2016年江西省五市八校高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 26 页） 2016 年江西省五市八校高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是满足题目要求的） 1设集合 A=x|2x 1 5，集合 B=x|y=6 x） ，则 AB 等于（ ） A（ 3， 6） B 3， 6 C（ 3， 6 D 3， 6） 2设 i 是虚数单位，若复数 a （ a R）是纯虚数，则 a 的值为（ ） A B 2 C 2 D 3（ 2x+5y） 2016 展开式中第 k+1 项的系数为（ ） A B C D 4已知正数 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 =1 的焦点坐标为（ ） A B C 或 D或 5等差数列 公差 d 0 且 ，则数列 前 n 项和 最大值，当 得最大值时的项数 n 是（ ） A 6 B 7 C 5 或 6 D 6 或 7 6执行如图的程序框图，如果输入的 t 1， ，则输出的 S 属于（ ） A B C 5， 5 D 3， 5 7如图：网格纸上的小正方形边长都为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 26 页） A 4 B C D 8 8设 a， b R，则 “a b”是 “a（ ea+e a） b（ eb+e b） ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要 条件 9已知等腰直角 C=4，点 P， Q 分别在边 ， =0， = ，直线 过 重心，则 | |=（ ） A B 2 C D 1 10已知直线 y=1 x 与双曲线 （ a 0， b 0）的渐近线交于 A， B 两点，且过原点和线段 点的直线的斜率为 ，则 的值为（ ） A B C D 11函数 y=2016x 图象大致是（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =（ a ） x2+a R）在区间（ 1， +）上，函数 f（ x）的图象恒在直线 y=2方，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， B ， C（ ， +） D（ ， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若函数 f（ x） =1+ 为奇函数， g（ x） = ，则不等式 g（ x） 1 的解集为 _ 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=2y |x|的最小值是 _ 第 3 页（共 26 页） 15如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成，且该几何体内接于球（正四棱锥的顶点都在球面上），正四棱锥底面边长为 2，体积为 ，则圆柱的体积为 _ 16己知数列 等差数列，数列 等比数列，对一切 n N*，都有 =数列 通项公式为 _ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17设 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，点 O 为 外接圆的圆心，若满足 a+b 2c （ 1）求角 C 的最大值； （ 2）当角 C 取最大值时，己知 a=b= ，点 P 为 接圆圆弧上点，若 ，求 xy 的最大值 18骨质疏松症被称为 “静悄悄的流行病 “，早期的骨质疏松症患者大多数无明显 的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 （常喝碳酸饮料的同学 30，不常喝碳酸饮料的同学 20），对这50 名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人） 有骨质疏松症状 无骨质疏松症状 总计 常喝碳酸饮料的同学 22 8 30 不常喝碳酸饮料的同学 8 12 20 总计 30 20 50 （ 1）能否据此判断有 把握认为骨质疏松症与喝碳酸 饮料有关？ （ 2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的 8 名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（ X） 附表及公式 P（ k2k） k 19已知菱形 ， ，半圆 O 所在平面垂直于平面 P 在半圆弧上（不同于 B， C） 第 4 页（共 26 页） （ 1）若 平面 成角的正弦值为 ，求出点 P 的位置； （ 2）是否存在点 P，使得 存在，求出点 P 的位置，若不存在，说明理由 20给定椭圆 C： + =1（ a b 0），称圆 x2+y2=a2+椭圆 C 的 “伴随圆 ” 已知点 A（ 2， 1）是椭圆 G： y2=m 上的点 （ 1）若过点 的直线 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点，求 l 被椭圆 G 的伴随圆截得的弦长； （ 2）椭圆 G 上的 B， C 两点满足 4k1 1（其中 直线 斜率），求证：B， C， O 三点共线 21对于函数 y=F（ x），若在其定义域内存在 得 （ =1 成立，则称 函数F（ x）的 “反比点 ”已知函数 f（ x） =g（ x） = 1 （ 1）求证：函数 f（ x）具有 “反比点 ”，并讨论函数 f（ x）的 “反比点 ”个数； （ 2）若 x 1 时，恒有 xf（ x） （ g（ x） +x）成立，求 的最小值 选做题 22如图，在三角形 ， 0， D，以 