2015第八届挑战赛二阶段优秀论文集2015第八届二阶段优秀论文a3497

#3497第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承 诺 书我们仔细阅读了第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。我们的参赛队号为：3497参赛队员 (签名) ：队员1：吴涛 队员2：刘香园队员3：程强强 参赛队教练员 (签名)： 朱家明 参赛队伍组别（例如本科组）：本科第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：#3497竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2015年第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第二阶段论文题 目 关于绳结打法对其自动松脱和绳子强度影响的研究关 键 词 绳结打法 受力分析 线性拟合 非线性拟合 MATLAB EXCEL 摘 要：日常生活中存在很多种类的打结方法，不同的打结方法不仅会影响绳结自动松脱的程度，还会影响绳子在受到拉力时的断裂强度。本文以绳结打法为切入点，通过相关数据的查找和手动测量，运用MATLAB制图分别对不同打结方法和绳结是否容易自动松脱不同打结方法和绳子在受到拉力时的断裂强度进行了拟合。首先，针对绳结打法按照用途进行分类，打法不同会影响绳结交叉点的个数进而影响绳结是否容易自动松脱，通过交叉点个数与绳结自动松脱时的负荷大小的拟合判定打结方式对绳结自动松脱的影响。然后针对一根完整的绳子在两端受到拉力时发生的动态过程主要为弹性形变、塑性形变和断裂进行了函数关系的建立。最后在不同打结方法下，对绳子在受到拉力时的断裂强度进行了分析。绳结的打法会影响绳结的半径，通过绳结半径与绳子达到极限强度时的应力进行拟合判定绳结对绳子强度的影响，并与完整绳子进行了比较。 问题主要对绳结进行了分类，因为本文着重研究不同的打结方式，故首先对绳结进行分类很有必要。按照其用途不同主要分为固定绳结、结绳绳结、保护绳结和操作绳结4种类型。问题II主要对不同打结方法下绳结在承受负荷时是否容易自动松脱进行了研究：不同的打结方式会影响绳结交叉点个数，通过交叉点个数与绳结自动松脱的负荷大小的拟合判定绳结打法对其自动松脱的影响。问题III 主要对一根完整的绳子在两端受到拉力时发生的动态过程进行了函数关系的建立：绳子两端受到拉力时主要是发生弹性形变、塑性形变和断裂。通过相关资料的查找建立函数关系。问题IV主要对不同打结方法下，打结方式和绳子在受到拉力时的断裂强度进行了研究：不同的打结方式会影响绳结结形的半径，通过手动测量得到不同绳结结形的半径，将半径当做自变量，达到极限强度时的应力作为因变量，运用matlab软件对数据进行拟合得到模型。最后对已建立的模型进行了评价与推广。参赛密码 （由组委会填写）参赛队号: #3497 所选题目: A 题 英文摘要（选填）（此摘要非论文必须部分，选填可加分，加分不超过论文总分的5%）Abstract日常生活中存在很多种类的打结方法，不同的打结方法不仅会影响绳结自动松脱的程度，还会影响绳子在受到拉力时的断裂强度。本文以绳结打法为切入点，通过相关数据的查找和手动测量，运用MATLAB制图分别对不同打结方法和绳结是否容易自动松脱、不同打结方法和绳子在受到拉力时的断裂强度进行了拟合。首先，针对绳结打法按照用途进行分类，打法不同会影响绳结交叉点的个数进而影响绳结是否容易自动松脱，通过交叉点个数与绳结自动松脱时的负荷大小的拟合判定打结方式对绳结自动松脱的影响。然后针对一根完整的绳子在两端受到拉力时发生的动态过程主要为弹性形变、塑性形变和断裂进行了函数关系的建立。最后在不同打结方法下，对绳子在受到拉力时的断裂强度进行了分析。绳结的打法会影响绳结结形的半径，通过绳结结形半径与绳子达到极限强度时的应力进行拟合判定打结对绳子强度的影响，并与完整绳子进行了比较。Daily life, there are many kinds of knotting method, knots will not only knot automatically loose off, but will also affect the rope when subjected to tensile fracture strength. The knot play as the breakthrough point, through data search and manual measurement, using Matlab graphics respectively to the different method of the knot and knot is easy to automatic release, different method of the knot and the rope when