创新设计高三数学一轮复习 第3知识块第1讲角的概念的推广和弧度制课件 北师大

【考纲下载】,1.了解任意角的概念、弧度的意义2能正确地进行弧度与角度的换算3理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.,第1讲角的概念的推广和弧度制及任意角的三角函数,第三知识块角的概念的推广和弧度制及任意角的三角函数,1角的概念(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类：按旋转方向分：角、角、角,正,负,零,端点,2终边相同的角的集合所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合.或，前者用角度制表示，后者用弧度制表示提示：相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360的整数倍,r|rk360，kZ,|2k，kZ,3弧度制(1)角度与弧度的换算关系360rad；1rad；1rad.(2)设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则l扇形的面积为S.提示：在表示角的同一个表达式中，角度制和弧度制两种制度不能混用，如与30角终边相同的角的集合不能表示为|k360，kZ或|2k30，kZ,|r,2,4任意角的三角函数的定义设是一个任意角，的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是|OP|r(r0)则sin；cos；tan.,5三角函数在各象限的符号规律,函数,符号,象限,三角函数线设角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P如下图所示，则图中的有向线段MP，OM，AT的数量分别等于角的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫做角的线、线、线,正弦,余弦,正切,提示：三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，余弦值为0，正切值不存在,6.,1已知costan0时，为第三象限的角；当cos0，tancosx成立的x取值范围是()A.B.C.D.,解析：如右图所示，用单位圆内正弦线和余弦线来解，要使sinxcosx，只要x取阴影部分的角即可答案：C,弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_解析：l|r，r4，Slr346.答案：46,4,利用终边相同角的表示，可以由角所在的象限，判断，等所在的象限，其方法有：1范围限定法：将的范围用式子表示出来，然后求出，等角的范围，根据此范围进行判断此时需要进行分类讨论,2图示法：把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分、三等分，从x轴右上方开始按逆时针将各区域依次标上1,2,3；1,2,3；是第几象限角就找数字几，其对应的位置就是，等所在的象限,若是第二象限的角，试分别确定2，的终边所在位置思维点拨：判断角在哪个象限，只需把改写成0k360(kZ)，其中00360.解：是第二象限的角，k36090k360180(kZ)(1)2k36018022k360360(kZ)，2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上,【例1】,(2)k18045k18090(kZ)，当k2n(nZ)时，n36045n36090；当k2n1(nZ)时，n360225n360270.是第一或第三象限的角,本例条件不变，试确定的终边所在象限解：k12030k12060(kZ)，当k3n(nZ)时，n36030n36060；当k3n1(nZ)时，n360150n360180；当k3n2(nZ)时，n360270n360300.是第一或第二或第四象限的角.,拓展1：,对于扇形应该由两个条件确定，可以将扇形所在圆的半径r，扇形圆心角的弧度数和弧长l中的两个做为基本量进行计算和证明弧度制下的弧长公式形式较为简单lr(其中为扇形圆心角的弧度数)【例2】一扇形周长为20cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思维点拨：建立圆心角、半径之间的等量关系，把面积表示成变量的函数,解：设扇形圆心角为，半径为r，则2rr20，S扇形r2(10r)r10rr2，当r5时，S扇形的最大值为25cm2，此时2rad.,若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？解：设扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l，根据已知条件lRS扇，则扇形的周长为：l2RR4当且仅当R时等号成立，此时l22，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值.,变式2：,由终边上一点P的坐标，可计算P到原点的距离，再由三角函数的定义求值，值得注意的是，当角的终边上点的坐标是以参数的形式给出时，常常要对参数进行讨论【例3】已知角终边上一点P，P到x轴的距离与到y轴的距离之比为34，且sin0)，则r5k，从而cos，tancos2tan，由于故的终边不可能在y轴的非正半轴上综上所述，若P点位于第三象限，则cos2tan若P点位于第四象限，则cos2tan,已知角的终边上一点P(，m)，且sin，求cos，tan的值解：由题设知x，ym，所以r2|OP|2()2m2，得r,从而sin解得m0或m当m0时，r，x，cos，tan当m，r2，x，cos，tan,变式3：,1弧度制与角度制的转换关系要抓住弧度等于180，弧度制沟通了角与实数之间的一一对应关系，扇形的弧长公式l|r和面积公式Slr，是解决有关圆问题的有效工具2要确定角所在的象限，只要把表示为2k0(kZ,000时，r5a，sincostan；8分(2)当a0时，r5a，sincostan.12分,【规范解答】,如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，则siny，cosx，tan，但如果不是