直径的圆分别交 C 于 E、 F （ 1）求证： S 四边形 F （ 2）求证： 选做题 第 5 页（共 26 页） 23在平面直角坐标系中，椭圆 C 的参数方程为 （ 为参数），已知以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 =（ 0）（注：本题限定： 0， 0， 2） （ 1）把椭圆 C 的参数方程化为极坐标方程； （ 2）设射线 l 与椭圆 C 相交于点 A，然后再把射线 l 逆时针 90，得到射线 椭圆 C 相交于点 B，试确定 是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由 选做题 24已知函数 f（ x） =|x 2| （ ）解不等式； f（ x） +f（ 2x+1） 6； （ ）已知 a+b=1（ a， b 0）且对于 x R， f（ x m） f（ x） 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 26 页） 2016 年江西省五市八校高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 个选项中，只有一项是满足题目要求的） 1设集合 A=x|2x 1 5，集合 B=x|y=6 x） ，则 AB 等于（ ） A（ 3， 6） B 3， 6 C（ 3， 6 D 3， 6） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式解得： x 3，即 A=（ 3， +）， 由 B 中 y=6 x），得到 6 x 0，即 x 6， B=（ ， 6）， 则 AB=（ 3， 6）， 故选： A 2设 i 是虚数单位，若复 数 a （ a R）是纯虚数，则 a 的值为（ ） A B 2 C 2 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出 【解答】 解：复数 a =a =a 2 i 是纯虚数， 则 a 2=0，解得 a=2， 故选： C 3（ 2x+5y） 2016 展开式中第 k+1 项的系数为（ ） A B C D 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 = （ 2x） 2016 k（ 5y） k，化简整理即可得出 【解答】 解： = （ 2x） 2016 k（ 5y） k=22016 （ 2x+5y） 2016 展开式中第 k+1 项的系数为 22016 故选： D 第 7 页（共 26 页） 4已知正数 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 =1 的焦点坐标为（ ） A B C 或 D或 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用等比数列的中项的性质，可得 m=4，求得椭圆的 a， b， c，即可得到椭圆的焦点坐标 【解答】 解：正数 m 是 2 和 8 的等比中项，可得 8=16，解得 m=4， 圆 锥曲线 =1 即为椭圆 =1， 可得 a=2， b=1， c= = ， 即有焦点为（ 0， ）， 故选： B 5等差数列 公差 d 0 且 ，则数列 前 n 项和 最 大值，当 得最大值时的项数 n 是（ ） A 6 B 7 C 5 或 6 D 6 或 7 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 根据题意得出 a1+，由此能求出数列 前 n 项和 得最大值时的项数 n 【解答】 解：等差数列 ，公差 d 0，且 ， 0， 即 a1+， 又 a1+； 数列 前 6 或 7 项最大 故选： D 6执行如图的程序框图，如果输入的 t 1， ，则输出的 S 属于（ ） 第 8 页（共 26 页） A B C 5， 5 D 3， 5 【考点】 程序框图 【分析】 该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为 t 我们可得分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确定S 的区间 【解答】 解：模拟执行程序，可得程序框图的 功能是计算并输出 S= 的值， 由题意可得：当 t 1， ）时， S=3t 3， ）； 当 t ， 时， S=50， 5； 画出此分段函数在 t 1， 时的图象如下： 第 9 页（共 26 页） 则输出的 s 属于 3， 5 故选： D 7 如图：网格纸上的小正方形边长都为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 4 B C D 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图知该几何 体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体， 其直观图如图所示： 底面是等腰三角形， C=2，棱长是 4， 其中 D 是 中点， 平面 G=F， 平面 组合体的体积： V=V 三棱柱 V 三棱锥 E = ， 故选： C 8设 a， b R，则 “a b”是 “a（ ea+e a） b（ eb+e b） ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要 条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 第 10 页（共 26 页） 【分析】 构造函数， f（ x） =ex+e x，分类讨论判断函数的单调性，再根据充分性和必要性判断即可 【解答】 解：设 f（ x） =ex+e x， f（ x） =e x= ， 当 x 0 时， 1， （ 