2019年3月2019届高三第一次全国大联考（新课标Ⅲ卷）-理数（全解全析）.pdf

2019 年第一次全国大联考【新课标卷】 理科数学全解全析 123456789101112 ABBCDDACBCBC 1A 【解析】易得22|4| 2 xxxxA，0 2 | x x xB20|xx，所以 BA)2 , 0，故选 A 5D 【解析】由图知输出的结果 2019 12320192020 2 (21) 222222 2 1 S 故选 D. 6D 【解析】由已知 2 2 T 2 ，解得2，故( )sin(4) 3 f xx ，若(,) 4 2 x ，则 25 4(,) 333 x ， 由正弦函数的图象可知函数( )f x在(,) 4 2 上有增有减； 若 2 x ， 则 5 4 33 x ， 此时函数( )f x取不到最大值或者最小值，故 2 x 不是函数( )f x图象的对称轴；若 3 x ，则 4 3 x ，此时函数( )=0f x，故( )f x的图象关于点(,0) 3 对称.逐一观察各选项可知，答案为 D. 7A 【解析】由题意， n x x) 1 ( 的通项为 3 2 1 ( 1) C nr rr rn Tx ，当rn 2 3 即rn32 时，所得项为常数 项，其中1 mr，所以m，n应满足) 1(32mn，故选 A. 8C 【解析】易得圆锥的母线长为13cm，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过5cm时，蚂蚁应爬行在底面半径为 25 cm 13 ，母线长为5cm的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过5cm的概率为 25 5 144 13 1 5 13169 ，故选 C 9B 【解析】由 135 42aaa， 24 28aa，可得70 5 S，由已知得51252 5 tS，得 2 1 t， 故nnSn12 2 1 2 ，即72)6(2242 22 nnnSn，所以当6n时, n S取得最大值故选B. 11B 【解析】设抛物线C的焦点为F，则)0 , 4 (aF，可得直线:4l yxa过焦点F，设直线l交抛物 线C于点),(),( 2211 yxByxA，由抛物线定义可知 2 | 21 a xxAB，联立直线l与抛物线C的方程， 消去y得0916 22 aaxx，所以axx 16 9 21 ，则17 216 9 | aa AB，解得16a，则抛物线 C的方程为xy16 2 .设与抛物线C相切且平行于直线l的直线方程为bxy 4，联立方程 bxy xy 4 16 2 ，消去y得0)168(16 22 bxbx，则 22 (816)4 160bb ，解得1b，故 所求直线方程为014 yx.故选 B. 12C 【解析】由题意，得 2 222 111(1)(1) ( ) mmxxmmxmx fxm xxxx （0 x ） ，令 10mxm ，由0m，得 1m x m .当10 m时，0 1 m m ，此时函数)(xf在), 0( 上单 调递增，且0x时，0mx， x m1 ，xln，故)(xf，不合题意，舍去； 当1m时，0 1 m m ，此时函数)(xf在) 1 , 0( m m 上单调递减，在), 1 ( m m 上单调递增，所以 ) 1 ()( min m m fxf m m mm 1 ln1 m m m 1 ln12 ，要使函数)(xf0恒成立，只需 0 1 ln12 m m m，即 21 1e 1 m m m .故选 C. 13 25 4 【解析】由题意作出区域，如图中阴影部分所示， 易知 4 3 2 1 21 2 1 2 tan MON， 故MONsin 5 3 ， 又3MN， 设OMN的外接圆的半径为R， 则由正弦定理得R MON MN 2 sin ，即 2 5 R，故所求外接圆的面积为 2 525 ( ) 24 . 15) 3 32 , 1 (【解析】由题意设双曲线C的半焦距为c，则右焦点)0 ,( 2 cF到渐近线x a b y的距离均为 b ba bc 22 | ，圆 2 F的半径为 2 c ，要使圆 2 F与双曲线C的两渐近线有公共点，需满足b c 2 ，即 )(4 222 acc， 解得 3 4 2 2 a c ， 又双曲线的离心率1e， 故双曲线C的离心率的取值范围为) 3 32 , 1 (. 16 19 3 【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知在四面体ACDM中，MAAD，MAAC， ACADA， 故MA 平面ACD， 将图形旋转得到如图 （2） 所示的三棱锥MACD， 其中ACD 为等边三角形，过ACD的中心 1 O作平面ACD的垂线 1 l，过线段MC的中点 2 O作平面MAC的垂 线 2 l，易得直线 1 l与 2 l相交，记 12 llO，则O即为三棱锥MACD外接球的球心.设外接球的半径 为 R，连接OC、 1 OC，可得 11 21 , 23 OCOO,在 1 RtOOC中， 2222 11 19 12 OCOOOCR， 故外接球的表面积 2 19 4 3 SR ，故答案为 19 3 . 图（1）图（2） 17 （本小题满分 12 分） （2）由（1）可知， 2 2ca b ， 在ABC中，由余弦定理，知 222 22222 2 () 232 2 2 cos 228 ac ac acbacac B acacac 2 62 262 84 acac ac （当且仅当 22 23ac时，等号成立） ， （8 分） 4 26 ) 4 26 (1cos1sin 22 BB， （10 分） 则BC边上的高26 4 26 4sin Bch， BC边上的高的取值范围为26, 0( （12 分） 18 （本小题满分 12 分） PBPA ， （4 分） AD平面PAB，PBAD ，又AADPA， PB平面PAD， 又PB平面PBC， 平面PAD 平面PBC.