subjected to tensile breaking strength were fitted. Firstly, aiming at the knots play according to the purpose of classification, play different will influence cross knot number and affect the knot is easy to automatic release, through the intersection number and knot automatically loose off load size fitting judgment way of tying a knot to knot automatically loose off the influence of. Then according to the dynamic process of a root integrity of the rope at both ends by pulling force occurs mainly as elastic deformation, plastic deformation and fracture of the establishment of the function relationship. Finally, in different knots, the fracture strength under tension rope is analyzed. The knots in the play will affect the knot knot shaped radius, by knot knot shaped radius with the rope reaches the ultimate strength of stress were fitted to determine the effect of knot of rope strength, and compared with the rope.问题主要对绳结进行了分类，因为本文着重研究不同的打结方式，故首先对绳结进行分类很有必要。按照其用途不同主要分为固定绳结、结绳绳结、保护绳结和操作绳结4种类型。I mainly to knots are classified, because this paper focuses on the different way of tying a knot, so first of all, the knot classification is necessary. According to different purposes is divided into fixed knot, knot knot, knot knot protection and operation of 4 types.问题II主要对不同打结方法下绳结在承受负荷时是否容易自动松脱进行了研究：不同的打结方式会影响绳结交叉点个数，通过交叉点个数与绳结自动松脱的负荷大小的拟合判定绳结打法对其自动松脱的影响，运用matlab软件得到模型。Problem II mainly under the different method of the knot knot under load is easy to automatically loose off the research: different way of tying a knot will influence the number of knots of crossing point, through the intersection number and knot automatically loose off load size fitting judge knots play the automatically loose off the influence of and model is obtained by using the MATLAB software.。问题III 主要对一根完整的绳子在两端受到拉力时发生的动态过程进行了函数关系的建立：绳子两端受到拉力时主要是发生弹性形变、塑性形变和断裂。通过相关资料的查找建立函数关系。Problems III mainly the dynamic process of a root integrity of the rope at both ends under pull force of the establishment of the function relationship: both ends of the rope under pull force is mainly elastic deformation, plastic deformation and fracture. Through the relevant information for establishing the function relationship between.