合肥市蜀山区2016届九年级上第三次月考数学试卷含答案解析

安徽省合肥市蜀山区 2016 届九年级上学期 第三次月考数学试卷 一、选择题（本题共 10小题，每题 4分，共 40分 中有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号，写在题后的括号内 .） 1在比例尺是 1： 8000 的南京市城区地图上，太平南路的长度约为 25的实际长度约为（ ） A 320 320m C 2000 2000m 2下列图形一定相似的是（ ） A两个矩形 B两个等腰梯形 C对应边成比例的两个四边形 D有一个内角相等的菱形 3如图，在 ，点 D、 E 分别是 中点，则下列结论不正确的是（ ） A = D S S 下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与 似的三角形所在的网格图形是（ ） A B C D 5若二次函数 y=bx+c（ a0）的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为（ 0），（ 0），且 象上有一点 M（ x 轴下方，则下列判断正确的是（ ） A a 0 B 4 C a（ 0 6如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，将 大到原来的 2 倍，得到 ABO若点 A 的坐标是（ 1， 2），则点 A的坐标是（ ） A（ 2， 4） B（ 1， 2） C（ 2， 4） D（ 2， 1） 7已知如图， C 是线段 中点，且 ， ，那么 值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，有下列结论： a 0， b 0， c 0， 4a 2b+c 0， b+2a=0 其中正确的个数有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 9如图，在 ， C， A=36， 分 点 D，若 ，则 长是（ ） A B C 1 D +1 10如图，在 ， ， ， 平分线交 点 E，交 延长线于点 F，足为 G， ，则 周长为（ ） A 8 B 10 D 、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 11若 ，则 = 12如图，要使 似，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可） 13如图， P 是 斜边 异于 B、 C 的一点，过点 P 作直线截 截得的三角形与 似，满足这样条件的直线共有 条 14如图所示，直线 l 和双曲线 交于 A、 B 两点， P 是线段 的点（不与 A、 过点 A、 B、 P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、 D、 E，连接 1、 面积为 面积为 大小关系是 三、（本大题共 2小题，每小题 8分，满分 16分） 15如图 矩形 ， ， ，若将矩形折叠，使 B 点与 D 点重合，求折痕 长 16周长为 8 米的铝合金条制成如图形状的窗框，使窗户的透光面积最大，则最大透光面积是多少 四、（本大题共 2小题，每小题 8分，满分 16分） 17在 ， B=25， 上的高，并且 D 度数为多少？ 18如图，在 68 的网格图中，每个小正方形边长均 为 1，点 O 和 顶点均为小正方形的顶点 （ 1）以 O 为位似中心，在网格图中作 ABC，使 ABC和 似，且位似比为 1： 2 （ 2）连接（ 1）中的 求四边形 C 的周长（结果保留根号） 五、（本大题共 2小题，每小题 10分，满分 20分） 19在 ， ， ， ，延长 点 P，使 C，求 长 20已知： 在直角梯形 ， C=90， D=25， 2连接 （ 1）求证： （ 2）求线段 长 六、（本题满分 12 分） 21如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 12 米现以 O 点为原点， 在直线为 x 轴建立直角坐标系 （ 1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （ 2）求这条抛物线的解析式； （ 3）若要搭建一个矩形 “支撑架 ” C、 D 点在抛物线上， A、 B 点在地面 ，则这个 “支撑架 ”总长的最大值是多少？ 七、（本题满分 12 分） 22已知：如图， 等边三角形，点 D、 E 分别在边 ， 0 （ 1）求证： （ 2）如果 ， ，求 长 八、（本题满分 14 分） 23如图，梯形 ， 0， ， ， ， 上有一动点 P（不与 A、 B 重合），连结 得 线段 点 E，设 AP=x （ 1）当 x 为何值时， 等腰三角形？ （ 2）若设 BE=y，求 y 关于 x 的函数关系式； （ 3）若 长 a 可以变化，在现在的条件下，是否存在点 P，使得 过点 C？若不存在，请说明理由；若存在，写出当 长在什么范围内时，可以存在这样的点 P，使得 过点 C，并求出相应的 长 安徽省合肥市蜀山区 2016 届九年级上学期 第三次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10小题，每题 4分，共 40分 中有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号，写在题后的括号内 .） 