高等数学课件第4章一元函数微分学

2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,1,第4章一元函数积分学,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,2,微分,积分,如：已知SS(t)，求V(t),已知VV(t)，求S(t),微分,积分,4.1原函数与不定积分的概念,1运算角度,一、问题的引入,2实际问题,即：微分的逆运算是积分,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,3,例,1.定义:,二、原函数,是的一个原函数.,问题:1.原函数何时存在?2.有多少个?3.怎样求?,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,4,2.原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,5,3.原函数结构定理：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若和都是的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,即：如果函数有一个原函数，则必有无穷多个原函数，且它们之间只相差一个常数，因而，广义地讲，一个函数的原函数只有一个。,全体原函数任意一个原函数,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,6,1.不定积分的定义：,即：,三、不定积分,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,7,例1求,解,解,例2求,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,8,2.不定积分的几何意义一簇曲线,初始条件：在f(x)的所有原函数中确定一个的条件.,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,9,例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,3.不定积分的性质性质1求不定积分和求导数、微分互为逆运算,性质2,性质3,23,=,注：,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,11,四、基本积分表(1):,基本积分公式要熟记,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,12,基本积分公式要熟记,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,13,例2求积分,例1求积分,注:最后结果在没有积分号时要加C,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,14,例3求积分,解,例4,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,15,例5求积分,解,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,16,例6求积分,解,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,17,例7求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,18,解,所求曲线方程为,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,19,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,小结,直接积分法,思考题,符号函数,在(,+)内是否存在原函数？为什么？,解答,假设有原函数F(x)，则,故假设错误,即f(x)在(,+)内不存在原函数.,结论,含有第一类间断点的函数都没有原函数.,由“F(x)可导必连续”得:,C1C2F(0),但F(x)在x0不可导,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,21,提示：化分数指数,提示：用除法,练习：,提示：用除法,提示：用除法,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,22,提示：用三角公式,提示：用三角公式,提示：用三角公式,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,23,提示：用三角公式,提示：拆项,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,24,作业：,P164：4-1(2)(3)(7)(8)4-3预习4.2换元积分法,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,25,问题,？,正确解法,一、第一换元法（凑微分法）,4.2换元积分法,不能直接用公式,因为sin2x是复合函数.,复习:,验证,定理,证,第一类换元积分法(凑微分法),注：,(1)凑微分法的关键,(2)观察重点不同，所得结果不同答案不唯一!,步骤：两次积分,常省略!,引例解(3),例2,例1,(一)若，则,例3,公式!,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,29,例4,例5,公式!,公式!,或,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,30,例6,例7,(二)被积函数为积的形式,常用凑微分(第一次积分):,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,32,例10,例8,例9,例11,例12,例13,(三)三角函数的积分，往往利用三角恒等式变形后再利用上述方法解决。,例14,例15,公式!,公式!,类似地：,公式!,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,35,例16,附,积化和差,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,36,例17,例18,正、余弦偶次,降幂,正、余弦奇次,凑微分,再利用:,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,37,例19,(1)m,n均偶数降幂公式,(2)m,n一奇一偶拆奇，另用,(3)m,n均奇数拆小奇，另用,例20,例21,例22,凑微分法非常灵活，有时需要两次、甚至三次凑微分后才能用公式求出结果。,例23,变形:,例24,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,40,例25,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,41,例26,例27,例28,例29,原式,解,43,解,例30设求.,令,例32,解,例31设,求,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,44,作业：,P176：4-4(3)(4)(5)(6)(10)(11)(12)(13)预习4.3换元积分法,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,45,类似地：,公式!,例15,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,46,1.求下列不定积分,练习,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,47,问题,解决方法,变量代换.,过程,令,(“凑微分”可求出结果),二、第二换元法,4.2换元积分法,凑微分法,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,48,证,F(t)为函数的一个原函数,t,注:(1)变换目的去掉被积函数中的根号,规律:,三角代换,被积函数中含,可令,可令,可令,可令,说明:例含,设a0,定义域-a,a,令,单调可微,则,且,公式!,t,x,a,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,51,例2求,解,令,1,1,公式!,x,a,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,52,例3求,解,令,1,1,公式!,x,a,2020/5/6,微积分-第二换元法,53,基本积分表(2):,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,54,例4求,解,令,x,2,55,注:(2),（三角代换很繁琐）,解令,积分中为了化掉、是否一定采用三角代换，需根据被积函数的情况来定,22,56,例6,x,a,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,57,解,令,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,58,注:(3),当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可令(其中n为各根指数的最小公倍数),例8求,解,令,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,59,例9求,解,令,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,60,注:(4),当分母的次数较高时,可采用倒代换,令,解,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,61,例11求,解,令,（分母的次