2016年天津市五区县高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年天津市五区县高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 i 是虚数单位，复数 =（ ） A B C D 2交通管理部门 为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12， 21， 25， 43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为（ ） A 101 B 808 C 1212 D 2012 3已知命题 p： x R， 1，则（ ） A p： R， 1 B p： x R， 1 C p： R， 1 D p： x R， 1 4已知 a=b=c= a， b， c 的大小关系为（ ） A c b a B c a b C a b c D b a c 5已知双曲线 C 的左右焦点为 P 双曲线右支上任意一点，若以 圆心，以 |半径的圆与以 P 为圆心， |半径的圆相切，则 C 的离心率为（ ） A B 2 C 4 D 6如图，圆 O 的直径 度为 10， 点 C 处的切线， ，则 ） A B C D 7已知函数 f（ x） = 的图象关于点（ a， b）成中心对称图形，若 a（ ， 0）则 a+b=（ ） A B C D 0 8已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =+3（ a 0），若对 0，1，总 0， ，使得 f（ =g（ 立，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 19 页） A（ ， 6 B 6， +） C（ ， 4 D 4， +） 二、填空题：本大题共 /6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答题卷的横线上 . 9从区间 0， 1上随机取一个实数 a，则关于 x 的一元二次方程 x+a=0 无实根的概率为 _ 10一个几何体 的三视图（单位： m）如图所示，则此几何体的表面积为 _1阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的 N 的值是 10，则输出的 S 的值是_ 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（ x）在 0， +）上单调递减，若 f（ m） f（ 1 m），则实数 m 的取值范围是 _ 13 O 是 外接圆的圆心，若 ， =2，则 _ 14已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） 恰有两个零点，则实数 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数： 食物类型 甲 乙 丙 维生素 C（单位 / 300 500 300 维生素 D（单位 / 700 100 300 成本（元 / 5 4 3 某学校食堂欲将这三种食物混合加工成 100合食物，且要求混合食物中至少需要含35000 单位的维生素 C 及 40000 单位的维生素 D 第 3 页（共 19 页） （ 1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为 100 x x 0， y 0），试列出x， y 满足的数学关系式，并画出相应的平面区域； （ 2）用 x， y 表示这 100合食物的成本 z，求出 z 的最小值 16已知 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且（ a c） （ 1）求 B 的值； （ 2）求 最大值及此时 A， C 的值 17如图，在四棱锥 P ， 面 直角梯形， 0， C， B=， ， 20 （ 1）求证： （ 2）求直线 平面 成角的正弦值； （ 3）求二面角 D A 的平面角的正切值 18已知椭圆 C： + =1（ a b 0）上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A， B 是椭圆 C 的长轴端点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程和圆 O 的方程； （ 2）设 P、 Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上位于 y 轴两侧的动点，若直线 x 平行，直线 P 与 y 轴的交点即为 M、 N，试证明 直角 19已知函数 f（ x） =a R） （ 1）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）的切线方程； （ 2）若 x （ 0， 1， |f（ x） | 1 恒成立，求 a 的取值范围 20数列 足： a1=a 0， b1=b 0， 当 k 2 时，若 1+1 0，则 ak=1， ；若 1+1 0，则 ， bk=1 （ ）若 a= 1， b=1，求 值； （ ）设 +（ +（ 求 a， b 表示）； 第 4 页（共 19 页） （ ）若存在 n N*，对任意正整数 k，当 2 k n 时，恒有 1 n 的最大值（用a， b 表示） 第 5 页（共 19 页） 2016 年天津市五区县高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 i 是虚数单位，复数 =（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把分子利用虚数单位 i 的运算性质化简，然后分子分母同时乘以分母的共轭复数化简得答案 【解答】 解： ， 故选： D 2交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员96 人若在甲、乙、 丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12， 21， 25， 43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为（ ） A 101 B 808 C 1212 D 2012 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据甲社区有驾驶员 96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为 12 求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数 【解答】 解： 甲社区有驾驶员 