1在比例尺是 1： 8000 的南京市城区地图上，太平南路的长度约为 25的实际长度约为（ ） A 320 320m C 2000 2000m 【考点】 比例线段；比例的性质 【专题】 应用题 【分析】 根据比例尺 =图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即 可求得结果 【解答】 解：设它的实际长度为 x，则： = x=200000000m 故选 D 【点评】 能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题 2下列图形一定相似的是（ ） A两个矩形 B两个等腰梯形 C对应边成比例的两个四边形 D有一个内角相等的菱形 【考点】 相似图形 【分析】 根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解 【解答】 解： A、两个矩形的对应角相等，但对应 边的比不一定相等，故错误； B、两个等腰梯形不一定相似，故错误； C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误； D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确， 故选 D 【点评】 本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键 3如图，在 ，点 D、 E 分别是 中点，则下列结论不正确的是（ ） A = D S S 考点】 三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质 【专题】 压轴题 【分析】 根据三角形的中位线定理得出 中位线，再由中位线的性质得出 而可得出结论 【解答】 解： 在 ，点 D、 E 分别是边 中点， 故 A 正确； B 正确； = ，故 C 正确； 中位线， ： 2， S S D 错误 故选 D 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，熟记以上知识是解答此题的关键 4下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与 似的三角形所在的网格图形是（ ） A B C D 【考点】 相似三角形的判定 【专题】 网格型 【分析】 根据勾股定理求出 三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案 【解答】 解：根据勾股定理， =2 ， = ， = ， 所以 三边之比为 ： 2 ： =1： 2： ， A、三角形的三边分别为 2， = ， =3 ，三边之比为 2： ： 3 = ： ：3，故 A 选项错误； B、三角形的三边分别为 2， 4， =2 ，三边之比为 2： 4： 2 =1： 2： ，故 B 选项正确； C、三角形的三边分别为 2， 3， = ，三边之比为 2： 3： ，故 C 选项错误； D、三角形的三边分别为 = ， = ， 4，三边之比为 ： ： 4，故 D 选项错误 故选： B 【点评】 本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键 5若二次函数 y=bx+c（ a0）的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为（ 0），（ 0），且 象上有一点 M（ x 轴下方，则下列判断正确的是（ ） A a 0 B 4 C a（ 0 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【专题】 压轴题 【分析】 根据抛物线与 x 轴 有两个不同的交点，根的判别式 0，再分 a 0 和 a 0 两种情况对 C、D 选项讨论即可得解 【解答】 解： A、二次函数 y=bx+c（ a0）的图象与 x 轴有两个交点无法确定 a 的正负情况，故本选项错误； B、 =40，故本选项错误； C、若 a 0，则 若 a 0，则 本选项错误； D、若 a 0，则 0， 0， 所以，（ 0， a（ 0， 若 a 0， 则（ （ 号， a（ 0， 综上所述， a（ 0 正确，故本选项正确 故选： D 【点评】 本题考查了二次函数与 x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键， C、 D 选项要注意分情况讨论 6如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，将 大到原来的 2 倍，得到 ABO若点 A 的坐标是（ 1， 2），则点 A的坐标是（ ） A（ 2， 4） B（ 1， 2） C（ 2， 4） D（ 2， 1） 【考点】 位似变换；坐标与图形性质 【分析】 根据以原点 O 为位似中心，将 大到原来的 2 倍，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点 A的坐标 【解答】 解：根据以原点 O 为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以 2， 故点 A 的坐标是（ 1， 2），则点 A的坐标是（ 2， 4）， 故选： C 【点评】 此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以 k 或 k 是解题关键 7已知如图， C 是线段 中点，且 ， ，那么 值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 根据相似三角形的判定及已知可得到 用相似三角形的对应边成比例即可求得 长 【解答】 解： C 是线段 中点， ， D=2， B= D=90， A+ 0， 0， A= = ， = ， ， 故选 C 【点评】 本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识，关键是推出 8二次函数 y=bx+c 的图象如图所示，有下列结论： a 0， b 0， c 0， 4a 2b+c 0， b+2a=0 其中正确的个数有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 由开口方向，对称轴在 y 轴右侧，与 y 交于正半轴，可判定 a， b， c 的符号，由对称轴为x=1，可求得与 x 轴的交点坐标以及 b+2a=0，继而可判定 4a 2b+c 0 【解答】 解： 开口向下， a 0，故 正确； 对称轴 