2007-2018全国卷高考真题——立体几何解答题(理科)解析

高考真题全国卷专项分类立体几何（理科）专题八 立体几何第二十四讲 空间向量与立体几何答案部分1（2018全国卷）【解析】(1)由已知可得，所以平面PEF又平面，所以平面平面(2)作，垂足为由(1)得，平面以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由(1)可得，又=2，=1，所以=又=1，=2，故可得,则，为平面的法向量设与平面所成角为，则所以与平面所成角的正弦值为2(2018全国卷)【解析】(1)因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且，由知由，知平面(2)如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系由已知得，取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得，可取，所以由已知得所以解得（舍去），所以又，所以所以与平面所成角的正弦值为3（2018全国卷）【解析】(1)由题设知，平面平面，交线为因为，平面，所以平面，故因为为上异于，的点，且为直径，所以 又=，所以平面而平面，故平面平面(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系当三棱锥体积最大时，为的中点由题设得，设是平面的法向量，则即可取是平面的法向量，因此，所以面与面所成二面角的正弦值是4（2017新课标）【解析】（1）由已知，得ABAP，CDPD由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD（2）在平面内做，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由（1）及已知可得，所以，设是平面的法向量，则，即，可取设是平面的法向量，则，即，可取则，所以二面角的余弦值为5（2017新课标）【解析】（1）取的中点，连结，因为是的中点，所以，由得，又，所以，四边形是平行四边形，又平面，平面，故平面（2）由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图的空间直角坐标系，则，设，则，因为与底面所成的角为，而是底面的法向量，所以，即 又在棱上，设，则， 由，解得（舍去），所以，从而设是平面的法向量，则，即，所以可取，于是因此二面角的余弦值为6（2017新课标）【解析】（1）由题设可得，从而又是直角三角形，所以取的中点，连接，则，又由于是正三角形，故所以为二面角的平面角在中，又，所以，故所以平面平面（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得故，设是平面的法向量，则即可取设是平面的法向量，则同理可得则所以二面角的余弦值为7（2016全国I）【解析】（）由已知可得，所以平面又平面，故平面平面（）过作，垂足为，由（）知平面以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系由（）知为二面角的平面角，故，则，可得，由已知，所以平面又平面平面，故，由，可得平面，所以为二面角的平面角，从而可得所以，设是平面的法向量，则，即，所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则故二面角的余弦值为8（2016全国II）【解析】（I）证明：，四边形为菱形，；又，又，面（）建立如图坐标系，设面法向量，由得，取，同理可得面的法向量，9（2016全国III）【解析】（）由已知得，取的中点，连接由为中点知， 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是因为平面，平面，所以平面（）取的中点，连结，由得，从而，且以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，设为平面的法向量，则，即，可取，于是10（2015新课标）【解析】（）连接，设，连接在菱形中，不妨设，由，可得，由平面，可知，又，在中，可得，故在中，可得在直角梯形中，由，可得，=，平面，面，平面平面（）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得(0，0)，(1,0, )，(1,0，)，(0，0)，=（1，），=（1，）故所以直线与所成的角的余弦值为11（2015新课标II）【答案】（）详见解析；（）【解析】（）交线围成的正方形如图：（）作，垂足为，则，因为为正方形，所以于是，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则即所以可取又，故所以直线与平面所成角的正弦值为【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角12(2014新课标1)【解析】（）连接，交，连接AO，因为侧面，所以又又（）因为又因为，以因为则13（2014新课标2）【解析】（）连接交于点，连结因为为矩形，所以为的中点又为的中点，所以平面,平面，所以平面（）因为平面，为矩形，所以，两两垂直如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则设，则设为平面的法向量，则即，可取又为平面的法向量，由题设，即，解得因为为的中点，所以三棱锥的高为三棱锥的体积14（2013新课标）【解析】（）取AB中点E，连结CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB；（）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),则=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=，直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为15（2013新课标）【解析】（）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以OD，又因为OD平面，平面，所以 /平面；（）由=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，所以ACBC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则、，设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则，所以，所以二面角D-E的正弦值为16（2012新课标）【解析】（）在中，得：同理：得：面（）面取的中点，过点作于点，连接，面面面 得：点与点重合且是二面角的平面角设，则，既二面角的大小为17（2011新课标）【解析】（）因为， 由余弦定理得 从而，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD 故 PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，设平面的法向量为，则， 即 因此可取=设平面的法向量为，