96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为 12 每个个体被抽到的概率为 = 样本容量为 12+21+25+43=101 这四个社区驾驶员的总人数 N 为 =808 故选 B 3已知命题 p： x R， 1，则（ ） A p： R， 1 B p： x R， 1 C p： R， 1 D p： x R， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定为： R， 1， 故选： C 第 6 页（共 19 页） 4已知 a=b=c= a， b， c 的大小关系为（ ） A c b a B c a b C a b c D b a c 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 由已知条件利用对数函数和指数函数的单调性能比较 a， b， c 的大小关系 【解答】 解： 1= a=， b= a， 0 c=， b a c 故选： D 5已知双曲线 C 的左右焦点为 P 双曲线右支上任意一点，若以 圆心，以 |半径的圆与以 P 为圆心， |半径的圆相切，则 C 的离心率为（ ） A B 2 C 4 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据两圆相切的等价条件，结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即 可 【解答】 解：设两圆相切时的切点为 A， |c， PA=c， | | |2a， |c， c=2a， 即离心率 e= =2， 故选： B 第 7 页（共 19 页） 6如图，圆 O 的直径 度为 10， 点 C 处的切线， ，则 ） A B C D 【考点】 弦切角 【分析】 利用弦切角定理可得 别求出其余弦值，即可解得 值 【解答】 解： 圆 O 的直径， = ， 又 = = ， 由已知可得： 得： = ，进而解得： 故选： D 7已知函数 f（ x） = 的图象关于点（ a， b）成中心对称图形，若 a（ ， 0）则 a+b=（ ） A B C D 0 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 利用两角和的正弦化简，由相位落在 x 轴上求得 x 值，可得 a， b 的值，则答案可求 【解答】 解： f（ x） = = 由 ，得 x= a （ ， 0），取 k=0，得 x= 又 f（ x）的图象关于点（ a， b）成中心对称图形， ， 则 a+b=0 故选： D 第 8 页（共 19 页） 8已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =+3（ a 0），若 对 0，1，总 0， ，使得 f（ =g（ 立，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 6 B 6， +） C（ ， 4 D 4， +） 【考点】 全称命题 【分析】 函数 f（ x） = ，当 时， f（ x） f（ x） = ，利用导数研究函数的单调性可得： f（ x） 可得 0，1， f（ 0， 1由于函数 g（ x） =+3（ a 0）在 0， 上单调递增，由于对 0， 1，总 0， ，使得 f（ =g（ 立，可得 0， 1 g（ x） |x ，即可得出 【解答】 解：函数 f（ x） = ，当 时， f（ x） 时， f（ x） = ， f（ x） = = 0， 函数 f（ x）在 上单调递增， f（ x） 0， 1， f（ 0， 1 由于函数 g（ x） =+3（ a 0）在 0， 上单调递增， 若对 0， 1，总 0， ，使得 f（ =g（ 立， 0， 1 g（ x） |x ， ，解得 a 6 故选： B 二、填空题：本大题共 /6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答题卷的横线上 . 第 9 页（共 19 页） 9从区间 0， 1上随机取一个实数 a，则关于 x 的一元二次方程 x+a=0 无实根的概率为 【考 点】 几何概型 【分析】 根据关于 x 的一元二次方程 x+a=0 无实根，得到 =1 4a 0，解得： a ，从而求出符合条件的事件的概率 【解答】 解：若关于 x 的一元二次方程 x+a=0 无实根， 则 =1 4a 0，解得： a ， 设事件 “从区间 0， 1上随机取一个实数 a，则关于 x 的一元二次方程 x+a=0 无实根 ”为事件 A， 则 P（ A） = = ， 故答案为： 10一个几何体的三视图（单位： m）如图所示，则此几何体的表面积为 12+12考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和三角形的面积公式求出此几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是半个圆锥， 且底面圆的半径 r=3m、圆锥的高是 4m，则母线 l= =5（ m）， 此几何体的表面积 S= = =12+12（ 故答案为： 12+12 11阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的 N 的值是 10，则输出的 S 的值是 第 10 页（共 19 页） 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得 N=10， S=0， k=1 执行循环体， S= ， 满足条件 k 10，执行循环体， k=2， S= + ， 满足条件 k 10，执行循环体， k=3， S= + + ， 满足条件 k 10，执行循环体， k=11， S= + + + ， 不满足条件 k 10，退出循环，输出 S= + + =（ 1） +（ ） +（ ） +（ ） = 故答案为： 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（ x）在 0， +）上单调递减，若 f（ m） f（ 1 m），则实数 m 的取值范围是（ ， ） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由条件利用函数的奇偶性和单调性可得 |m| |1 m|，由此求得 m 的范围 【解答 】 解： 函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数， f（ x）的图象关于 y 轴对称 f（ x）在 0， +）上单调递减， f（ x）在（ ， 0上单调递增， 若 f（ m） f（ 1 m），则 |m| |1 m|， m ， 故答案为： 第 11 页（共 19 页） 13 O 是 外接圆的圆心，若 ， =2，则 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 