2016年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页 ） 2016 年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题 1已知集合 A=x R|0 x 2，则 ） A x|x 0 B x|x 2 C x|x 0 或 x 2 D x|x 0 或 x 2 2 i 为虚数单位，复数 =（ ） A + i B + C + i D i 3等比数列 ， 6， ，则 ） A 1 B 1 C 1 D 4从 1， 2， 3， 5 这四个数字中任意选出两个数字，这两个数字之和是偶 数的概率为（ ） A B C D 5若实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 0 D 2 6已知命题 p： x R， 0；命题 q： x 2， x 0，则下列命题中为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 7若函数 f（ x） =2x+x 2016 的一个零点 （ n， n+1），则正整数 n=（ ） A 11 B 10 C 9 D 8 8执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2，则输出 v 的值为（ ） A 31 B 32 C 63 D 64 第 2 页（共 19 页 ） 9已知双曲线 =1 的左焦点在抛物线 0x 的准线上，且双曲线的一条渐近线的斜率为 ，则双曲线的标准方程是（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 10某几何体的三视图如图所示，其正视图由一个半圆和一个矩形构成，则该几何体的表面积为（ ） A 12+2 B 14+2 C 14+ D 16+ 11直线 2 ） y 1=0 的倾斜角的取值范围是（ ） A ， B 0， ， C（ 0， ， ） D 0， ， ） 12若关于 x 的不等式 x+1） ax+a 的解集为 1， +），则 a 的取值范围为（ ） A ， +） B 2， +） C（ 0， +） D 1， +） 二、填空题 13已知函数 f（ x） =x3+ f（ 2） =10，则 a=_ 14已知 ，则 +） 3+） 2 ） =_ 15已知 =（ 1， t）， =（ t， 6），则 |2 + |的最小值为 _ 16如图， ， ， ， D=60， 锐角三角形， _ 三、解答题 17等差数列 首项 ，公差 d 0，且 a3a4= （ 1）求数 列 通项公式； （ 2）设 bn=n，求数列 前 n 项和 第 3 页（共 19 页 ） 18某高中为了解全校学生每周参加体育运动的情况，随机从全校学生中抽取 100 名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下： 每周参与运动的时间（单位：小时） 0， 4） 4， 8） 8， 12） 12， 16） 16， 20 频数 24 40 28 6 2 （ 1）作出样本的频率分布直方图； （ 2） 估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数； 若该校有学生 3000 人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周 参与体育运动的时间不低于 8 小时的人数 19如图，直角三角形 ， A=60，沿斜边 的高 起到 E 在线段 （ 1）求证： （ 2）过点 D 作 点 M，点 N 为 点，若 平面 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，短轴长为 2 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过圆 C： x2+y2=0 r b）上的任意一点作圆 C 的切线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，都有 O 为坐标原点），求 r 的值 21已知函数 f（ x） = （ 1）若函数 g（ x） =f（ x） 定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）在（ 1）的条件下，且 a 1， h（ x） =3x 0， 求 h（ x）的极小值 选修 4何证明选 讲 22如图， O 的直径 延长线与弦 延长线相交于点 P， E 为 O 上的一点， = ， 点 F （ 1）求证： O=B； （ 2）若 ， ， ，求弦 弦心距 第 4 页（共 19 页 ） 选修 4标系与参数方程选讲 23已知曲线 C： （ 为参数），直线 l： （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）写出曲线 C 的极坐标方程，直线 l 的普通方程； （ 2）点 A 在曲线 C 上， B 点在直线 l 上，求 A， B 两点间距离 |最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+m|+|2x+1| （ 1）当 m= 1 时，解不等式 f（ x） 3； （ 2）若 m （ 1， 0，求函数 f（ x） =|x+m|+|2x+1|的图象与直线 y=3 围成的多边形面积的最大值 第 5 页（共 19 页 ） 2016 年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知集合 A=x R|0 x 2，则 ） A x|x 0 B x|x 2 C x|x 0 或 x 2 D x|x 0 或 x 2 【考点】 补集及其运算 【分析】 