问题IV主要对不同打结方法下，打结方式和绳子在受到拉力时的断裂强度进行了研究：不同的打结方式会影响绳结结形的半径，通过手动测量得到不同绳结结形的半径，将半径当做自变量，达到极限强度时的应力作为因变量，运用matlab软件对数据进行拟合得到模型。IV mainly under the different method of the knot, rope and knotted when subjected to tensile breaking strength were of different way of tying a knot will affect the knot knot shaped radius, by manual measurements obtained different knot knot shaped radius, radius as independent variables, ultimate strength is reached when the stress as the dependent variable, the use of MATLAB software for data fitting model is obtained.最后对已建立的模型进行了评价与推广At the end of the established model of evaluation and promotion.1 问题的重述一、背景知识1结绳方法的重要性在登山过程中，运动员相互保护、翻越障碍、攀登岩石或冰雪、渡河等都离不开绳索。绳索是登山过程中的最重要技术装备之一。绳索只有通过与运动员身体或其他物体相互连接和固定时，才能起到辅助行进和保证安全的作用。当运用结绳技术将登山者与绳索连接在一起时，无论什么样的绳结，都必须结实、易解、不易滑脱，否则将直接影响技术水平的发挥，从而危及广大运动者的生命安全。结绳方法是否运用得当，直接影响绳索使用的质量和效果。 2.绳子的断裂一根完整的绳子在两端受到拉力时，有一个被拉断的极限强度。在绳子中间打了一个结以后，由于绳结位置的弯折和缠绕，将使绳结位置成为整根绳子强度最低的一个薄弱点。3.绳子的受力在一条笔直的绳子上，全部的受力被平均的施加在绳子上，因此绳子的外皮和内芯的受力也是平均分摊的；绳子上的弯曲或是挤压，会造成外皮的绷紧和内芯的压缩，因此绳子的内外力将不再是平均的分摊受力。 4.绳子的断裂一根完整的绳子在两端受到拉力时，有一个被拉断的极限强度。在绳子中间打了一个结以后，由于绳结位置的弯折和缠绕，将使绳结位置成为整根绳子强度最低的一个薄弱点。二、要解决的问题1问题一：对日常生活中常见的绳结打法进行分类。 2问题二：建立模型判定不同打结方法下绳结在承受负荷时是否容易自动松脱。3问题三：对一根完整的绳子在两端受到拉力时发生的动态过程进行数学分析。4问题四：建立模型，通过研究不同绳结的打法来估计其强度。 2 问题的分析一、 相关知识介绍我们知道，绳结在日常生活和户外运动等方面有着较多的应用。显然，绳结的打法是重要的一个环节。绳结的打法会影响绳结在负荷下的脱落程度和绳子强度。对于不同绳结的强度，我们有如下表格： 表5.不同绳结的强度表绳结强度直绳100%称人结55-74%蝴蝶结61-72%单结58-68%八字结66-77%双渔人结65-80%水结60-70%平结43-47%双套结60-75%二、问题的总分析不同的打结方法会影响绳结在承受负荷时是否容易自动松脱，所以应该首先对绳结进行分类。绳结的打法会影响绳结交叉点的个数从而影响绳结自动松脱的程度。故可以通过交叉点个数与绳结自动松脱时负荷大小的拟合判定打结方式对绳结自动松脱的影响。不同的打结方法还会影响一根绳子两端在受到拉力时的极限强度，应该先把一根绳子在其两端受到拉力时发生的形变过程进行分析，再分析不同打结方式下的情况并与之进行比较。不同的打结方法会影响绳结结形的半径，可以通过结形半径与绳子达到极限强度时的应力进行拟合从而判定绳结种类对绳子强度的影响。3 模型的假设1.假设在模型建立时不考虑绳子的材料、直径、摩擦系数等性能因素对绳结的影响2.打不同结用的绳子的材料、直径、摩擦力等性能因素相同；3.假设实验是在光滑的水平面上进行的；4.假设不同绳结的松紧程度一样；4 名词解释与符号说明一、名词解释1 PE：聚乙烯；2交叉点：绳子间交叉的地方；3 极限强度：（ultimate strength） 物体在外力作用下发生破坏时出现的最大应力，也可称为破坏强度或破坏应力；4 应力：定义为“单位面积上所承受的附加内力； 5 弹性形变：指固体受外力作用而使各点间相对位置的改变，当外力撤消后，固体又恢复原状；6 塑性形变：如果外力较大，当它的作用停止时，所引起的形变并不完全消失，而有剩余形变；二、符号说明F1绳结松脱所需要的负荷大小d绳结的直径，不同角度测量的均值k在绳结上出现的交叉点个数R2可决系数，其值越接近1越好F绳子断裂时的极限强度即应力sum进行求和的求和符号x绳子两端受到外力时形伸长量mean求均值的符号5 模型的建立与求解一、 问题一的分析与求解绳结的打法可以根据绳结的用途不同而分为固定绳结、结绳绳结、保护绳结和操作绳结4种类型。