2 1 0， f（ x） 0， x 0 时， f（ x）是增函数 ， a b 0， f（ a） f（ b）， ea+e a eb+e b a（ ea+e a） b（ eb+e b）， 当 x 0 时， （ 2 1 0， f（ x） 0， x 0 时， f（ x）是减函数， b a 0， f（ a） f（ b）， ea+e a eb+e b a（ ea+e a） b（ eb+e b）， 当 a 0 b 时，显然成立， 综上所述当 a b 时， “a（ ea+e a） b（ eb+e b） ”恒成立，故充分性成立， 反之也成立，故必要性成立， “a b”是 “a（ ea+e a） b（ eb+e b） ”充要条件， 故选： C 9已知等腰直角 C=4，点 P， Q 分别在边 ， =0， = ，直线 过 重心，则 | |=（ ） A B 2 C D 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可作出图形，根据条件便可得出 Q 为 中点，可设 重心为 G，则由题意即可得到 而有 由条件可以得到点 A 为 中点，并可求得 ，从而便可得到 ，这样由 等腰直角三角形即可求出 值，而 ，从而便可得出 的值 【解答】 解：如图，设 重心为 G，由条件知 ， 等腰直角三角形， ； 第 11 页（共 26 页） ； ； Q 为 中点； 又 由 得， ； A 为 中点； ； 等腰直角三角形， B=45， 0； ， ； ； 即 故选： C 10已知直线 y=1 x 与双 曲线 （ a 0， b 0）的渐近线交于 A， B 两点，且过原点和线段 点的直线的斜率为 ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分 析】 求得双曲线的渐近线方程，将直线 y=1 x 联立，求得交点 A， B 的坐标，可得中点坐标，由直线的斜率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 （ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x， 把 y=1 x 代入 y= x， 第 12 页（共 26 页） 可得 A（ ， ）， B（ ， ）， 可得 中点 M 为（ ， ） 由过原点和线段 点的直线的斜率为 ， 即有 = = ， 故选： A 11函数 y=2016x 图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 求导 y=2016而确定导数的正负及函数的单调性，从而利用排除法求得 【解答】 解： y=2016x y=2016 当 x 0 时， y 0； 故函数 y=2016x 0， +）上是增函数， 故排除 A， B； y=2016 1， 0上单调递增， 且在 1， 0上先负后正， 故 y=2016x 1， 0上有极小值， 而在 1， 0上， y=2016x 0 恒成立； 故排除 D； 故选 C 12已知函数 f（ x） =（ a ） x2+a R）在区间（ 1， +）上，函数 f（ x）的图象恒在直线 y=2方，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， B ， C（ ， +） D（ ， ） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 第 13 页（共 26 页） 【分析】 将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与 区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出 a 的范围 【解答】 解：已知函数 f（ x） =（ a ） x2+a R） 若在区间（ 1， +）上，函数 f（ x）的图象恒在直线 y=2下方， 等价于对任意 x （ 1， +）， f（ x） 2 即（ a ） x2+20 恒成立 设 g（ x） =（ a ） x2+2x （ 1， +） 即 g（ x）的最大值小于 0 g（ x） =（ x 1）（ 2a 1 ） （ 1）当 a 时， g（ x） =（ x 1）（ 2a 1 ） 0， g（ x） =（ a ） x2+2x （ 1， +）为减函数 g（ 1） = a 0 a ， a ， （ 2） a 1 时， g（ x） =（ x 1）（ 2a 1 ） 0 g（ x） =（ a ） x2+2x （ 1， +）为增函数， g（ x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件 （ 3）当 a 1 时， g（ x）在（ 1， ）上为减函数，在（ ， +）上为增函数， 同样最大值可无穷大，不满足题意； 综上，实数 a 的取值范围是 ， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若函数 f（ x） =1+ 为奇函数， g（ x） = ，则不等式 g（ x） 1 的解集为 （ ， 0） （ 0， e 1） 【考点】 分段函数的应用；函数奇偶性的性质 【分析】 利用函数奇偶性的性质利用 f（ 0） =0 求出 a 的值，利用分段函数的不等式进行求解即可得到结论 【解答】 解： 函数 f（ x）的定义域为（ ， +），且函数 f（ x）是奇函数， f（ 0） =0， 即 f（ 0） =1+ =0，得 a= 1， 第 14 页（共 26 页） 则 g（ x） = ， 若 x 0，由 g（ x） 1 得 1，即 1，得 0 x e 1， 若 x 0，由 g（ x） 1 得 e x 1，即 x 0，则 x 0，此时 x 0， 综上不等式的解集为（ ， 0） （ 0， e 1）， 故答案为：（ ， 0） （ 0， e 1） 