根据补集的定义求出集合 A 的补集即可 【解答】 解： 集合 A=x R|0 x 2， x|x 0 或 x 2 故选： D 2 i 为虚数单位，复数 =（ ） A + i B + C + i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解：复数 = = = ， 故选： A 3等比数列 ， 6， ，则 ） A 1 B 1 C 1 D 【考点】 等 比数列的性质 【分析】 直接利用等比数列的性质求解即可 【解答】 解：等比数列 ， 6， ，则 = =1 故选： A 4从 1， 2， 3， 5 这四个数字中任意选出两个数字，这两个数字之和是偶数的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 从 1， 2， 3， 5 这四个数字中任意选出两个数字，先求出基本事件总数，再求出这两个数字之和是偶数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数字之和是偶数的概率 【解答】 解：从 1， 2， 3， 5 这四个数字中任意选出两个数字， 基本事件总数 n= ， 这两个数字之和是偶数包含的基本事件个数 m= =3， 第 6 页（共 19 页 ） 这两个数字之和是偶数的概率为 p= = = 故选： B 5若实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 0 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出 z 的最大值即可 【解 答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 ， 由 z=x y，得： y=x z， 显然直线过（ 2， 0）时， z 最大， z 的最大值是 2， 故选： D 6已知命题 p： x R， 0；命题 q： x 2， x 0，则下列命题中为真命题的是（ ） A p q B p q C p q D p q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别判断出 p， q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可 【解答】 解：命题 p： x R， 0，是假命题， 命题 q： x 2， x= 0，是真命题， 故 p q 是假命题， p q 是假命题， p q 是真命题， p q 是假命题， 故选： C 7若函数 f（ x） =2x+x 2016 的一个零点 （ n， n+1），则正整数 n=（ ） 第 7 页（共 19 页 ） A 11 B 10 C 9 D 8 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 分别求出 f（ 10）和 f（ 11）并判断符号，再由函数的单调性判断出函数唯一零点所在的区间，即可求出 n 【解答】 解： f（ 10） =210+10 2016 0， f（ 11） =211+11 2016 0， f（ x） =2x+x 2016 的存在零点 （ 10， 11） 函数 f（ x） =2x+x 2016 在 R 上单调递增， f（ x） =2x+x 2016 的存在唯一的零点 （ 10， 11） 函数 f（ x） =2x+x 2016 的一个零点 （ n， n+1）， 则整数 n=10 故选： B 8执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2，则输出 v 的值为（ ） A 31 B 32 C 63 D 64 【考点】 循环结构 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 v， n 的值，当 n=6 时不满足条件 n 5，退出循环，输出 v 的值为 63 即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 x=2， n=1， v=1 满足条件 n 5，执行循环体， v=3， n=2 满足条件 n 5，执行循环体， v=7， n=3 满足条件 n 5，执行循环体， v=15， n=4 满足条件 n 5，执行循环体， v=31， n=5 满足条件 n 5，执行循环体， v=63， n=6 不满足条件 n 5，退出循环，输出 v 的值为 63 故选： C 9已知双曲线 =1 的左焦点在抛物线 0x 的准线上，且双曲线的一条渐近线的斜率为 ，则双曲线的标准方程是（ ） 第 8 页（共 19 页 ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的准线 方程可得 c=5，即 a2+5，求得渐近线方程可得 = ，解方程可得 a， b，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：抛物线 0x 的准线为 x= 5， 可得双曲线 =1 的左焦点为（ 5， 0）， 即 c=5，即 a2+5， 又渐近线方程为 y= x， 由题意可得 = ， 解得 a=3， b=4， 可得双曲线的方程为 =1 故选： A 10某几何体的三视图如图所示，其正视图由一个半圆和一个矩形构成，则该几何体的表面积为（ ） A 12+2 B 14+2 C 14+ D 16+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个球的 ，下面是一个长方体利用表面积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个球的 ，下面是一个长方体 该几何体的表面积 =2 （ 2 2+1 2） +1 2+1 2+ =14+ 