x= 0， b 0，故 错误； 与 y 轴交于正半轴， c 0，故 正确； 对称轴为 x=1，与 x 轴的一个交点为（ 3， 0）， 另一个交点为：（ 1， 0）， 当 x= 2 时， y=4a 2b+c 0，故 正确； 对称轴 x= =1， b+2a=0，故 正确 故选 D 【点评】 此题考查了二次函数系数与图象的关系此题难度不大，注意掌握抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点确定，注意掌握抛物线的对称性 9如图，在 ， C， A=36， 分 点 D，若 ，则 长是（ ） A B C 1 D +1 【考点】 黄金分割 【专题】 压轴题 【分析】 根据两角对应相等，判定两个三角形相似再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出长 【解答】 解： A= 6， C 公共， 且 D= 设 BD=x，则 BC=x， x 由于 = ， = 整理得： x 4=0， 解方程得： x= 1 ， x 为正数， x= 1+ 故选 C 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出 长 10如图，在 ， ， ， 平分线交 点 E，交 延长线于点 F，足为 G， ，则 周长为（ ） A 8 B 10 D 考点】 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查在 ， D=6， C=9， C 于点 E，可得 等腰三角形， F=9； 等腰三角形， E=6，所以 ；在 ， ， ，可得 ，又 等腰三角形， 以 ，所以 周长等于 16，又由 得 似比为 1： 2，所以 周长为 8，因此选 A 【解答】 解： 在 ， D=6， C=9， 平分线交 点 E， F， F， D， 等腰三角形， 同理 等腰三角形， F=9； E=6， ； 在 ， ， ，可得： ， 又 ， 周长等于 16， 又 似比为 1： 2， 周长为 8 故选： A 【点评】 本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 11若 ，则 = 【考点】 比例的性质 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换 【解答】 解：根据题意， 设 x=2k， y=3k， z=4k， 则 = ， 故答案为： 【点评】 已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个 量用所设的未知数表示出来，实现消元 12如图，要使 似，则只需添加一个适当的条件是 C= 填一个即可） 【考点】 相似三角形的判定 【专题】 开放型 【分析】 根据相似三角形的判定： （ 1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （ 2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （ 3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似， 进行添加即可 【解答】 解： B= B（公共角）， 可 添加： C= 此时可利用两角法证明 似 故答案可为： C= 【点评】 本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一 13如图， P 是 斜边 异于 B、 C 的一点，过点 P 作直线截 截得的三角形与 似，满足这样条件的直线共有 3 条 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 过点 P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角 就可以 【解答】 解：由于 直角三角形， 过 P 点作直线截 截得的三角形与 一公共角， 所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与 似， 过点 P 可作 垂线、 垂线、 垂线，共 3 条直线 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查三角形相似判定定理及其运用解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似 14如图所示，直线 l 和双曲线 交于 A、 B 两点， P 是线段 的点（不与 A、 过点 A、 B、 P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、 D、 E，连接 1、 面积为 面积为 2 【考点】 反比例函数综合题 【分析】 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S= |k| 【解答】 解：结合题意可得： 在双曲线 y= 上， 则有 2； 而线段 间，直线在双曲线上方； 故 2 故答案为： 2 【点评】 本题主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义 三、（本大题共 2小题，每小题 8分， 满分 16分） 15如图矩形 ， ， ，若将矩形折叠，使 B 点与 D 点重合，求折痕 长 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 如图，证明 F（设为 ）， 明 C=90， B=6， ；列出关于 的方程，求出 ；借助面积公式即可解决问题 【解答】 解：如图，连接 由题意得： F（设为 ）， 四边形 矩形， C=90， B=6， ； 由 勾股定理得： 2=（ 8 ） 2+62， 解得： = ； = 同理可求： 0 S 四边形 FF， 【点评】 该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推 理或解答 16周长为 8 米的铝合金条制成如图形状的窗框，使窗户的透光面积最大，则最大透光面积是多少 【考点】 二次函数的应用 【分析】 首先表示出窗户的高，进而表示出矩形面积，再利用配方法求出二次函数最值即可 【解答】 解：设矩形窗户的透光面积为 S 平方米，窗户的宽为 x 米，则窗户的高为 米， 由此得出： S=x ， 整理得 S= x= （ x ） 2+ ， 因为 ， 所以抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为 【点评】 此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出正确函数关系式是解题关键 四、（本大题共 2小题， 每小题 8分，满分 16分） 17在 ， B=25， 上的高，并且 D 度数为多少？ 