14若实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=2y |x|的最小值是 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行判断即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2y |x|得 y= |x|+ z， 平移 y= |x|+ z，由图象知当 y= |x|+ z 经过点 A 时， z 最小，此时 z 最小， 由 得 ，即 A（ ， 0）， 此时 z= | |= ， 故答案为： 15如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成，且该几何体内接于球（正四棱锥的顶点都在球面上），正四棱锥底面边长为 2，体积为 ，则圆柱的体积为 2 第 15 页（共 26 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 外接球的球心在圆柱上下底面中心的连线中点，利用棱锥的体积计算出棱锥的高，利用勾股定理了非常解出外接球的半径，计算出圆柱的高，圆柱的 底面直径为棱锥底面对角线长 【解答】 解：设圆柱的上下底面中心为 E， F，则外接球的球心为 中点 O，连接 A， 则 = = = = ， ， 设外接球的半径为 r，则 S SE=r 1 OA=r， r 1） 2+2，解得 r= 圆柱的高 h=2（ ） =1， 圆柱的体积 V= h=2 故答案为 2 16己知数列 等差数列，数列 等比数列，对一切 n N*，都有 =数列 通项公式为 【考点】 数列递推式 【分析】 设等差数列 公差为 d，等比数列 公比为 q，化简 =q（ ） 2，从而可得 =（ ） 3而化简可得 ，从而求得 【解答】 解：设等差数列 公差为 d，等比数列 公比为 q， = =， 第 16 页（共 26 页） =q， an=q（ ） 2， =q（ ） 2， = ， 即 =（ ） 3 即（ d）（ an+d） 3=（ d） 3 化简可得， ， 0， d=0， 故数列 常数列， 故 =1， 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17设 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，点 O 为 外接圆的圆心，若满足 a+b 2c （ 1）求角 C 的最大值； （ 2）当角 C 取最大值时，己知 a=b= ，点 P 为 接圆圆弧上点，若 ，求 xy 的最大值 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）由余弦定理可以得 到 ，而由 a+b 2c 即可得出 范围，从而得出 a2+范围，进一步便可得到 ，从而有 ，这便说明角 C 的最大值为 ； （ 2） 时便可得出 等边三角形，从而可求得外接圆半径为 1，并可求得，从而对 两边平方便可得到 x2+y2= 2样便可得出最大值 【解答】 解：（ 1）在 由余弦定理得， ； a+b 2c； ； ； 第 17 页（共 26 页） ； ，当且仅当 a=b 时取 “=”； ； 即 ； ； 角 C 的最大值为 ； （ 2）当角 C 取最大值 时， ； 等边三角形； O 为 中心，如图所示， D 为边 中点，连接 ： ； ，即外接圆半径为 1，且 20； ； 对 两边平方得， ； 1=x2+ x2+y2= 2且仅当 x=y 时取 “=”； 1； xy 的最大值为 1 18骨质疏松症被称为 “静悄悄的流行病 “，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 （常喝碳酸饮料的同学 30，不常喝碳酸饮料的同学 20），对这50 名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人） 有骨质疏松症状 无骨质疏松症状 总计 第 18 页（共 26 页） 常喝碳酸饮料的同学 22 8 30 不常喝碳酸饮料的同学 8 12 20 总计 30 20 50 （ 1）能否据此判断有 把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？ （ 2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的 8 名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（ X） 附表及公式 P（ k2k） k 【考点】 独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）根据列联表中的数据，计算 值，即可得到结论； （ 2） X 可能取值为 0， 1， 2，求出相应的概率，可得 X 的分布列及数学期望 E（ X） 【解答】 解：（ 1）由表中数据得 观测值所以根据统计有 把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关） （ 2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的 8 名同学中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有 种 X 可能取值为 0， 1， 2， ， ， X 的分布列为： X 0 1 2 P X 的分布列为： 19已知菱形 ， ，半圆 O 所在平面垂直于平面 P 在半圆弧上（不同于 B， C） （ 1）若 平面 成角的正弦值为 ，求出点 P 的位置； （ 2）是否存在点 P，使得 存在，求出点 P 的位置，若不存在，说明理由 第 19 页（共 26 页） 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 （ 1）过 O 作 接 平面 O 为原点建立坐标系，则 为平面 法向量，设 ，求出 的坐标，令 | |= 解出 即可确定 P 点位置； （ 2）令 =0 解出 ，根据 的范围得出结论 【解答】 解（ 1） P 为圆弧中点或者靠近点 B 的三等分点 连接 半圆内作 圆弧于点 M，则 M 为圆弧中点 平面 平面 面 面 C， 平面 四边形 菱形， ， 等边三角形， 是 两垂直 以 O 为原点， 在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， 设 ， （ 0， ），则 P（ 0， A（ ， 2， 0）， =（ ， ， 平面 为平面 一个法向量， = = = = 解得 P 为圆弧中点或者靠近点 B 的三 等分点 （ 2）假设存在点 P 使得 P（ 0， C（ 0， 1， 0）， B（ 0， 1， 0）， ， ， ， 解得 ，则与 （ 0， ）矛盾， 在半圆弧上不存在这样的点 P 使得 第 20 页（共 26 页） 20给定椭圆 C： + =1（ a b 0），称圆 x2+y2=a2+椭圆 C 的 “伴随圆 ” 已知点 A（ 2， 1）是椭圆 G： y2=m 上的点 （ 1）若过点 的直线 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点，求 l 被椭圆 G 的伴随圆截得的弦长； （ 2）椭圆 G 上的 B， C 两点满足 4k1 1（其中 直线 斜率），求证：B， C， O 三点共线 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）将 A 代入椭圆方程，可得 m，进而得到椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线 出 l 的方程，代入椭圆方程运用判别式为 0，求得 k，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到所求弦长； （ 2）设直线 方程分别为 y 1=x 2）， y 1=x 2），设点 B（ C（ 联立椭圆方程求得交点 B， C 的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线 C 的斜率相等，即可得证 【解答】 解：（ 1）由点 A（ 2， 1）是椭圆 G： y2=m 上的点 可得 22+412=m，即有 m=8， 即椭圆 G： + =1， 可得 ， ，可得伴随圆 方程为 x2+0， 当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 ， 与椭圆 G： 联立，得 ， 由直线 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点，得 ， 解得 k= 1，由对称性取直线 ，即 ； 第 21 页（共 26 页） 圆心到直线 l 的距离为 ， 直线 l 被椭圆 G 的伴随圆 截得的弦长 = ； （ 2）证明 ：设直线 方程分别为 y 1=x 2）， y 1=x 2）， 设点 B（ C（ 联立 G： ，得 ， 则 2 ，得 ； 同理 ， 斜率 ， 同理 ； 因为 4k1 1，所以 ，= 即有 B， O， C 三点共线 21对于函数 y=F（ x），若在其定义域内存在 得 （ =1 成立，则称 函数F（ x）的 “反比点 ”已知函数 f（ x） =g（ x） = 1 （ 1）求证：函数 f（ x）具有 “反比点 ”，并讨论函数 f（ x）的 “反比点 ”个数； （ 2）若 x 1 时，恒有 xf（ x） （ g（ x） +x）成立，求 的最小值 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题 第 22 页（共 26 页） 【分析】 （ 1）利用函数的导数，求出函数的最值，然后求解满足题意的点的个数 （ 2）转化表达式通过构造函数，求解函数的导数，然后对 分类讨论，求解 的最小值 【解答】 解（ 1）证明：设 h（ x） =1， h（ x） =1， h（ x） 0 得 x （ e， +）， h（ x） 0 得 x （ 0， e） h（ e） =1=e 1 0， ， 在（ 0， +）上有解，所以函数 f（ x）具有 “反比点 ”且有且只有一个； （ 2） xf（ x） （ g（ x） +x） （ 1+x） （ ） （ x ）， 令 ， 1当 1 时， =4 4（ ）（ ） 0，故恒有 x 0则 G（ x） 0 恒成立，故 G（ x）在区间 1， +）上是增函数 G（ x） G（ 1） =0，这与条件矛盾； 2当 1 0 时， x= = 0， 故恒有 y= x 0在区间 1， +）上是增函数 x 2 2 0，则 G（ x） 0 恒成立，故 G（ x）在区间 1， +）上是增函数 G（ x） G（ 1） =0，这与条件矛盾； 3当 =0 时， G（ x） = 0 恒成立，故 G（ x）在区间 1， +）上是增函数 G（ x） G（ 1） =0，这与条件矛盾； 4当 0 1 时，设 x =0的两个根 x1+ 2， ， 0 1， 故有 x （ 1， ， x 0，在区间（ 1， 是增函数 G（ x） G（ 1） =0，这与条件矛盾； 5当 1 时， =4 4（ ）（ ） 0 则 G（ x） 0 恒成立，故 G（ x）在区间 1， +）上是减函数 G（ x） G（ 1） =0，命题恒成立； 综上所述 1，所以 的最小值为 1 选做题 22如图，在三角形 ， 0， D，以 直径的圆分别交 C 于 E、 F （ 1）求证： S 四边形 F （ 2）求证： 第 23 页（共 26 页） 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角形的性质 【分析】 （ 1）由圆的直径所对的圆周角为直角，可得四边形 矩形，