2016年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设集合 A=x|0 x 2， B=x|x2+x 2 0，则 AB=（ ） A（ 0， 1 B 1， 2） C 2， 2） D（ 0， 2） 2已知复数 z= 是纯虚数，则实数 a=（ ） A 3 B 3 C D 3设 等差数列 前 n 项和，且满足等式 S7=a5+a6+a8+ 的值为（ ） A B C D 4学校开展运动会活动，甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，则这 两位同学参加同一个体育项目的概率为（ ） A B C D 5已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积等于（ ） A 11 B 5 C D 3 6已知圆 C： x2+，从点 A（ 2， 0）观察点 B（ 2， a），要使视线不被圆 C 挡住，则 ） A（ ， ） （ ， +） B（ ， 2） （ 2， +） C（ ， 2 ） （ 2 ， +） D（ ， 4 ） （ 4 ， +） 7如图，在菱形 ， ， 0， E 为 中点，则 的值是（ ） 第 2 页（共 23 页） A B 5 C D 6 8某程序框图如图所示，则输出的结果 S=（ ） A 26 B 57 C 120 D 247 9已知实数 x、 y 满足条件 ，若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，则 a 的值为（ ） A 17 B 2 C 2 D 17 10已知直线 x= 是函数 f（ x） =2x+）（ | ）图象的 一条对称轴，则 y=f（ x）取得最小值时 x 的集合为（ ） A x|x= +k Z B x|x= +k Z C x|x= +k Z D x|x= +k Z 11函数 f（ x）的部分图象如图所示，则 f（ x）的解析式可以是（ ） A f（ x） =x+ C f（ x） = 第 3 页（共 23 页） 12已知函数 f（ x） = ，若方程 f（ x） 1=0 恰有两个不同实根，则正实数 m 的取值范围为（ ） A（ ， 1） （ 1， e 1） B（ ， 1） （ 1， e 1 C（ ， 1） （ 1， e 1） D（ ， 1） （ 1， e 1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13函数 f（ x） = 在点（ 1， f（ 1）处的切线方程是 _ 14已知数列 前 n 项和为 项 ，且满足： 2Sn= 1，则 a3+a4+_ 15 三棱锥 D 接于表面积为 100 的球面， 平面 ， 0，则三棱锥 D 体积为 _ 16已知抛物线 C： y 的焦点为 F， C 的准线和对称轴交于点 M，点 P 是 C 上一点，且满足 |当 取最大值时，点 P 恰好在以 M、 F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 _ 三、解答题（共 70 分） 17在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且满足 c= ， 2a b） （ ）求角 C 的大小； （ ）求 周长的最大值 18已知四棱锥 P ， 直于直角梯形 在的平面， 是 中点，且 D=， （ 1）求证： 平面 （ 2）求三棱锥 M 体积 19菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，使用时需要用清水清洗干净，如表是用清水 x（单位：千克）清 洗该蔬菜 1 千克后，蔬菜上残留的农药 y（单位：微克）的统计表： x 1 2 3 4 5 y 58 54 39 29 10 （ ）在如图的坐标系中，描出散点图，并判断变量 x 与 y 的相关性； （ ）若用解析式 =d 作为蔬菜农药残量 与用水量 x 的回归方程，令 =算平均值 和 ，完成如下 表格，求出 与 x 回归方程（ c， d 精确到 第 4 页（共 23 页） 1 4 9 16 25 y 58 54 39 29 10 i （ ）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于 20 微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要多少千克的清水洗一千克蔬菜？