高考二轮复习数学理配套讲义16 导数的简单应用

微专题16导数的简单应用命 题 者 说考 题 统 计考 情 点 击2018全国卷T5函数的奇偶性、导数的几何意义2018全国卷T13导数的几何意义2018全国卷T14导数的几何意义2017全国卷T11利用导数求函数的极值2016全国卷T15导数的几何意义1.此部分内容是高考命题的热点内容。在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小。2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题。有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般。考向一 导数的计算与几何意义【例1】(1)(2018全国卷)设函数f (x)x3(a1)x2ax。若f (x)为奇函数，则曲线yf (x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx(2)(2018天津高考)已知函数f (x)exlnx，f (x)为f (x)的导函数，则f (1)的值为_。解析(1)解法一：因为函数f (x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f (x)f (x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20，因为xR，所以a1，所以f (x)x3x，所以f (x)3x21，所以f (0)1，所以曲线yf (x)在点(0,0)处的切线方程为yx。故选D。解法二：因为函数f (x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f (1)f (1)0，所以(1a1a)(1a1a)0，解得a1，所以f (x)x3x，所以f (x)3x21，所以f (0)1，所以曲线yf (x)在点(0,0)处的切线方程为yx。故选D。解法三：易知f (x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为f (x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函数，所以a10，解得a1，所以f (x)x3x，所以f (x)3x21，所以f (0)1，所以曲线yf (x)在点(0,0)处的切线方程为yx。故选D。(2)由题意得f (x)exlnxex，则f (1)e。答案(1)D(2)e(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点。(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化。以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解。 变|式|训|练1(2018合肥质检)已知直线2xy10与曲线yaexx相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是()AB1 C2De解析由题意知yaex12，则a0，xlna，代入曲线方程得y1lna，所以切线方程为y(1lna)2(xlna)，即y2xlna12x1a1。故选B。答案B2(2018广州调研)已知直线ykx2与曲线yxlnx相切，则实数k的值为_。解析由yxlnx得，ylnx1。设直线ykx2与曲线yxlnx相切于点P(x0，y0)，则切线方程为yy0(lnx01)(xx0)，又直线ykx2恒过点(0，2)，所以点(0，2)在切线上，把(0，2)以及y0x0lnx0代入切线方程，得x02，故P(2,2ln2)。把(2,2ln2)代入直线的方程ykx2，得k1ln2。答案1ln2考向二 导数与函数的单调性微考向1：利用导数求函数的单调区间【例2】已知函数f (x)lnxx25，则其单调递增区间为()A(0,1 B0,1C(0，) D(1，)解析由题意知，函数f (x)的定义域为(0，)，因为f (x)lnxx25，所以f (x)x(x21)。由x1。故选D。答案D用导数求yf (x)的单调区间，应转化为求f (x)0或f (x)0的解集，应注意函数的定义域。如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，那么这些单调区间不能用“”连接，应用“，”隔开。 变|式|训|练已知函数f (x)x23x2lnx，则函数f (x)的单调递减区间为_。解析函数f (x)x23x2lnx的定义域为(0，)，f (x)2x3，令2x30，即2x23x20，解得0x0时，g(x)在内单调递减，在内单调递增。因为函数g(x)在区间(1,2)内不单调，所以1 2，解得k1，所以b的取值范围是b1。答案(，12若函数f (x)x2exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_。解析因为函数f (x)x2exax，所以f (x)2xexa。因为函数f (x)x2exax在R上存在单调递增区间，所以f (x)2xexa0有解，即a0，xln2，g(x)2exln2，所以当xln2时，g(x)max2ln22。所以a2ln22。故实数a的取值范围是(，2ln22)。答案(，2ln22)微考向3：导数与不等式【例4】(2018德州模拟)设偶函数f (x)定义在上，其导函数为f (x)，当0x时，f (x)cosxf (x)sinx2f cosx的解集为()ABCD解析令g(x)，因为f (x)是定义在上的偶函数，所以g(x)是定义在上的偶函数，又当0x时，f (x)cosxf (x)sinx0，所以g(x)2f cosx化为，即g(x)g，则|x|，又x，所以x。