故选： C 第 9 页（共 19 页 ） 11直线 2 ） y 1=0 的倾斜角的取值范围是（ ） A ， B 0， ， C（ 0， ， ） D 0， ， ） 【考点】 直线的一般式方程 【分析】 设直线 2 ） y 1=0 的倾斜角为 ，可得 ，对 a 分类讨论，利用基本不等式的性质、三角函数求值即可得出 【解答】 解：设直线 2 ） y 1=0 的倾斜角为 ， 则 ， a=0 时， ，可得 =0； a 0 时， = 1，当且仅当 a=1 时取等号， ； a 0 时， 1，当且仅当 a= 1 时取等号， ； 综上可得： 故选： D 12若关于 x 的不等式 x+1） ax+a 的解集为 1， +），则 a 的取值范围为（ ） A ， +） B 2， +） C（ 0， +） D 1， +） 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 设 x+1=t，则 解集为 0， +），根据函数 y= y=图象关系解答即可 【解答】 解：由已知，设 x+1=t，则 解集为 0， +），根据函数 y= y=图象关系，当 x 0 时，切线斜率 y=最大值为 1，所以要使 x+1） ax+a 的解集为 1， +），只要 a 1； 故选： D 二 、填空题 13已知函数 f（ x） =x3+ f（ 2） =10，则 a= 1 【考点】 函数的值 【分析】 将 x=2 代入 f（ x）的表达式，得到 8+2a=10，解出 a 的值即可 【解答】 解：已知函数 f（ x） =x3+ 若 f（ 2） =10，即 f（ 2） =8+2a=10， 则 a=1， 故答案为： 1 14已知 ，则 +） 3+） 2 ） = 【考点】 运 用诱导公式化简求值 第 10 页（共 19 页 ） 【分析】 利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，代入 计算即可得解 【解答】 解： ， +） 3+） 2 ） = = = = 故答案为： 15已知 =（ 1， t）， =（ t， 6），则 |2 + |的最小值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 进行向量坐标的加法和数乘运算便可得出 ，从而进行数量积的坐标运算即可求出 ，这样配方即可求出 5（ 4t+8）的最小值，从而得出 的最小值 【解答】 解： =（ 2+t， 2t 6）； =5（ 4t+8） =5（ t 2） 2+20； t=2 时， 取最小值 20，即 取最小值 故答案为： 16如图， ， ， ， D=60， 锐角三角形， 【考点】 正弦定理 【分析】 在 ，由余弦定理可得： 2+22 2 4 2 在 ，设 ，则 20 由于 锐角三角形，可得 30 90 第 11 页（共 19 页 ） 由正弦定理可得： = = =4化简整理即可得出 【解答】 解：在 ，由余弦定理可得： 2+22 2 4 2 12 在 ，设 ，则 20 锐角三角形， 0 90， 0 120 90，可得 30 90 由正弦定理可得： = = =4 C=4 = =4 +30）， 30 90， 60 +30 120， +30） C 故答案为 ： 三、解答题 17等差数列 首项 ，公差 d 0，且 a3a4= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=n，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）由已知 a3a4=得 d=1，即可写出通项公式； （ 2） bn=n=n2n，数列 前 n 项和 Tn=b1+b2+用乘以公比错位相减法，求得 【解答】 解： a3a4= （ d）（ d） =（ 1d）， 解得： d=1， an=n， 数列 通项公式， an=n； bn=n=n2n， 数列 前 n 项和 2+2 22+3 23+n2n， 2 22+2 23+3 24+（ n 1） 2n+n2n+1， 两式相减得： +22+23+2n n2n+1， Tn=n2n+1 2n+1+2=（ n 1） 2n+1+2 n 1） 2n+1+2 18某高中为了解全校学生每周参加体育运动的 情况，随机从全校学生中抽取 100 名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下： 第 12 页（共 19 页 ） 每周参与运动的时间（单位：小时） 0， 4） 4， 8） 8， 12） 12， 16） 16， 20 频数 24 40 28 6 2 （ 1）作出样本的频率分布直方图； （ 2） 估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数； 若该校有学生 3000 人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于 8 小时的人数 【考点】 频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据频率分布表，作出频率分布直方图即可； （ 2） 利用频率分布直方图求出中位数与平均数； 根据频率分布直方图，求出每周参与体育运动的时间不低于 8 小时的频率与频数 【解答】 解：（ 1）根据频率分布表，作出频率分布直方图，如图所示： （ 2） 中位数在区间 4， 8）内，设中位数为 x， 则 x 4） 解得 x= 即估计该校学生每周参与体育运动时间的中位数为 时， 平均数为 2 0 4 8 根据频率分布直方图得，该校学生每周参与体育运动的时间不低于 8 小时的频率是： 估计该校学生每周参与体育运动的时间不低于 8 小时的人数是 3000 080 19如图，直角三角形 ， A=60，沿斜边 的高 起到 E 在线段 （ 1）求证： （ 