正整数的三部分拆及应用

正整数的三部分拆及应用,D012012028徐蜜雪组合论A,正整数的三部分拆基于对正整数分拆的递归关系理解上，并且随着母函数的提出，使其真正有了解决办法，但是由于四部分拆与三部分拆的难度不在一个等级上，所以还没有办法完全解决这个问题。在这里先给出三部分拆的最后结论，与k部分拆的一个模糊结论。三部分拆的应用十分广泛，见到最多的是周长为n的整边三角形的计数公式。,研究P(n,3)的意义是什么,p212,=0(6)212112,=1,5(6)21213,=2,4(6)212+4,=3(6)=212,P(n,3)的计数公式,设n是正整数，且n=8，则这个四部分拆最大两部分相等的情况数是2484+1,为偶数(+3)248+34+1，为奇数这是根据正整数三部分拆的三角形整数计数得来的。,对于p(n,4)的一个研究结果,我们都知道，正整数n的小于k部分拆，就相当于最大分部为k的分拆数（通过ferres可整），也就是1+22+=的解数。所以p(n+3,3)的证明如下：计算1+22+33=。的解数由母函数我们知道an的生成函数如下=0=(1+2+)(1+2+4+)(1+3+)=111213=16(1)3+14(1)2+17721(1)+1811+1911+19112=0(+3212772+18+19(+2),P(n,3)的证明,这里的1，w,w2，是1的立方根，=23+23,从而+2=223所以=112(+3)2772+18+2923,因为是整数，而77218292312所以，有=112（n+3）2.故p(n,3)也就证出来了。,首先我们还有人记得这样的一个习题吗？证明：周长为2n，边长为正整数的三角形的个数是p（n,3）。,对于p(n,3)的一个重要应用,为证明这样的结论，我们先引进一个引理：T(2n-3)=T(2n)(已被证过成立，假定它已成立)证明：当n是偶数时，根据以上的结论可以得出当n是奇数时，n=2k+1,T(n)=T(2k+1)=T(2k+4-3)=T(2k+4)=T(n+3),由于n+3是个偶数，所以可以带到第一种情况。,T(n)定义为周长为n的三角形各边为整数的个数,对于p(n,3)的讨论到此结束,P(n,k)=1(1)!+2这里的2是n的次数小于等于k-2的有理系数多项式，其系数只与n(modk!)有关。其中p(n,4)是根据三角形的问题推演出来的。,下面给出参考书中关于p（n，k）的一个结论,至于分拆数p(n)，其渐近性质研究是解析数论中的一个重要课题，现已证明p(n)143exp23.当然还有更复杂的情况就不一一列举。,在一些应用中，尤其是在整数的三部分拆中，直观的ferrers共轭分拆也是证明题目的关键节点！,不要忘记Ferrers图,不管怎么说，整数分拆的证明进程给了我们一个启示：1、无论多么难的问题，只要从最简单的地方入手，也会有一些收获，或许哪一次的证明就能用得到。2、从想象到定理证明中间的鸿沟是巨大的，我们缺乏的是将直观的理解与严格的理论逻辑结合起来的能力。,启示,接