内蒙古呼伦贝尔市2012届高三数学总复习《利用空间向量求角和距离》课件

第四十五讲利用空间向量求角和距离,走进高考第一关考点关回归教材,1.直线间的夹角,(3)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2,2.平面间的夹角,(2)平面1和2的法向量为n1和n2,两个平面的夹角为,3.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角.如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角是.,(2)直线与平面的夹角和该直线的方向向量s与该平面的法向量n的夹角互为余角,4.点到直线的距离(1)已知点A是直线l外一定点,过A作AAl,垂足为A,则点A到直线l的距离d等于线段AA的长度.,(2)如图,P是直线l上一点,s是直线l的方向向量,s0为s的,5.点到平面的距离(1)已知点A是平面外一定点,过A作AA,垂足为A,则点A到平面的距离d等于线段AA的长度.,(2)设n是平面的法向量,n0为n的单位向量.P为平面内任一点,则A到平面的距离为,考点训练,1.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱AB的中点,则直线C1E与平面ACC1A1的夹角的正弦值为_.,解析:BDAC,BDCC1,BD平面ACC1A1.,设正方体的棱长为1,如图以D为坐标原点建立坐标系,则,答案:B,解法二:以D为坐标原点建立坐标系,如图所示.,3.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中点,则A1到平面MBD的距离是(),答案:D,4.(2009浙江)在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90,答案:C,解析:如图,以C为原点,CB为y轴,CC1为z轴,过C作BC的垂线,为x轴.故x轴与平面BB1C1C垂直.设三棱柱的棱长为2,解读高考第二关热点关,题型一利用向量求夹角例1如图,ABCD是边长为2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角CABF是直二面角,AF=a,G是EF的中点.(1)求证:平面AGC平面BGC.(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值.(3)平面BAC与平面ACG的夹角的余弦值.,解:如图,以A为原点建立直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0).,AGBG,AGBC.而BG与BC是平面BCG内两相交直线,AG平面BCG.又AG平面ACG,故平面ACG平面BCG.,(3)因n1=(1,-1,1)是平面AGC的一个法向量,又AF平面ABCD,求两个平面与的夹角,只须求两个平面的法向量的夹角.,变式1:(2009海南,宁夏)如图所示,已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上,PDA=60.(1)求DP与CC所成角的大小;(2)求DP与平面AADD所成角的大小.,解:如图所示,以D为原点,棱DA,DC,DD所在直线为x轴,y轴,z轴.设棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),C(0,1,1),DA=(1,0,0),CC=(0,0,1).,题型二已知角,求未知量,(1)求证:平面AC1D平面ABD.(2)求二面角BAC1D的余弦值.(3)E为线段AC1上的一个动点,当线段EC1的长为多少时,DE与平面BC1D所成的角为30、,解:(1)证明:ABCD是平行四边形,故知BDC1=ABD=90.即ABBD,C1DBD.,(2)由ABBD,ABC1D可知,AB平面BC1D.故可以B为原点,平行于C1D的直线为x轴,BD所在直线为y轴,AB所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.,点评:已知直线与平面的夹角或平面与平面的夹角,去求未知量时,可以利用待定系数法,设出未知量,再寻找方程求解.,变式2:(2008浙江)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BECF,BCF=CEF=90,AD=,EF=2.(1)求证:AE平面DCF;(2)当AB的长为何值时,二面角AEFC的大小为60,解:矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,AB、BC、BE两两互相垂直,以B为坐标原点,BE、BC、BA分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系.,(1)BCCF,BCCD,BC平面DCF.,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),题型三利用空间向量求距离例3(2009江西)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点N.,(1)求证:平面ABM平面PCD;(2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值;(3)求点N到平面ACM的距离.,解:(1)依题设知,AC是所作球面的直径,则AMMC,因为PA平面ABCD,所以PACD.又CDAD,所以CD平面PAD,则CDAM,所以AM平面PCD,所以平面ABM平面PCD.,(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2);,设平面ACM的一个法向量n=(x,y,z),(3)由条件可得,ANNC.,变式3:如图,在底面是正方形的四棱锥PABCD中,平面PCD平面ABCD,PC=PD=CD=2.