（1）固定绳结固定绳结是将绳索一端直接固定于自然物体上的打结方法，多采用下列绳结：A 织布结-（布林结、称人结）-通过这种绳结可将绳索一端与自然物固定在一起，有时也用于结组中的胸绳连接。这是最基本的结法，打一个绳环后将它打结的方法，要了解织布结，此为最基本的结法： 、在绳索的中间打一个绳环 、将绳头穿过绳环的中间 、绕过主绳 、再次穿过绳环 、将打结处拉紧便完成 B 牵引结-用于绳索一端在树干或其他物体上的固定拉紧。 C通过结-用于通过铁索时做中间环节的各种连接和固定。这种结有简单的通过结和“8”字形通过结。 D双套结-用于特定攀登技术中的一种结，也可做固定用。 广泛地应用在将绳索绑系在物体上的双套结，它不但简单而且实用，也有人把它称为了香结、卷结，尤其在绳索两端使力均等时，双套结可以发挥很大的效果。如果绳索只有一端使力的话，那么只要在双套结完成后再打一个半扣结，效果一样不打折扣。此外，如果打成双套滑结的话，想要解开时就可以轻松而毫不费力。 双套结的结法有很多，在些为各位介绍三种最具代表性的打法：打法：一般普遍使用的打法，把绳索卷绕在物品上而成 、把绳索绕过物体一圈 、从上方再绕一圈 、用力拉紧绳索两端 、最后再打个半扣结打法： 做两个绳圈，将之重叠后套进物体上便完成双套结。要将绳环 套住物体时，这个方法是极快速又方便，而且可以从绳索的中部份开始打结。把右边的绳圈重叠在左边的绳环上，然后直接套进物体，拉紧即可： 1. 2. 3. 4.打法：在铁栓等圆状物体上系绑绳索的方法。当物体的位置处于横摆的状态，或者从下方使力时，可以应用这个打法完成卷结。如果只有一方承担负荷的话，那么最好还是加个半扣结比较保险： E 帐篷固定结-有两种结： （2）接绳绳结 接绳绳结是将短绳接成长绳的使用的绳结，可分以下几种：A 平结-这种结用于直径相同的绳索之间的连接 B 水结-用在连接两条同样粗细的绳子、扁带上，一种简单且结实的结。日本名称的由来是由于利用这种结作为连接藤蔓时打的结。在攀岩里称为环固结(Ringbend)，将一条绳子的两端用这种方法相连结，即可做成吊索。这种结主要适用于连结扁平的带子。打法十分简单，在一条绳子的前端打一个单结后，另一条绳子逆着结形穿过前面一条绳子的圆圈即可。虽然结形可以打得小而漂亮，但是得注意有时会松开，所以在绳子末端一定要留下四五公分的长度，并且须将结牢牢打紧： 、 在一条绳子的末端打一个单结， .将另一条绳子从前一条绳子的末端开始， 尾端要留下充份的长度 顺着结形逆向穿过 、 、 如图所示 、两个绳子末端留下一定长度后，用力打成一个结。 C 渔人结-这种结用于直径相同的绳索之间的连接。按其连接方法可分为单渔人结和双渔人结： 单渔人结 双渔人结 D“8”字结-它用于直径相同的绳索之间的连接： E 接绳结-接绳结是连接两条绳索时所用，打法简单，拆解容易，可适用于质材粗细不同的绳索，安全可靠程度相当高。当两条绳索粗细不一时，打的时候必先固定粗绳，然后再与细绳相连。接绳结的打法有两种，一般最常使用的是如下所介绍的打法：打法： 最普遍的打法： 、将一条绳索（粗绳）的末端对折， 、 把穿过的绳头绕过对折的绳索一圈 然后把另一条绳索（细绳）从对折绳圈的下方穿过 、打结 、握住两端绳头拉紧结目 打法：利用指尖，使细绳可以迅速打成接线结的方法： F 防脱结-为了防止解脱，在各种绳结结好之后，可在绳头部位再结一个防脱结，也可用这种结法将两条带子连接在一起。也就是我们前面介绍的水结，这里不作过多分析。 （3）保护绳结 这是使绳索之间或绳索与铁索之间能够产生摩擦和滑动的连接方法： A单环结-用于沿主绳快速下降时的速度控制： B抓结-用于行进中的自我保护。按其结法可分为单抓、双抓和变绳抓结3种： （4）操作绳结 这是用于特殊的攀登和下降技术中所采取的结法，主要为双套法。此结法既可作固定用结，也可用于攀登和下降：A.clove hitch - 双套结（猪蹄扣）：为用途非常广泛的绳结，其特点是可以迅速调节长度，并可单手操作。可用于攀爬者与保护点的直接连接： B.-三套结：在双套结的基础是多打一次结，使绳结更加牢固： 二、问题二的分析与求解1.问题的分析打结方法和脱落程度的关系不易找到，所以我们可以通过测量绳子交叉点个数和负荷力大小，找出两者的一般关系，从而得到打结方法和脱落程度的关系。交叉点的确定方法如下： 交叉点2.模型的建立查阅相关资料我们可以知道，不同打结发放对应的绳子交叉点数不同。例如：对于一根PE绳子而言，如果它的打结方法为半结，那么绳子交叉点的个数为3个；如果它的打结方法为水结，则绳子交叉点为7个。假设现在我们有一段PE绳子，我们分别用半结、平结、八字结、水结、称人结、双套结、蝴蝶结和双渔人结等部分方法进行打结。