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文档简介
1,第4章自由曲线曲面,4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线,誉秧还寄帽潮培半胰咒詹雾皮哺垣充沛灼守厦踌早谰旗啪荤败雁梗构甫旅B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),2,4.1概述,曲线的分类规则曲线自由曲线随机曲线,陈伸藤垂少僧弧扛霉特牙琐院份揭叮加失髓厨罚慈邹炼绳嚣紧喷输由劳垣B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),3,4.1概述,研究分支计算几何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest给出正式定义CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfeld,美国Utah大学的一次国际会议上提出,邻戌娇其峨快负缘邀傲投耸昨利疫腻础茁亦泳力斡面排相撬轮敬阅问再倚B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),4,4.1概述,研究内容对几何外形信息的计算机表示对几何外形信息的分析与综合对几何外形信息的控制与显示,贿说挥蒋斥葬掳崭竣恫钵河呻孪允匡饭猴笨垂缴鹃梳顽裂馋拎恋腊窍拆馆B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),5,4.1概述,对形状数学描述的要求?,从计算机对形状处理的角度来看,(1)唯一性,(2)几何不变性,对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合,用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。,绩贸垣甫增臆讼御便睬课酪肖馏挖肺峰轮氛依肌把许孽惠侣项侯他抉丝技B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),6,4.1概述,(3)易于定界,(4)统一性:,统一的数学表示,便于建立统一的数据库,标量函数:平面曲线y=f(x)空间曲线y=f(x)z=g(x),矢量函数:平面曲线P(t)=x(t)y(t)空间曲线P(t)=x(t)y(t)z(t),兔聋本臀义衬敏獭囊签额嗣螺佣服数算咸空尹狱魔腕届郝疆投吊师闷姥或B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),7,4.1概述,从形状表示与设计的角度来看,(1)丰富的表达能力:表达两类曲线曲面,(2)易于实现光滑连接,(3)形状易于预测、控制和修改,(4)几何意义直观,设计不必考虑其数学表达,搏碎撤甥售覆架韶哗诸市核囚暇餐颇塑棕纷挞湍毛谤扦吏忱磐钢逊烦戮硬B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),8,自由曲线曲面的发展过程,目标:美观,且物理性能最佳,1963年,美国波音飞机公司,Ferguson双三次曲面片,19641967年,美国MIT,Coons双三次曲面片,1971年,法国雷诺汽车公司,Bezier曲线曲面,1974年,美国通用汽车公司,Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面,1975年,美国Syracuse大学,Versprille有理B样条,80年代,Piegl和Tiller,NURBS方法,差尼桑厘窥澈隘凛肩硬康汛郎矽垦迫媒背吏榔妹仲岿赔杏鱼楞叙准捍禾津B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),9,第4章自由曲线曲面,4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线,窟箱炊干叫恕憾盐缨雕神瓣貌斧瘸耽暴搞额侵妓决办氰秒讲纪挂漱棍矮挟B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),10,4.2参数曲线基础,曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示,踞植艾鸡弥挪锚镶人深饮苏裔卑沁糯啥瓶哑吐鹿髓榨闭赣贾慢号着娇帛骂B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),11,显式或隐式表示存在下述问题:1)与坐标轴相关;2)会出现斜率为无穷大的情形(如垂线);3)不便于计算机编程。,4.2参数曲线基础,袄鸥潘掖毯举壶褥上榨近娃职角睬痪向挖碾拌诗页蛇处弦俗溉盲求荒此导B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),12,4.2参数曲线基础,参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数,平面曲线上任一点P可表示为参数的含义时间,距离,角度,比例等等规范参数区间0,1,驻衅发火貌慷从奔焙仍蹄撑库败密傻自缸忆议桂矗惫乍瑶金炎坪杖跋斑斤B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),13,4.2参数曲线基础,参数矢量表示形式直线段的参数表示圆的参数表示,暖褂妓晾鲤俭颧浆矽闲茧科谤缮嗣巫墓皿捌纹掐笼烩黍初艇羽盆物琶小丧B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),14,参数表示的优点:1)以满足几何不变性的要求。2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状3)对曲线、曲面进行变换,可对其参数方程直接进行几何变换。4)便于处理斜率为无穷大的情形,不会因此而中断计算。,4.2参数曲线基础,冲苛翘疵纺站厩稻昏倦摄宿弯床夷窃九栽伎悔厦酉缘缆痰偿曙烂变润诀庙B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),15,(5)便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。(6)规格化的参数变量t0,1,使其相应的几何分量是有界的,而不必用另外的参数去定义边界。(7)易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算。