衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题七辅助线辅助面证明平行巧转换

衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题七辅助线，辅助面，证明平行巧转换【方法综述】空间几何平面化中所体现的核心素养是，以学习的线面平行为基础,将线面问题经过严密的逻辑推理,转化为线线平行的问题,从而实现了空间问题平面化的想法.在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来实施转化、解决问题下面举例说明添加辅助线（面）的妙用.1作辅助线来解题例1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF平面BB1D1D.证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.因为OFB1C1且OFB1C1，BEB1C1且BEB1C1，所以OFBE，且OFBE，即四边形OFEB为平行四边形所以EFBO.又EF平面BB1D1D，BO平面BB1D1D，所以EF平面BB1D1D.点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线而本题通过巧作平行线，利用“有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一2作辅助面来解题例2.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是()解：选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,可以证明平面A1MN平面AEF,所以点P位于线段MN上.因为MN=所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当P位于MN中点O时,A1P最小,此时A1O=所以 |A1P|所以线段A1P长度的取值范围是点评：使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面3同时作辅助线与辅助面来解题例3.如图，已知平面平面，AB，CD是夹在这两个平面之间的线段，且AEEB，CGGD，AB与CD不平行，求证：EG平面，EG平面.分析有些综合性的题目需要同时作出辅助线与辅助面，通过面面之间的关系来解题题目条件中出现了两个中点，一般可直接取某线段的中点，也可通过连线所得交点间接地取中点，本题是直接找中点证明过点A作AHCD交平面于点H，设F是AH的中点，连接EF，FG和BH，HD.因为E，F分别是AB，AH的中点，所以EFBH，且BH平面，EF平面，所以EF平面.又F，G分别是AH，CD的中点，且AHCD，所以FGHD.又HD平面，FG平面，所以FG平面.因为EFFGF，EF，FG平面EFG，所以平面EFG平面，又平面平面，所以平面EFG平面.因为EG平面EFG，所以EG平面，EG平面.点评：本题是通过先作辅助线AH，再作辅助面EFG，借助平面几何里三角形中位线的结论来解决问题的【针对训练】1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点，则下列命题正确的是（ ）A MN/AP B MN/BD1 C MN/平面BB1D1D D MN/平面BDP【答案】C【解析】取B1C1中点P，连接MP,NP，由三角形中位线定理可得MP/B1D1，MB1/面BB1D1D，由四边形BB1PN为平行四边形得NP/BB1，NP/面BB1D1D，平面MNP/平面BB1D1D，MN面MNP，MN/平面BB1D1D，故选C.2.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（ ）A 5 B 25 C 26 D 6【答案】C【解析】取BC中点M，取A1D1中点N，则四边形B1MDN即为所求的截面，根据正方体的性质，可以求得MN=22,B1D=23，根据各边长，可以断定四边形B1MDN为菱形，所以其面积S=122223=26，故选C.3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列说法错误的是（ ）A MNCC1 B MN平面ACC1A1 C MN/AB D MN/平面ABCD【答案】C【解析】如图：连接C1D,BD，由三角形中位线定理可得MN/BD,MN与AB不可能平行，C错误；因为BD在平面ABCD内，由线面平行的判定定理可得，MN/平面ABCD ，D正确；CC1平面ABCD,CC1BD,MN与CC1垂直，A正确；因为BD平面ACC1A1,所以，MN平面ACC1A1 ，B正确，故选C.4.如图，DC平面ABC，EBDC，EB2DC，P，Q分别为AE，AB的中点则直线DP与平面ABC的位置关系是_【答案】平行【解析】连接CQ，在ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以PQEB.又DCEB，所以PQDC，所以四边形DPQC为平行四边形，所以DPCQ.又DP平面ABC，CQ平面ABC，所以DP平面ABC.5.在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，若存在实数 使得时，平面平面，则_【答案】【解析】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO理由如下： 当Q为CC1的中点时，Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPAP、O为DD1、DB的中点，D1BPO又POPA=P，D1BQB=B，D1B平面PAO，QB平面PAO，平面D1BQ平面PAO6.如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点（）证明：平面PAB；【答案】（）见解析【解析】7如图，ABCD与ADEF为平行四如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，.（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由； 【答案】（）取棱AD的中点M，证明详见解析；（）证明详见解析.【解析】（I）取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为ADBC,BC=AD，所以BCAM, 且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB 平面PAB,CM 平面PAB,所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)8.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（）求证：MN平面PAD；（）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.【答案】（）证明：见解析；（）Q点是PB的中点【解析】（）如图，取PD的中点H，连接AH、NH，由N是PC的中点，知NHDC.由M是AB的中点，知AMDC.NH綊AM，即AMNH为平行四边形MNAH.由MN平面PAD，AH平面PAD，知MN平面PAD.（）若平面MNQ平面PAD，则应有MQPA，M是AB中点，Q点是PB的中点9.如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBC12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.【答案】见解析【解析】(1)连接EC，ADBC，BCAD，BC AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点，又F是PC的中点，FOAP，FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： (1)直线EG平面BDD1B1； (2)平面EFG平面BDD1B1.【答案】见解析.【解