（6 分） （2）由PBPA ，可得ABPE ，故以E为原点，ECEBEP,所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系，如图， 同 （1） ， 设1AD， 则)0 , 0 , 1 (P，)0 , 1, 0( A，) 1 , 1, 0( D，) 1 , 0 , 0(C， 则( 1, 1,1)PD ，(0,0,1)AD ， (0, 1,0)CD ， （8 分） 平面PCD的一个法向量为 2 (1,0,1)n， （10 分） 12 12 12 3 1 31 cos, |777 n n n n nn2 1 22 1 ， 故平面PAD与平面PCD所成锐二面角的大小为 3 （12 分） 19 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由统计表可得 1 1 (74.3141.0838.3730.5526.46)42.154 5 x ， 2 1 (41.8239.0823.43 18.99 18.36)28.336 5 x . 可知 21 xx .（4 分） （2）由定义，知男性中只有肺癌属于高发率癌种，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种， （6 分） 设X、Y分别为男、女性前 5 类癌种中抽到的高发病率癌种的类数， 则X的可能取值有 0，1， 2 4 2 5 C3 (0) C5 P X , 11 14 2 5 C C2 (1) C5 P X . 故X的分布列为 X01 P 3 5 2 5 （8 分） 故 5 2 5 2 1 5 3 0)(XE. Y的可能取值有 0，1，2 2 3 2 5 C3 (0) C10 P Y , 11 23 2 5 C C3 (1) C5 P Y , 2 2 2 5 C1 (2) C10 P Y . 故Y的分布列为 Y012 P 3 10 3 5 1 10 （10 分） 故 3314 ( )012 105105 E Y . 可得)()(YEXE，故男性前 5 类癌种中含有高发病率癌种的类数的均值较小.（12 分） 20 （本小题满分 12 分） （2）显然过点 2 F的直线l不与x轴重合，可设直线l的方程为1tyx，且),( 11 yxA，),( 22 yxB， 联立方程 2 2 1 2 1 x y xty ，消去x得012)2( 22 tyyt， 根据根与系数的关系，得 2 2 2 21 t t yy， 2 1 2 21 t yy， （6 分） 联立直线m与直线PB的方程 )( 0 02 2 1 xx xx y y yy ，消去y，整理得)( 1 0 02 2 1 xx xty y y ， 解得 0 2 10121 x y yxyyty x ，将 2 1 2 21 t yy， 2 2 2 21 t t yy代入， 得 202 22 0 2 32 () 22 tt yxy tt xx y 02020202 222 00 22 32 (23) 222 ttt xyx yxyx y ttt xx yy ， （10 分） 若存在点)0 ,( 0 xP满足直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上， 可令 2 3 0 x，则 0202 2 0 2 (23) 2 2 t xyx y t xx y ，与t无关， 故在x轴上存在点P，使直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上，此时点P的坐标为)0 , 2 3 (，定 直线的方程为2x.（12 分） 令) 12()4(2 2 bxbx0（*） ， 则 22 (4)8(21)(4)80bbb， 方程（*）有两个不相等的实根，且 4 8)4()4( 2 1 bb x， 4 8)4()4( 2 2 bb x, 若1 1 x，整理得 2 (4)80bb，又1b ， 2 (4)80bb不成立，故1 1 x； 若1 2 x，解不等式 2 (4)(4)8 1 4 bb ，得3b， 当31b时，函数)(xg在 2 1,x上单调递减，在),( 2 x上单调递增， （9 分） 01) 1(bg，(1)1ln32ln30gb ， 当1b时，函数)(xg有 2 个零点， 当31b时，函数)(xg有 1 个零点， （10 分） 若1 2 x， 解不等式 2 (4)(4)8 1 4 bb ， 得3b， 此时( )0g x ， 故函数)(xg在), 1 上单调递增，( )( 1)1g xgb ，01b，函数)(xg有 1 个零点. 综上，若1b，函数)(xg至少有 1 个零点 （12 分） （2） （法一）由（1）知曲线C是以) 1 , 3(为圆心，2 为半径的圆， 当曲线C上至少有 3 个点到直线l的距离为 1 时， 此时圆心到直线l的距离不大于 1， （5 分） 设直线l的直角坐标方程为kxy ，即0 ykx，其中tank， 圆心) 1 , 3(到直线l的距离为1 1 | 13| 2 k k d，解得30 k，即0tan3， （8 分） 0, )，0, 3 （10 分） （法二）由题意及（1）知曲线C是以) 1 , 3(为圆心，2 为半径的圆，直线l与圆C相交于原点， 当曲线C上至少有 3 个点到直线l的距离为 1 时，直线l与圆C相交的弦长不小于32， 将代入曲线C的极坐标方程4sin() 3 ，得4