故选C。答案C本题考查利用导数研究不等式问题。利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“f (x)cosxf (x)sinx2f cosx”的联系构造函数g(x)。 变|式|训|练(2018益阳、湘潭调研)是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，e，3,3，e六个数中，最小的数与最大的数分别是()A3e,3 B3e，eCe3，3 De,3解析构造函数f (x)，f (x)的定义域为(0，)，求导得f (x)，当f (x)0，即0xe时，函数f (x)单调递增；当f (x)e时，函数f (x)单调递减。故函数f (x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)。因为e3，所以eln3eln，lneln3，即ln3elne，lneln3。又函数ylnx，yex，yx在定义域上单调递增，故3ee3，e3e3，故这六个数中的最大数为3或3，由e3及函数f (x)的单调性，得f ()f (3)f (e)，即，由，得ln33，在3e，e3，e，3,3，e六个数中的最大的数是3，同理得最小的数为3e。故选A。答案A考向三 导数与函数的极值、最值【例5】(1)(2018河南漯河四模)设函数f (x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是()Ax1为f (x)的极大值点Bx1为f (x)的极小值点Cx1为f (x)的极大值点Dx1为f (x)的极小值点(2)(2018全国卷)已知函数f (x)2sinxsin2x，则f (x)的最小值是_。解析(1)绘制表格考查函数的性质如下：区间(，1)(1,1)(1，)1x符号y(1x)f (x)的符号f (x)符号f (x)的单调性单调递减单调递增单调递增据此可得，函数f (x)在x1处取得极小值，在x1处无极值。故选D。(2)解法一：因为f (x)2sinxsin2x，所以f (x)2cosx2cos2x4cos2x2cosx24(cosx1)，由f (x)0得cosx1，即2kx2k，kZ，由f (x)0得1cosx，即2kx2k或2kx2k，kZ，所以当x2k(kZ)时，f (x)取得最小值，且f (x)minf 2sinsin2。解法二：因为f (x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，所以f (x)24sin2x(1cosx)24(1cosx)(1cosx)3，设cosxt，则y4(1t)(1t)3(1t1)，所以y4(1t)33(1t)(1t)24(1t)2(24t)，所以当1t0；当t1时，y0。所以函数y4(1t)(1t)3(1t1)在上单调递增，在上单调递减，所以当t时，ymax；当t1时，ymin0。所以0y，即0f (x)2，所以f (x)，所以f (x)的最小值为。解法三：因为f (x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，所以f (x)24sin2x(1cosx)24(1cosx)(1cosx)34，当且仅当3(1cosx)1cosx，即cosx时取等号，所以0f (x)2，所以f (x)，所以f (x)的最小值为。解法四：f (x)的最小值只能在使得解得cosx1，cosx1，cosx的这些点处取到，对应的sinx的值依次是：sinx0，sinx0，sinx。显然，f (x)min2。答案(1)D(2)(1)求函数f (x)的极值，需先求方程f (x)0的根，再检查f (x)在方程根的左右函数值的符号。 (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f (x)0根的大小或存在情况来求解。(3)求函数f (x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a)，f (b)与f (x)的各极值进行比较得到函数的最值。求f (x)在(a，b)的最值需讨论函数的单调性。 变|式|训|练1设函数f (x)在(m，n)上的导函数为g(x)，x(m，n)，若g(x)的导函数小于零恒成立，则称函数f (x)在(m，n)上为“凸函数”。已知当a2时，f (x)x3ax2x，在x(1,2)上为“凸函数”，则函数f (x)在(1,2)上结论正确的是()A既有极大值，也有极小值B有极大值，没有极小值C没有极大值，有极小值D既没有极大值，也没有极小值解析g(x)f (x)x2ax1。由已知得g(x)xa0；当x(2，2)时，f (x)0，函数单调递增，所以f (x)minf (1)a，矛盾；若ea1，函数f (x)在1，a上递减，在a，e上递增，所以f (a)，解得a；若1a0，函数f (x)是递增函数，所以f (1)a，矛盾；若ae，函数f (x)单调递减，所以f (e)，解得a，矛盾。综上a。故选A。答案A1(考向一)(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_。解析yaex(ax1)ex，则f (0)a12，所以a3。答案32(考向二)(2018安徽黄山八校联考)已知f (x)为R上的可导函数，且xR，均有f (x)2f (x)，则有()Ae4 034f (2 017)e4 034f (0)Be4 034f (2 017)f (0)，f (2 017)f (0)，f (2 017)e4 034f (0)De4 034f (2 017)f (0)，f (2 017)e4 034f (0)解