把 = 代入 =2，再转化为 与 的等式求解 【解答】 解：如图， = ， ， ，则 ， 故答案为： 14已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） 恰有两个零点，则实数 a 0 或 1 a 2 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 作出函数 f（ x） = 的图象，函数 y=f（ x） 恰有两个零点，即函数 y=f（ x）与 y=1 恰有两个交点，利用图象，即可得出结论 【解答】 解：函数 f（ x） = ，图象如图所示， 函数 y=f（ x） 恰有 两个零点，即函数 y=f（ x）与 y=1 恰有两个交点， 由图可得 a 0 时，函数 y=f（ x） 恰有两个零点， （ 1， 1）代入 y=1 得 a=2， 1 a 2函数 y=f（ x）与 y=1 恰有两个交点， 综上所述， a 0 或 1 a 2 故答案为： a 0 或 1 a 2 第 12 页（共 19 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数： 食物类型 甲 乙 丙 维生素 C（单 位 / 300 500 300 维生素 D（单位 / 700 100 300 成本（元 / 5 4 3 某学校食堂欲将这三种食物混合加工成 100合食物，且要求混合食物中至少需要含35000 单位的维生素 C 及 40000 单位的维生素 D （ 1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为 100 x x 0， y 0），试列出x， y 满足的数学关系式，并画出相应的平面区域； （ 2）用 x， y 表示这 100合食物的成本 z，求出 z 的最小值 【考点】 简单线性规划 【分析】 （ 1）根据条件 建立不等式关系，即可作出对应的平面区域 （ 2）根据线性规划的应用进行平移求解即可 【解答】 解：（ I）因为 x 0， y 0， 则 ， 化简为 ， 结合 100 x y 0， 可列出 x， y 满足的数学关系式为 ， 在 面中，画出相应的平面区域如图所示； （ 100合食物的成本 z=5x+4y+3=2x+y+300，平面区域是一个三角 形区域， 顶点为 A（ 25）， B（ 50， 50）， C（ 75， 25）， 目标函数 z=2x+y+300 在经过点 A（ 25）时， z 取得最小值 400 元 第 13 页（共 19 页） 16已知 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且（ a c） （ 1）求 B 的值； （ 2）求 最大值及此时 A， C 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）根据正弦定理化简已知的式子，再由余弦定理求出 内角的范围求出 B； （ 2）由（ I）和内角和定理求出 C，代入 利用两角和与差的正弦公式化简，利用正弦函数的性质求出式子 最大值，以及此时 A， C 的值 【解答】 解：（ 1）由已知得，（ a c） ， 根据正弦定理得（ a c） a+， 化简得 b2=a2+ 由余弦定理得 b2=a2+2 所以 ， 由 0 B 得 B= （ （ I）得： C= A B= ， ） = = 当 时， 所以当 A= 时，且 C= ， 得最大值 17如图，在四棱锥 P ， 面 直角梯形， 0， C， B=， ， 20 （ 1）求证： （ 2）求直线 平面 成角的正弦值； （ 3）求二面角 D A 的平面角的正切值 第 14 页（共 19 页） 【考点】 二面角的平 面角及求法；直线与平面所成的角 【分析】 （ ）由 到 平面 此能证明 （ ）过点 B 作 长线于点 M，连结 是直线 平面成角，由此能求出直线 平面 成角的正弦值 （ ）过点 E 作 足为 F，连接 二面角 D A 的平面角，由此能求出二面角 D A 的平面角的正切值 【解答】 （本小题满分 13 分） 证明：（ ）因为 0， 即 为 于 点 C， 所以 平面 而 底面 以 解：（ ）由（ ）可知，平面 平面 过点 B 作 长线于点 M，连结 则 是直线 平面 成角； 取 中点 E，连接 在 ， E=1， 20， 所以 = ， ， 所 以 因为 以 平面 =2， 在直角三角形 ， ， 即直线 平面 成角的正弦值为 （ ）过点 E 作 足为 F，连接 则 二面角 D A 的平面角， 在 ， ， 则 = ， ， ， ， 即二面角 D A 的平面角的正切值为 第 15 页（共 19 页） 18已知椭圆 C： + =1（ a b 0）上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A， B 是椭圆 C 的长轴端点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程和圆 O 的方程； （ 2）设 P、 Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上位于 y 轴两侧的动点，若直线 x 平行，直线 P 与 y 轴的交点即为 M、 N，试证明 直角 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的定义 和 a， b， c 的关系，解方程可得椭圆的方程和圆的方程； （ 2）设 P（ 直线 y=k（ x+2）（ k 0），求得 M，代入椭圆方程，求得 P 的坐标，求出直线 方程，可得 N 的坐标，设 Q（ 求得向量 坐标，运用向量数量积计算即可得证 【解答】 解：（ 1）由椭圆定义可得 2a=4，又 b=c 且 b2+c2= 解得 a=2， b=c= ，即椭圆 C 的标准方程为 ， 则圆 O 的方程为 x2+； （ 2）证明：设 P（ 直线 y=k（ x+2）（ k 0）， 令 x=0 可得 M（ 0， 2k） 将 和 y=k（ x+2）（ k 0）联立可得 （ 2） 4=0， 第 16 页（共 19 页） 则 ， ， ， 故 ， 直线 斜 率为 ， 直线 ， 令 x=0 可得 设 Q（ 则 ， 由 ， ， 可得 ， 所以 ，即 定值 90 19已知函数 f（ x） =a R） （ 1）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）的切线方程； （ 2）若 x （ 0， 1， |f（ x） | 1 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），求出切线方程即可； （ 2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性确定出 a 的具体范围即可 【解答】 解：（ 1） a=1 时， f（ x） =f（ x） =2x ， 因为 f（ 1） =1， f（