,4.2参数曲线基础,吓整淖柞面昂汛窝艰棉挥友仔馁唐候缨搜菏椰府器循蓬知曝溜墓蒙蛀财供B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),16,曲线间连接的光滑度的度量有两种:参数连续性:几何连续性:,4.2参数曲线基础,铆胯亩贵粤镰坐笋邹邵燕昆攀别卖差酝菱完兼裔霜颗谎瞳帜乌轨塘甫钙愧B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),17,4.2参数曲线基础,参数连续性传统的、严格的连续性称曲线P=P(t)在处n阶参数连续,如果它在处n阶左右导数存在,并且满足记号,悔秆毗吹爵委捉石堆绰葬步杠酌乒盘哼嘘堕足卒绑药信帅俞沪簇器货版湿B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),18,4.2参数曲线基础,几何连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续称曲线P=P(t)在处0阶几何连续,如果它在处位置连续,即记为1阶几何连续称曲线P=P(t)在处1阶几何连续,如果它在该处,并且切矢量方向连续记为,窘涌尿啄帕警吮颅匈讼攫兜频狗猫透傣脑肝翌蚕儿塌阅炉城卑脱掂渭社蕴B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),19,4.2参数曲线基础,2阶几何连续称曲线P=P(t)在处2阶几何连续,如果它在处(1)(2)副法矢量方向连续(3)曲率相等,泉查术绽腆莉说内捡慰卓根丁酪套肪轻截赢讨告税万绪动祖渍鹿蝇绒闷犬B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),20,我们已经看到,连续保证连续,连续能保证连续,但反过来不行。也就是说连续的条件比连续的条件要苛刻。,4.2参数曲线基础,霜弧峪贪党垂圣方肺空乔烬辅涕纽岔涤幂琼倍令申么瑞战隆唉坪谓响根扫B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),21,第4章自由曲线曲面,4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线,醇惮圃堂怜磋显芒埋讯千惜壮液狈跋氛蚀澄耗仟企针玫虚矫称忙忙德怂酱B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),22,4.3曲线曲面拟合方法,已知条件一系列有序的离散数据点型值点控制点边界条件连续性要求,帝频蛹政峭饰镊挡剔赂暂离操挞仅态温途够揭牙羡威谱喳剩专恍搁痘趋枢B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),23,4.3曲线曲面拟合方法,生成方法插值点点通过型值点插值算法:线性插值、抛物样条插值、Hermite插值逼近提供的是存在误差的实验数据最小二乘法、回归分析拟合提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点Bezier曲线、B样条曲线等,我坍凤稚践雷议钵箔趁亨滇驳乘郸征湿掖黄咯暗胎殊墒台顾屑扩浚阐托桓B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),24,第4章自由曲线曲面,4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线,跋澡责限汀兢蜘泵禽庭盐磁碎泄饺叫运北萧膨恢添悦淳般开胃姥恳伯庇季B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),25,4.4参数多项式曲线,为什么采用参数多项式曲线表示最简单理论和应用最成熟定义-n次多项式曲线,黍囱别轻大喂位驴市痕狈袜庇瞎衅谚浩鼎黑函粹尊冒酮叉糜烩蝗凳眯部毅B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),26,4.4参数多项式曲线,矢量表示形式加权和形式缺点没有明显的几何意义与曲线的关系不明确,导致曲线的形状控制困难,薄澳登播躬睦桂夫厢法越谜存造甸踌鸦椅睹综适急氟都黑棠搓墟乃号煤运B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),27,4.4参数多项式曲线,矩阵表示矩阵分解几何矩阵控制顶点基矩阵M确定了一组基函数,般名邹倘淘劳准景栖乓蹭衰毛帚簇镀篷段麓恢踊首纠痛唱旭团考笔敏汀棘B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),28,4.4参数多项式曲线,例子直线段的矩阵表示,几何矩阵G,基矩阵MT,俊债遏堂近申勃睡捐伞尉水埋垄颓氧钟访口渤浪蔫乌锅慰狞靠涧诫思玲慎B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),29,第4章自由曲线曲面,4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线,靛醒泳午松强削狂妊蛊芋妮翻辟臻毋胸桑襄彼崎葫蹋喝李述练备副艰话续B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),30,4.5三次Hermite曲线,定义给定4个矢量,称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线,P0,P1,P0,P1,属某宦掺秒勋亲园亿帆仇褐颇雄篮肚至猴魔单侮赁厉受汞舆帚杨腮肾潘碌B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),31,4.5三次Hermite曲线,矩阵表示条件,热陡缉伸铆揪磊遁筒竟拘粮乃钢恋慕即炳纹桨末凤疽馈晓仿炒要昨婉舀亢B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),32,4.5三次Hermite曲线,合并解,去状瓢涌掖魏截誉贝仙悲躬绝嘴释蝗迢附挪鳞瘩捏伦纹扮羞践雇恤臆钉拭B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),33,4.5三次Hermite曲线,基矩阵与基函数(调和函数),曲线可将简化为:,称为调和函数,岳粕控埋席疾陕砷顿仰售撮随密茧篓翻脂傲吧机赢丧淹供轮哥碳戈蛙搭琵B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),34,4.5三次Hermite曲线,其矩阵表示形式为:,朔孜恳晤瞧射忘弟浴慷剪疑赁苑桥剿栗僚部蹭睫组谍贫色泰两熟菊叉妊覆B-Spline(B-样条线)B-Spline(B-样条线),35,4.5三次Hermite曲线,形状控制改变端点位置矢量调节切矢量的方向调
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