2）过点 D 作 点 M，点 N 为 点，若 平面 第 13 页（共 19 页 ） 【考点】 直线与平面平行的性质 【分析】 （ 1）由 上的高，得出 此证明 平面 可证明 （ 2）连接 点 F，由 平面 出 明 等边三角形，再利用直角三角形的边角关系求出 的值即可 【解答】 解：（ 1） 上的高， 又 D=D， 平面 又 平面 ， （ 2）如图所示， 连接 点 F， 平面 又点 N 为 点， 点 F 为 中点； F； 第 14 页（共 19 页 ） 又 0 60=30， 等边三角形， 设 DE=a，则 a， a； = = 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，短轴长为 2 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过圆 C： x2+y2=0 r b）上的任 意一点作圆 C 的切线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，都有 O 为坐标原点），求 r 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和短轴的概念，结合 a， b， c 的关系，解得 a=2， b=1，可得椭圆方程； （ 2）讨论切线的斜率不存在和为 0，求得 A， B 的坐标，由垂直的条件可得 r；证得圆 x2+任一点（ m， n）的切线与椭圆的交点 A， B，都有 出切线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理，即可得到半径 r 的值 【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= = ， 2b=2，即 b=1， c2=，解得 c= ， a=2， 即有椭圆 E 的方程为 +； （ 2）当切线 l 的斜率不存在，即 l： x=r 时， 代入椭圆方程可得 A（ r， ）， B（ r， ）， 由 得 1 ） =0，解得 r= ； 当当切线 l 的斜率为 0，即 l： y=r 时， 代入椭圆方程可得 A（ 2 ， r）， B（ 2 ， r）， 由 得 4（ 1 =0，解得 r= ； 只要证得圆 x2+上任一点（ m， n）的切线与椭圆的交点 A， B， 都有 由两直线垂直的条件可得切线的方程为 mx+（ 0）， 联立椭圆方程，消去 y，可得（ x+ 4， 设 A（ B（ 可得 x1+， ， 第 15 页（共 19 页 ） 即有 （ = （ +m（ x1+ = + m = ， 则 + = = =0，即 故 r= 21已知函数 f（ x） = （ 1）若函数 g（ x） =f（ x） 定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）在（ 1）的条件下，且 a 1， h（ x） =3x 0， 求 h（ x）的极小值 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【 分析】 （ 1）先将 g（ x）在（ 0， +）上递增，转化成 f（ x） 0 对 x （ 0， +）恒成立，最后根据基本不等式求最值的方法可求出实数 a 的取值范围； （ 2）求出函数的导数， h（ x） =33a），令 h（ x） =0 得 a，故 ， 分当 0 x 时与当 x 时，再讨论导数的正负与单调性的规律，得出极值 【解答】 解：（ 1） g（ x） =f（ x） ax=义域：（ 0， +） g（ x） = 函数 g（ x） =f（ x） 定义域内为增函数， g（ x） = 0 在（ 0， +）恒成立， 即 a 在（ 0， +）恒成立， 令 t（ x） = ，只需 a t（ x） 最小值 即可， x 0， 当且仅当 =2x， 时上式取等号， t（ x） 最小值 = ， a （ 2）由（ 1）以及条件得： 1 a ， h（ x） =3 h（ x） =33a）， 令 h（ x） =0 得 a， ， 第 16 页（共 19 页 ） 1 a ， ， = ， ， 当 0 x 时， 2x a， a 0， h（ x） 0， h（ x）在 0，上递减； 当 x 时， 2x a， a 0， h（ x） 0， h（ x）在 ，递增； 当 时，函数 h（ x）取极小值， = 3a = = 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径 延长线与弦 延长线相交于点 P， E 为 O 上的一点， = ， 点 F （ 1）求证： O=B； （ 2）若 ， ， ，求弦 弦心距 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）先证明 利用割线定理，即可证得结论； （ 2）设圆的半径为 r，由 得半径为 5，由切割线定理可得 ， C=A解得 ，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦 弦心距 【解答】 解：（ 1）证明：连接 = ， P= P， = ， O=C， 由割线定理可得 D=B， O=B （ 2）设圆的半径为 r， ， ， ， 第 17 页（共 19 页 ） 由 得 = ， 即有 C=F， 即 4r= （ 2+r），解得 r=5 由切割线定理可得， C=A 即为 4（ 4+=2（ 2+2r）， 即有 CD=r 3=5 3=2， 则弦 弦心距为 = =2 选修 4标系与参数方程选讲 23已知曲线 C： （ 为参数），直线 l： （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）写出曲线 C 的极坐标方程，直线 l 的普通方程； （ 2）点 A 在曲线 C 上， B 点