数较高）,原式,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,62,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,63,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),三、小结,凑微分法,第二换元法,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,64,解答,思考题,求积分,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,65,作业：,P176：4-4(19)(21)(22)(25)预习4.3分部积分法,66,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,67,练习1：求下列不定积分,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,68,练习2：用多种方法求下列不定积分,返回,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,69,练习3：求下列不定积分,4.3分部积分法,设函数u(x)、v(x)具有连续导数，则,两边积分得,或:,难求,易积,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,移项得:,凑微分法,第二换元法,分部积分公式:,解(一),令,积分更难进行.,解(二),令,使用分部积分法关键：正确选择u、v.,引例,下面通过例题分析如何选择u、v,=,=,为记忆方便，就基本题型总结出选择u的口诀.,例1求,直接用分部积分公式,解原式,易积,例2求,解,总结被积函数仅含对数函数或反三角函数,直接用分部积分公式.,比原积分简单,解,例3求,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,75,例4求,解,总结被积函数是三角函数(正、余弦)和多项式函数或指数函数和多项式函数的乘积,令多项式函数为u,每使用一次分部积分公式可使多项式的次数降低1.记作“三多选多”、“指多选多”.,76,例5求,解,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,77,例6求,解,总结若被积函数是代数函数和对数函数或代数函数和反三角函数的乘积，考虑设对数函数或反三角函数为u.记作“代对选对”、“代反选反”.,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,78,例7求,解,注意循环形式(“积分重现”),2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,79,例7中也可选ex作u,(“积分重现”),总结被积函数是指数函数和正、余弦函数的乘积，“指弦任选”，在重复使用分部积分公式时，“积分重现”，解出原积分(注意加常数C).,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,80,注：有时换元积分法与分部积分法结合使用。,例8求,解,口诀?,直接用法则?,“三多选多”,则x=t2,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,81,例9求,解,“指多选多”,令,(见例4),(为书写方便),2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,82,例10求,解,“代反选反”,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,83,解,或,注:被积函数含、等时,常用分部积分法.,例11已知f(x)的一个原函数是,求,翻译为数学式子!,f(x)的一个原函数是,代入原式?,复杂化!,上两式代入,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,84,例12求,85,解,P例:求递推公式.,较易，补充例：,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,86,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,87,例14求,解,“代反选反”,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,88,解,练习：,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,91,合理选择u、v，正确使用分部积分公式：,小结,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,92,思考题,在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？,解答,注意前后几次所选的u应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,93,作业：,P181：4-5(5)(6)(8)(9)思考P188：4-10(2)预习4.4有理函数积分,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,94,2020/5/6,微积分-分部积分,95,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,96,凑微分法(第一换元),第二换元积分法,分部积分法,规律:被积函数仅含对数或反三角函数,复习:,直接积分法,两类换元积分法,分部积分法,直接用公式;,被积,函数为两类不同函数之积,u的选择:,“三多选多”;“指多,选多”;“代对选对”;“代反选反”;“指弦任选”(积分重现).,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,98,例,假分式化为整式与真分式之和,真分式化为最简分式之和,今天专门探讨这类有理函数积分的一般方法.,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,99,两个多项式的商表示的函数.,4.4有理函数的积分,一、有理函数的定义:,假定分子、分母无公因式,真分式：,假分式：,利用多项式除法,假分式可化成整式与真分式之和.,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,100,例,(难点),真分式,可化为部分分式之和,二、化真分式为部分分式之和,1.部分分式,指如下四种“最简真分式”：,101,(1)真分式的分母中有因式，则分解后为,2.真分式化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,(2)分母中有因式,则分解后为,特殊地：,分解后为,实系数多项式均可唯一分解成一次因式和二次质因式之积,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,102,3.部分分式的系数确定,例1,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,103,取x0,取x1,取x2,并将A、C值代入(1),例2,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,104,例3,即,三、有理函数的积分,一.有理函数定义,二.化真分式为,部分分式之和,2.将真分式分解成部分分式之和.,1.化假分式为整式和真分式之和.,3.逐项积分.,解,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,106,例5求积分,解,(分解见前例3),有理函数化为整式与部分分式之和后，只出现三类积分：,对积分(2)：,(1)多项式;,C,说明,2020/5/6,记作a2,讨论积分(3)：,(1)n1,记作b,a、b记号同前,再令,(上节递推公式),(2)n1,例6求积分,解,上上节例6(令x=tant)或：上节递推公式,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,111,结论有理函数的原函数能用初等函数表示，且积分结果只含有有理分式、对数函数、反正切函数，不含其它类型的函数.,注尽管被积函数只要连续就一定存在原函数;初等函数在其定义区间连续.但有的初等函数的原函数却不是初等函数,如,等不能用初等函数表示.,通常我们说这些积分是“积不出来”的。,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,112,例7求积分,解,令,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,113,注,上述有理函数的积分方法中，确定待定系数比较麻烦，故应优先选择其它简便方法。例:,2.积分方法万能代换,四、三角函数有理式的积分(补充),1.三角函数有理式：由三角函数及常数经有限次四则运算得到的函数。可记为,例,关于t的有理函数的积分,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,117,注意：上面的方法对三角函数有理式的积分均可积出，但应优先考虑简便解法，如凑微分法,练习：,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,118,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,119,作业：,P1884-6(2)(4)(6)4-7(1)预习4.5定积分,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,120,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,121,例,返回,返回,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,124,积分有不定积分和定积分之分。