（精确到 考数据 （附：线性回归方程 = x+ 中系数计算公式分别为： = ， = ） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦距为 2，左、右顶点分别为 A、 B， P 是椭圆上一点，记直线 斜率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 l： y=kx+m（ k 0）与椭圆 C 交于 M、 N 两点，以 M、 N 为直径的圆经过原点，且线段 垂直平分线在 y 轴上的截距为 ，求直线 l 的方程 21已知函数 f（ x） =g（ x） =（ 1） （ 1） x 2 （ ）讨论函数 f（ x）的单调性； （ ） a=2 时，有 f（ x） g（ x）恒成立，求整数 的最小值 选修 4何证明选讲 22如图，割线 于圆 O 于 A、 B 两点， 于圆 O 于 C， D 在 ，且满足A （ ）求证： （ ）若 ， ， 2，求 长 第 5 页（共 23 页） 选修 4标系与参数方程选讲 23已知曲线 C 的极坐标方程是 =4极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，若倾斜角为 的直线 l 经过点 P（ 4， 2） （ ）写出直线 l 的参数方程，并将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标系方程； （ ）若直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、 B，求 |值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x+1|+|x a| （ ）当 a=2 时，解不等式： f（ x） 5； （ ）若存在 R，使得 f（ 2，试求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2016 年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设集合 A=x|0 x 2， B=x|x2+x 2 0，则 AB=（ ） A（ 0， 1 B 1， 2） C 2， 2） D（ 0， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式变形得：（ x 1）（ x+2） 0， 解得： x 2 或 x 1，即 B=（ ， 2 1， +）， A=（ 0， 2）， AB=1， 2）， 故选： B 2已知复数 z= 是纯虚数，则实数 a=（ ） A 3 B 3 C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值 【解答】 解： z= = 是纯虚数， ，解得： a=3 故选： A 3设 等差数列 前 n 项和，且满足等式 S7=a5+a6+a8+ 的值为（ ） A B C D 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 根据题意，等差数列 ，有 S7=a5+a6+a8+=4而由等差数列前 n 项和公式可得 =7易求 的值 【解答】 解： =7a5+a6+a8+ 7 = 第 7 页（共 23 页） 故选： A 4学校开展运动会活动，甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，则这两位同学参加同一个体育项目的概率为（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 先求出基本事件总数，再求出这两位同学参加同一个体育项目包含的基本事件个数，由此能求出这两位同学参加同一个体育项目的概率 【解答】 解：甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同， 基本事件总数 n=3 3=9， 这两位同学参加同一个体育项目包含的基本事件个数 m=3， 这两位同学参加同一个体育项目的概率 p= = 故选： B 5已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积等于（ ） A 11 B 5 C D 3 【考点】 由三视 图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何题是一个圆锥挖去一个圆柱以后剩下的几何体利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何题是一个圆锥挖去一个圆柱以后剩下的几何体 该几何体的体积 = 3 12 1=3， 故选： D 6已知圆 C： x2+，从点 A（ 2， 0）观察点 B（ 2， a），要使视线不被圆 C 挡住，则 ） A（ ， ） （ ， +） B（ ， 2） （ 2， +） C（ ， 2 ） （ 2 ， +） D（ ， 4 ） （ 4 ， +） 第 8 页（共 23 页） 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出设过点 A（ 2， 0）与圆 C： x2+ 相切的直线，由此能求出 a 的取值范围 【解答】 解 ：设过点 A（ 2， 0）与圆 C： x2+ 相切的直线为 y=k（ x+2）， 则 = ，解得 k= ， 切线方程为 （ x+2）， 由 A 点向圆 C 引 2 条切线，只要点 B 在切线之外， 那么就不会被遮挡， B 在 x=2 的直线上， 在 （ x+2）中，取 x=2，得 y= ， 从 A 点观察 B 点，要使视线不被圆 C 挡住， 需 a 4 ，或 a 4 a 的取值范围是（ ， 4 ） （ 4 ， +） 故选： D 7如图，在菱形 ， ， 0， E 为 中点，则 的值是（ ） A B 5 C D 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 