【考点】 相似三角形的判定与性质 【专题】 计算题 【分析】 解答此题的关键的是利用 D出 后利用对应角相等即可知 度数注意分为高在三角形内与高在三角形外两种 【解答】 解：如图 1： B=25， 上的高， 5， D ， 5 如图 2： B=25， 上的高， 5， D ， 5， 80 15 度数为 65或 115 【点评】 本题关键是要懂得利用对应边成比例，找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解注意三 角形的高的作法 18如图，在 68 的网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和 顶点均为小正方形的顶点 （ 1）以 O 为位似中心，在网格图中作 ABC，使 ABC和 似，且位似比为 1： 2 （ 2）连接（ 1）中的 求四边形 C 的周长（结果保留根号） 【考点】 作图 【专题】 作图题 【分析】 （ 1）取 中点 A， 中点 B， 中点 C，然后顺次连接即可； （ 2）根据勾股定理列式求出 AC的长，再根据周长公式列式进行计算即可得解 【解答】 解：（ 1）如图所示， ABC即为所求作的三角形； （ 2）根据勾股定理， =2 ， AC= = ， 所以，四边形 C 的周长为： 1+ +2+2 =3+3 【点评】 本题考查了利用位似变换作图，根据网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键 五、（本大题共 2小题，每小题 10分，满分 20分） 19在 ， ， ， ，延长 点 P，使 C，求 长 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 由已知 C， P= P，可得 ，设 PA=x， PB=y 代入数值即可求出 【解答】 解：由已知 C， P= P， 即 ， 设 PA=x， PB=y，则有 ， 解方程组可得 x=9， 【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质，列出二元一次方程组是解题的关键 20已知：在直角梯形 ， C=90， D=25， 2连接 （ 1）求证： （ 2）求线段 长 【考点】 相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）由等腰三角形的性质可知 知， 此可得 C=90，利用 “证 （ 2）由等腰三角形的性质可知， 据 用相似比求 用勾股定理求 【解答】 （ 1）证明： D=25， C=90， （ 2）解： D，又 E， 由 得 ， D=25， 2， ， 0， 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题 六、（本题满分 12 分） 21如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 12 米现以 O 点为原点， 在直线为 x 轴建立直角坐标系 （ 1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （ 2）求这条抛物线的解析式； （ 3）若要搭建一个矩形 “支撑架 ” C、 D 点在 抛物线上， A、 B 点在地面 ，则这个 “支撑架 ”总长的最大值是多少？ 【考点】 二次函数的应用 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）根据所建坐标系易求 M、 P 的坐标； （ 2）可设解析式为顶点式，把 O 点（或 M 点）坐标代入求待定系数求出解析式； （ 3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设 A 点坐标为（ m， 0），用含 m 的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解 【解答】 解：（ 1） M（ 12， 0）， P（ 6， 6） （ 2）设抛物线解析式为： y=a（ x 6） 2+6 抛物线 y=a（ x 6） 2+6 经过点（ 0， 0） 0=a（ 0 6） 2+6，即 a= 抛物线解析式为： y= （ x 6） 2+6，即 y= x （ 3）设 A（ m， 0），则 B（ 12 m， 0）， C（ 12 m， m） D（ m， m） “支撑架 ”总长 C+ m） +（ 12 2m） +（ m） = m+12 = （ m 3） 2+15 此二次函数的图象开口向下 当 m=3 米时， C+最大值为 15 米 【点评】 本题难度在第（ 3）问，要分别 求出三部分的表达式再求其和关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解 七、（本题满分 12 分） 22已知：如图， 等边三角形，点 D、 E 分别在边 ， 0 （ 1）求证： （ 2）如果 ， ，求 长 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1） 等边三角形，得到 B= C=60， C，推出 到 （ 2）由 到 = ，然后代入数值求得结果 【解答】 （ 1）证明：