不定积分是导数的逆运算，定积分是求“和式的极限”.牛顿莱布尼兹公式给出它们之间的联系.,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,125,4.5定积分的概念和性质,一、引例,求曲边梯形的面积,a,b,c,d,x,y,o,A,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,126,解决步骤:,1)分割.,在区间a,b中任意插入n1个分点,用直线x=xi将曲边梯形分成n个小曲边梯形;,2)近似.,在第i个窄曲边梯形上任取,作以xi-1,xi为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,(i=1,2,n),2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,127,3)求和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,128,变速直线运动的路程,某物体作直线运动,已知速度v=v(t)CT1,T2,且,v(t)0,求在运动时间T1,T2内物体所经过的路程s.,解决步骤:,1)分割.,在T1,T2中任意插入n1个分点将它分成,在每个小段上物体,2)近似.,n个小段ti-1,ti(i=1,2,n),经过的路程为si(i=1,2,n).,(i=1,2,n),任取,以代替变速,得,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,129,3)求和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“分割,近似,求和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,130,二、定积分的定义,定义设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点a=x0x1x2xn-1xn=b，把区间分成n个小区间，各小区间的长度依次为xi=xi-xi-1(i=1,2,n)，在各小区间上任取一点，作乘积并作和,(i=1,2,n),2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,131,记为,积分上限,积分下限,积分和,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,132,注意：,将概念用于两引例：,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,133,定理1,定理2,三、存在定理,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,134,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,例利用定义计算定积分,解,f(x)在0,1上连续，,故存在,将0,1n等分,分点,(i1,2,n),取,(i1,2,n),136,思考题,将和式极限：,表示成定积分,解答,原式,或,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,137,对定积分的补充规定:,五、定积分的基本性质,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,138,证,性质2,性质1,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,139,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质3,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,140,补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,例若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质4,a,b,c,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,141,证,性质5,注：若f(x)x,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,143,证,注:(1)此性质可用于估计积分值的大致范围,性质6,(2)若m0,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,156,令,令,由定理1,若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上存在原函数,积分上限函数就是它的一个原函数。那么,这个原函数与f(x)的其它原函数有何关系？,设F(x)是f(x)的另一原函数,则,(确定C?),定理2,二、微积分学基本定理,设F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个,原函数,则,(牛顿莱布尼茨公式),2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,157,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数(求不定积分)的问题.,使用牛顿-莱布尼茨公式的条件：,被积函数f(x)必须在给定的区间a,b连续,F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数。,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,158,例4求,原式,解,例5设,求.,解,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,159,例6求,解,解面积,y=x2,1,1,x,y,2,y=x,x,o,x,解：,当0x1时,当1x2时，,例8设,求在0,2上的表达式并讨论其连续性,1)求X的分布函数F(x)2)求PX(0.5,1.5),解：,例.已知随机变量X的概率密度为,当x0时,F(x)=,当0x1时，,f(x)是分段函数,求F(x)时要分段求,=0,PX(0.5,1.5)=,当1x2时,当x2时,必然事件!,=1,F(1.5)-F(0.5)=3/4,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,163,例9求,解,原式,例10求,(P178例4-42),x2+x-2=(x+2)(x-1)=0,x=-2，或x=1,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,164,例11求(ab),去绝对值！,x正负？,a、b正负？,讨论!,解：0ab时,原式,ab0时,原式,a0时，,一般地：,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,192,f(x),f(x),f(x),g(x),g(x),g(x),2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,193,194,解题步骤：1.联列方程,求交点坐标;2.画图3.列出定积分式;4.算出结果,解,两曲线的交点,解,两曲线的交点,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,196,解,两曲线的交点,选y为积分变量,=18,选x为积分变量,注意：“被积函数、积分变量、积分上下限”三者必须统一。,=18,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,198,解,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,199,二、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,200,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,201,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,202,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,203,旋转体的体积为,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,204,旋转体体积,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,205,解,直线方程为,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,206,例8.求椭球体体积(椭圆面绕x轴旋转),例9：求平面曲线yx2与直线y0、x1围成的平面图形的面积及该平面图形绕x轴、y轴旋转一周所得旋转体的体积,R,x2,12,r,注意：绕y轴旋转时“被积函数、积分变量、积分上下限”三者统一于y.,四、经济应用,1.已知总产量变化率f(t)(即Q(t)，求总产量Q(t),通常取t0=0,则,从而有:,从t=t1到t=t2这段时间内的总产量,2.已知边际成本C(x),求总成本,3.已知边际收益R(x),求总收益,4.已知边际利润L(x),求总利润,Q(0)=0,2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,209,例10.设某产品的总产量变化率为f(t)=10010t0.45t2(吨/小时),求从t1=4到t2=8这段时间内的总产量,解,(吨),2020/5/6,微积分-不定积分概念与性质,210,例11.设产品的总成本C(万元)的变化率C(x)=1,总收入R(万元)的