将 表示为 ，代入 ，展开后利用向量数量积运算得答案 【解答】 解： E 为 中点， = ， 又 菱形，且 ， 0， 第 9 页（共 23 页） = = = = 故选： B 8某程序框图如图所示，则输出的结果 S=（ ） A 26 B 57 C 120 D 247 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量 S 的值， 并输出 K 4 时，变量 S 的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 k S 循环前 /1 1 第一圈 是 2 4 第二圈 是 3 11 第三圈 是 4 26 第四圈 是 5 57 第五圈 否 故选 B 第 10 页（共 23 页） 9 已知实数 x、 y 满足条件 ，若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，则 a 的值为（ ） A 17 B 2 C 2 D 17 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，建立条件关系即可求出 a 的值即可 【解答】 解：目标函数 z=3x+y 的最小值为 5， y= 3x+z，要使目标函数 z=3x+y 的最小值为 5， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则目标函数经过点 B 截距最小， 由 ，解得 ， 即 B（ 2， 1），同时 B 也在直线 ax+y+5=0， 即 2a 1+5=0， 解得 a= 2， 故选： B 第 11 页（共 23 页） 10已知直线 x= 是函数 f（ x） =2x+）（ | ）图象的一条对称轴，则 y=f（ x）取得最小值时 x 的集合为（ ） A x|x= +k Z B x|x= +k Z C x|x= +k Z D x|x= +k Z 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据直线 x= 是函数 f（ x） =2x+）（ | ）图象的一条对称轴，求得 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的最值以及最值条件，求得 y=f（ x）取得最小值时 x 的集合 【解答】 解： 直线 x= 是函数 f（ x） =2x+）（ | ）图象的一条对称轴， 2 +=，求得 = ，故 f（ x） =2x+ ）， 故当 2x+ =2， k Z，即 x=时，函数 f（ x）取得最小值为 1， 故当 y=f（ x）取得最小值时 x 的集合为 x|x=， k Z， 故选： C 11函数 f（ x）的部分图象如图所示，则 f（ x）的解析式可以是（ ） A f（ x） =x+ C f（ x） = 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（ ， 0）， 排除选项，得到结果 【解答】 解：依题意函数是奇函数，排除 D，函数图象过原点，排除 B，图象过（ ， 0）显然 A 不正确， C 正确； 故选 C 第 12 页（共 23 页） 12已知函数 f（ x） = ，若方程 f（ x） 1=0 恰有两个不同实根，则正实数 m 的取值范围为（ ） A（ ， 1） （ 1， e 1） B（ ， 1） （ 1， e 1 C（ ， 1） （ 1， e 1） D（ ， 1） （ 1， e 1 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 方程 f（ x） 1=0 恰有两个不同实根可转化为函数 f（ x） =与直线 y= 的图象有且只有两个不同的交点，从而结合图象求解 【解答】 解： 方程 f（ x） 1=0 恰有两个不同实根， 函数 f（ x） = 与直线 y= 的图象有且只有两个不同的交点， 作函数 f（ x） = 与直线 y= 的图象如下， ， 易知直线 y= 恒过点 C（ 0， 1），且点 A（ 1， e）， B（ 3， e）； 故 =e 1， = ； f（ x） =f（ 0） =； 故 =1； 故结合函数的图象可知， m 1 或 1 m e 1， 故选 D 第 13 页（共 23 页） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13函数 f（ x） = 在点（ 1， f（ 1）处的切线方程是 y= 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程 【解答】 解：函数 f（ x） = 的导数为 f（ x） = = ， 可得在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 k=0， 切点为（ 1， ）， 即有切线的方程为 y =0， 即为 y= 故答案为： y= 14已知数列 前 n 项和为 项 ，且满足： 2Sn= 1，则 a3+a4+17 【考点】 数列递推式 【分析】 化简可得 =2，从而依次求数列的前 5 项即可 【解答】 解： 2Sn= 1， =2， ， 1+1=3， （ 1+3） +1=9， （ 