然后测定不同绳结松脱时所受的负荷是多少牛，从而得到交叉点个数和松脱程度的关系：查阅相关资料中的数据，我们可以知道对8种PE绳打结方法所得到的交叉点个数如下表格： 表1 绳结的相应的交叉点数打结方法交叉点数平结3称人结5半结6水结7蝴蝶结8双套结8双渔人结10八字结10 查阅相关文献以及我们自己的实验，我们可以得到8种PE绳打结方法自动松脱时所受的负荷的大小（平均值，取整）： 表2 绳结所承受的负荷数据表打结方法负荷大小（N）平结16称人结24半结31水结36蝴蝶结40双套结41双渔人结51八字结50运用MATLAB软件进行曲线拟合，散点图及回归线如下： 图1 （注： 横轴代表交叉点数，纵轴代表承受负荷）残差图如下： 图2依据结果我们可以得到，交叉点数k和负荷大小F1的一般关系式如下： F1 = 4.9083* k +1.4037 ；即负荷大小与交叉点数成正相关，进而自动脱落程度大小和交叉点数多少成反相关。交叉点数越多，越不容易脱落。此外，从图形我们可以看出，当交叉点数为3、5、6时对应负荷大小小于100牛，绳结易松脱；当交叉点数为7、8时对应负荷大小大于100牛而小于150牛，绳结不易松脱；当交叉点数大于或等于10时对应负荷大小大于150牛，绳结难松脱。所以对于不同绳结的打法，我们可以通过测量交叉点的个数，从而得到该绳结是否容易脱落。结论：当交叉点数在26间时，绳结易松脱；当交叉点数在710间时，绳结不易松脱；当交叉点数在10或10以上时，绳结难松脱。检验：我们用一根绳子实验：当绳结为营钉结时，绳结不易松脱；当绳结为普鲁士结时，绳结易松脱。而通过测量，我们知道营钉结的交叉点数为7个，普鲁士结的交叉点数为2个，这与我们的得到的结论相一致。三、问题三的分析与求解1对问题的分析： 在一根完整的绳子两端给予拉力时，绳子开始会产生弹性形变，到达一定程度时弹性形变结束进而产生塑性形变，此过程中力的大小不变绳子会继续出现拉伸现象，塑性形变结束后需要增加力才会使绳子继续拉伸，随着力的加大，绳子拉伸得越长，直到绳子断开。2.模型的建立： 查阅相关资料，得到直径为0.5cm的PE直绳，其弹性限度的弹性系数为2000N/m，而让其产生塑性形变需要140牛的力，当加大外力时绳子会继续形变直到断裂。根据已有的数据及资料建立相关模型如下： 运用matlab软件作出模型的相应图形： （注：横轴代表直绳的伸长量x/cm，纵轴代表绳子两端受到的拉力F/N） 图3 直绳两端受外力到断裂的过程图 3.结论： 我们选用的一根直绳在两端受到外力时绳子开始会产生弹性形变（在0-0.07这一段），到达一定程度时弹性形变结束进而产生塑性形变（在0.07-0.09这一段），此过程中力的大小不变绳子会继续出现拉伸现象，塑性形变结束后需要增加力才会使绳子继续拉伸，随着力的加大，绳子拉伸得越长，直到绳子断开，直绳的极限强度在200牛。因此在绳子的直径接近时直绳的极限强度大约都在200牛左右。四、问题四的分析与求解（一）问题的提出在绳子中间打了一个结后，结点位置会成为一个强度较低的薄弱点。而对于不同绳结来说，各自的半径基本都是不同的，我们可以将绳结的半径当做自变量，达到极限强度时的应力作为因变量建立相关模型。（二）问题的分析 我们将问题二中的直绳受力所到达的极限强度为100%，然后对打结的绳子上的结进行受力分析，分析图如下，由于打结造成绳子的弯曲和缠绕使得绳结这一点成为整条绳子上的薄弱点，其极限强度降低。 八字结 受力分析：外力：绳结在x方向受到大小相等、方向相反的外力p1,p2达到平衡。 压力：绳结的弯曲部位主要集中在“8”字的两端，所以我们可以将由张力产生的压力近似的等效于这两个部位。而且摩擦力相应也在这个位置，假设摩擦力，外力T与正压力N夹角为。 蝴蝶结受力分析外力：在x方向受张力p1,p2平衡，在y方向可能受到外力F。 压力：由图中可以看出，绳结中间的缠绕部位弯曲程度最大，所以压力N就主要集中在这个部位，相应的摩擦力f也比较大。 双渔人结受力分析：外力：绳结在x方向受到大小相等、方向相反的外力p1,p2达到平衡。 压力：由于拉力作用，在两个绳结的接触面上会产生在x方向上的较大压力；此外弯曲部位程度比较大的缠绕部位也由于张力而产生压力作用，由于是圆形缠绕，压力平均分布，我们为了方便把压力简化到y方向。我们先选取两根半径相同都为0.25cm的绳子打出八种常见的结，并测出各自的直径结果如下图（a,b,c,d,e,f,g,h）所示： a平结 b 双套结 c水结 d蝴蝶结 e双渔人结 f 称人结 g八字结 h 半结 根据查阅的资料，文献以及我们自己测量的数据（取平均值）作出相关表格（表3），我们可以将绳结的半径当做自变量，达到极限强度时的应力作为因变量，运用matlab软件对表3中的数据进行模型模拟： 表3 绳结的相关数据表绳结直径d/cm应力F/N半结1.6182称人结1.2177水结1.9185双渔人节2.5192八字结2.4190平结1.0175蝴蝶结2.1187双套接2.3189 （三）运用MATLAB程序进行非线性拟合散点图及回归线如下： 图4 残差图如下： 图5 模拟效果检验：=1-