因为在椭圆上，将代入可得： 对于， ，同理可得：为方程的两个不同根 5. 解析：设，的斜率为则，联立方程消去可得：，整理可得： ，因为与双曲线相切