1+3+9） +1=27， （ 1+3+9+27） +1=81， 故 a3+a4+27+81=117， 故答案为： 117 15三棱锥 D 接于表面积为 100 的球面， 平面 ， 0，则三棱锥 D 体积为 16 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由已知得棱锥 D 四个顶点在以 、 、 长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为 5，由此能求出三棱锥 D 体积 【解答】 解： 三棱锥 D 接于表面积为 100 的球面， 平面 ， 0， 三棱锥 D 四个顶点在以 、 、 长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为 5 2 5） 2， 即 48+16+00，解得 ， 三棱锥 D 体积： =16 第 14 页（共 23 页） 故答案为： 16 16已知抛物线 C： y 的焦点为 F， C 的准线和对称轴交于点 M，点 P 是 C 上一点，且满足 |当 取最大值时，点 P 恰好在以 M、 F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 +1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 过 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义，结合 |可得= ，设 倾斜角为 ，则当 取得最大值时， 小，此时直线 抛物线相切，求出 P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率 【解答】 解：过 P 作准线的垂线，垂足为 N， 则由抛物线的定义可得 | | |则 = ， 设 倾斜角为 ，则 ， 当 取得最大值时， 时直线 抛物线相切， 设直线 方程为 y=1，代入 y，可得 （ 1）， 即 4=0， =1616=0， k= 1， P（ 2， 1）， 双曲线的实轴长为 | |2（ 1）， 双曲线的离心率为 = +1 故答案为： +1 三、解答题（共 70 分） 17在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且满足 c= ， 2a b） （ ）求角 C 的大小； （ ）求 周长的最大值 【考点】 正弦定理；余弦定理 第 15 页（共 23 页） 【分析】 （ ）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角 C 的大小； （ ）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出 a+b 的范围即可求 周长的最大值 【解答】 解：（ ） 2a b） 即 即 B+C） =2 则 得 ，即 C= ； （ ） c2=a2+2， a2+， 即（ a+b） 2=3， a+b 2 ， （ ） 2， （ a+b） 2=3 （ a+b） 2+3， 得（ a+b） 2 12，则 a+b 2 ，当且仅当 a=b= 时取等号， 周长的最大值是 3 18已知四棱锥 P ， 直于直角梯形 在的平面， 是 中点，且 D=， （ 1）求证： 平面 （ 2）求三棱锥 M 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 N，连结 又 C，故四边形平行四边形，于是 以 平面 （ 2）分别求出棱锥 P 锥 P 锥 M 体积，则 P 【解答】 解：（ 1）取 中点 N，连结 M， N 是 中点， 又 C， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 第 16 页（共 23 页） （ 2） 平面 = = ， = =4 M 是 中点， M 到平面 距离 h= =1 = = P = 19菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，使用时需要用清水清洗干净 ，如表是用清水 x（单位：千克）清洗该蔬菜 1 千克后，蔬菜上残留的农药 y（单位：微克）的统计表： x 1 2 3 4 5 y 58 54 39 29 10 （ ）在如图的坐标系中，描出散点图，并判断变量 x 与 y 的相关性； （ ）若用解析式 =d 作为蔬菜农药残量 与用水量 x 的回归方程，令 =算平均值 和 ，完成如下表格，求出 与 x 回归方程（ c， d 精确到 1 4 9 16 25 y 58 54 39 29 10 i （ ）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于 20 微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要多少千克的清水洗一千克蔬菜？