(1)求证:PDBC.(2)求二面角BPDC的余弦值.(3)求点A到平面PBC的距离.,解:(1)证明:取CD的中点为O,连结PO.PD=PC,POCD,平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,PO平面ABCD.,如图,在平面ABCD内,过O作OMCD交AB于M,以O为原点,OM、OC、OP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.,(3)方法一:设点A到平面PBC的距离为h.,笑对高考第三关技巧关,(1)求证:对任意的(0,2),都有ACBE;(2)设二面角CAED的大小为,直线BE与平面ABCD所成的角为,若tantan=1,求的值.,考向精测,1.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为(),答案:C,解析:解法一:先证明AC1是平面A1BD的法向量,即证明AC1面A1BD.不妨假定正方体棱长为1,同理AC1A1D.A1BA1D=A1,AC1平面A1BD.设BC1与平面A1BD所成的角为,BC1与AC1所成的角为,则,设平面A1DB的法向量为n=(x,y,z),2.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.(1)求直线EC1与FD1所成角的余弦值;(2)求平面CDE与平面DEC1的夹角的余弦值.,(1)设EC1与FD1所成角为,(2)设向量n=(x,y,z)与平面C1DE垂直,则有,课时作业(四十五)利用空间向量求角和距离,一、选择题1.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=AA1,ABC=90,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是()A.45B.60C.90D.120,答案:B,解析:取B1C1的中点G,连接FG、EG,则GFBC1且EFG就是所求的角或其补角.利用余弦定理可求得:,解法二:以B为原点BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系.如图所示,设AB=BC=AA1=2,E(1,0,0),F(0,0,1),C1(0,2,2),2.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(),答案:C,解析:连接A1C1交B1D1于O点,由已知条件得C1OB1D1,且平面BDD1B1平面A1C1CA,C1O平面BDD1B1.连接BO,则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影,C1BO即为所求.,解法二:如图所示,以D为坐标原点,建立坐标系.,则B(4,4,0),C1(0,4,2),D1(0,0,2).,3.在三棱锥ABCD中,AB=AD,BC=CD,且E、F分别为棱AB、CD的中点,设EF与AC所成的角为,EF与BD所成的角为,则+等于()A.30B.45C.60D.90,答案:D,解析:如图所示,取BC的中点G,连结EG、FG,则EGAC,FGBD,故FEG为EF与AC所成的角,EFG为EF与BD所成的角,即FEG=,EFG=,AB=AD,BC=CD,易证ACBD.,4.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为(),答案:B,解析:过O作EFA1B1,交A1D1于E,交B1C1于F,过F作FGBC1于G,则FG的长就是O到平面ABC1D1的距离,在,5.如图正方体AC1中P为棱BB1的中点,则在平面BCC1B1内过点P与直线AC成50角的直线有()条.()A.0B.1C.2D.无数,答案:C,解析:AC是平面BCC1B1的斜线,且成45角,过C点在平面BCC1B1可作两条直线与AC成50角,平移至P点即可.故选C.,6.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的距离小于等于a的概率为(),答案:D,二、填空题7.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则D点到平面ABC的距离是_.,解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),8.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M和N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为_.,解析:如图建立坐标系.则A(1,0,0),9.等腰直角ABC中,AB=BC=1,M为AC中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角CBMA大小为_.,答案:90,M为AC的中点,10.如图正方体ABCDA1B1C1D1,棱长为1,E为AB的中点,则E到直线B1D的距离为_.,解析:以D为坐标原点建立坐标系,三、解答题,(1)证明:平面ADE平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.,解:如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标,12.如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE和AD的交点,ACBC,且AC=BC.,(1)求证:AM平面EBC;(2)求直线AB与平面EBC所成的