（精确到 考数据 （附：线性回归方程 = x+ 中系数计算公式分别为： = ， = ） 第 17 页（共 23 页） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ I）以 x 为横坐标，以 y 为纵坐标描点，根据散点图的特点判断正相关还是负相关； （ 计算表格中的数据，使用回归系数公式求出 y 关于 的回归方程，再用 换回归方程中的 ； （ y 20 解不等式即可 【解答】 解：（ I）作出散点图如图： 由散点图可知变量 x 与 y 负相关 （ = =11， = =38 填写表格如下： 1 4 9 16 25 y 58 54 39 29 10 10 7 2 5 14 20 16 1 9 28 =（ 10） 20+（ 7） 16+（ 2） 1+5 （ 9） +14（ 28） = 751， 第 18 页（共 23 页） =100+49+4+25+196=374 c= d=38（ 11= = （ 20，得 20，解得 x 为了放心食用该蔬菜，估计需要 克的清水洗一千克蔬菜 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的焦距为 2，左、右顶点分别为 A、 B， P 是椭 圆上一点，记直线 斜率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 l： y=kx+m（ k 0）与椭圆 C 交于 M、 N 两点，以 M、 N 为直径的圆经过原点，且线段 垂直平分线在 y 轴上的截距为 ，求直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得 c=1，设 P（ m， n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，计算可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）将 直线 l： y=kx+m（ k 0）代入椭圆 2=0，设 M（ N（ 运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为 1，化简整理，解方程可得 k， m，进而得到所求直线的方程 【解答】 解：（ 1）由题意可得 c=1，即 ， 设 P（ m， n），可得 + =1， 即 = ， 由题意可得 A（ a， 0）， B（ a， 0）， 即有 = = ， 解得 a= ， b=1， 可得椭圆的方程为 +； （ 2）将直线 l： y=kx+m（ k 0）代入椭圆 2=0， 可得（ 1+22=0， 判别式为 168（ 1+2 1） 0， 即有 1+2 第 19 页（共 23 页） 设 M（ N（ 可得 x1+ ， ， m）（ m） =x1+ 由题意 得 ， 即为（ 1+x1+， 即（ 1+ + ） +， 化简可得 3+2 又 中点为（ ， ）， 由 垂直平分线经过点（ 0， ），可得 垂直平分线的方程为 y= x ， 代入中点坐标可得 = （ ） ， 化简可得 5m=1+2 由 解得 m= （负的舍去）， k= ， 检验判别式大于 0 成立， 直线 l 的方程为 y= x+ 21已知函数 f（ x） =g（ x） =（ 1） （ 1） x 2 （ ）讨论函数 f（ x）的单调性； （ ） a=2 时，有 f（ x） g（ x）恒成立，求整数 的最小值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出原函数的导函数，可得 a 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）上单调递增；当 a 0 时，求出导函数的零点，由函数零点对定义域分段，结合导函数的符号可得原函数的单调区间； （ ）当 a=2 时，由 f（ x） g（ x），得 2（ 1） （ 1） x 2，分离参数，得 在 x （ 0， +）上恒成立构造函数 g（ x） = ，两次求导可得 g（ x） （ 1， 2）由此求得整数 的最小值为 2 【解答】 解：（ ）函数的定义域为（ 0， +）， f（ x） = 当 a 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）上单调递增； a 0 时，令 f（ x） =0，得 x= （舍去负值）， 第 20 页（共 23 页） 当 x （ 0， ）时， f（ x） 0； x （ ， +）时， f（ x） 0 故 f（ x）在（ 0， ）上单调递增；在（ ， +）上单调递减； （ ）当 a=2 时，由 f（ x） g（ x），得 2（ 1） （ 1） x 2， 即（ x） 2x+2 x 0， 在 x （ 0， +）上恒成立 令 g（ x） = ，则 令 h（ x） = 2x， ， h（ x）在（ 0， +）上递减， 且 x0 时， h（ x） +， x+时， h（ x） h（ x）在（ 0， +）必存在唯一零点， 不妨设 h（ =0，即 2 当 x （ 0， ， h（ x） 0， g（ x） 0， g（ x）单调递增； 当 x （ +）时， h（ x） 0， g（ x） 0， g（ x）单调递减 因此， = ， ， ， 1 即 g（ x） （ 1， 2） 依题意有 2，即整数 的最小值为 2 选修 4何证明选讲 22如图，割线 于圆 O 于 A、 B 两点， 于圆 O 于 C， D 在 ，且满足A （ ）求证： （ ）若 ， ， 2，求 长 第 21 页（