液体动压径向滑动轴承设计与分析【说明书+CAD】
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说明书+CAD
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购买设计请充值后下载，，资源目录下的文件所见即所得，都可以点开预览，，资料完整，充值下载可得到资源目录里的所有文件。。。【注】：dwg后缀为CAD图纸，doc,docx为WORD文档，原稿无水印，可编辑。。。具体请见文件预览，有不明白之处，可咨询QQ:12401814
- 内容简介：
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5 8 CHI NES E J OURNAL OF M E CHANI CAL E NGI NEE RI NG V o 1 1 8 ，No 1 ，2 0 0 5 L u Y a n j u n Y u L i e L i u H e n g Th e o r y o f L u b r i c a ti o n a n d B e a d n g I n s t i t u e ， X i a n J i a o t o n g U n iv e r s il y | Xia n 7 1 0 0 4 9 Ch in a 0 I NTRoDUCTI oN N ON L I N E AR D YN AMI C C H AR AC T E R I S T I C S OF H Y DR OD YN AMI C J OUR N AL BE AR I N G F L E X I B L E R O T OR S Y S T E M木 Abs t r a c t ：Th e n o n l i ne a r d y n a mi c b e h a vi o r s of fle x i b l e r o t o r s ys t e m wi t h h y d r o d y n a mi c b e a r i n g s u pp o r t s a r e a na l y z e d Th e s h a ft i s mo d e l e d b y u s i n g t h e fin i t e e l e me n t me t h o d tha t t a ke s t he e ffe c t of i ne r t i a a n d s h e a r i n t o c o ns i d e r a t i o n Ac c o r d i ng t o t h e n on l i n e a r i ty o f t he h y d r o d yn a mi c j o u r n a l b e ar i ng fle x i b l e r o t o r s y s t e ma mod i fie d mo d a 1 s yn t he s i s t e c h ni q ue wi t h f r e e i n t e r f a c e i s r e p r e s e n t e d t o r e d uc e d e g r e e s - o f - fre e d o m of mo d e 1 o f t he fle x i b l e r o t o r s y s t e m Ac c o r di n g t o p h y s i c a 1 c h a r a c t e r o f o i 1 fil m va r i a t i o n a 1 c o n s t r a i n a p p r o a c h i s i n tro d uc e d t o c o n t i n u o us l y r e v i s e t h e v a r i a t i o n a 1 for m o f Re y no l d s e q ua t i o n a t e ve r y s t e p of d yn a mi c i nt e gr a t i o n a n d i t e r a t i o n Fl u i d 1 u b r i c a t i o n p r o b l e m wi t l 1 Re yn o l d s b o un d a r y i s s o l v e d b y t h e i s o p a r a me t r i c fini t e e l e me n t me t h o d wi tho u t t h e i n c r e a s ing of c o mp u t i n g e f f orts No n l i n e ar o i 1 fil m for c e s a n d t h e i r J a c ob i ans are s i mu l t a n e o u s l y c a l c u l a t e d an d t h e i r c o mp a t i bl e a c c u r a c y i s ob t a ine dTh e p e rio d i c mo t i o ns are ob mi n e d b y us ing t h e P oi n c ar6 Ne wt o n F l o q u e t ( P NF ) me t h o d A me t h o d c o mb i n ing t h e p r e d i c t o r c o r r e c t o r me c h ani s m t o t h e P NF me t ho d i s p r e s e n t e d t o c a l c u l a t e t h e b i f u r c a t i o n p o i nt of p e riod i c mo t i o n s t o b e s ub j e c t t o c h an g e of s y s t e m pa r a me t e r s Th e 1 oc a 1 s t a b i l i ty an d b i f u r c a t i o n b e h a v i o r s o f p e rio d i c mo t i o ns are o b t a ine d b y Fl o q u e t t h e o 1 1 1 e c h a o t i c mo t i o n s of t h e b e a r i n g - r o t o r s y s t e m are i n v e s t i g a t e d b y p o we r s p e c t r um Th e n u me r i c a 1 e x a mp l e s s ho w t h a t the s c h e me of t h i s s t u d y s a v e s c o mp u t i ng e f r 0 n s b u t a l s o i s o f g o od pr e c i s i o n Ke y wo r d s ：No n l i n e ar d yn a mi c s Be a rin g - r ot o r s y s t e m S tab i l i t y Bi f ur c a t i o n Ch a o s F i n i t e e l e me n t me t h o d Ro tat i n g ma c h i n e s h a v e f o u n d wi d e a p p l i c a t i o n i n fie l d s s u c h a s p o we r s t a t i o n s ，a i r c r a f t e n g i n e s ，ma c h i n e t o o l s ，a u t o m o b i l e s ， a n d h o u s e h o l d a p p l i a n c e s Be a r i n g r o t o r s y s t e m a s r o tat i n g ma c - h i n e r y , i s a t y p i c a l l y n o n l i n e a r me c h a n i c a l s y s t e mTh e n o n l i n e ar a n a l y s i s me t l l o d h a s t o b e u s e d t o a n a l y z e t h e b e h a v i o r s o f n o n l i n e ar b e a r i n g r o t o r s y s t e m a s t h e l i n e ar a n a l y s i s me t h o d c a n n o t T h e n u me r i c a l me t h o d b e c o me s t h e i mp o r t a n t me a s u r e f o r ana l y z i n g t h e s t a b i l i t y a n d b i f u r c a t i o n p r o b l e m o f t h e b e ari n g r o t o r s y s t e m wi t h mu l t i d e g r e e s o f - fre e d o m b e c a u s e ana l y t i c a l me t h o d d o e s n o t wo r k e ffic i e n t l y At p r e s e n t a l o t o f r e s e a r c h e s h a v e b e e n ma d e i n t h e fi e l d o f t h e n o n l i n e ar b e a r i n g r o t o r d y n a mi c s i n t h e wo r l d Un f o r t u n a t e l y , t h e v h a v e s o me d i s a d v ant a g e s i n mo d e l i n g t h e r o t o r an d t h e b e a r i n g an d are n o t u t i l i z e d t o d i r e c t l y g u i d e the d e s i g n o f d y n a m i c s o f p r o d u c Be c a u s e o f t h e c o mp l e x i t y o f t h e n o n l i n e a r an a 1 y s i s t h e n o n l i n e ar mo d e l o f b e a r i n g r o t o r s y s t e m i S c o mmo n l y s i mp l i fie d a s the n o n l i n e a r mo d e l wi t h f e w d e gre e s o f - fre e d o m an d a n a l y t i c a l f o r ms o f b e a r i n g f o r c e s F o r e x a mp l e ，a s y mme t r i c a l rig i d r o t o r 【 ， o r J e f r c o t t r o t o r mo d e l t p o l y n o mi a l mo d e l 【 。 ， an d s h o r t o r l o n g b e a r i n g mo d e 1 wh i c h d o n o t t r u l y r e p r e s e n t t l l e p r a c t i c a l s y s t e m a c c ura t e l y T h e n o n l i n e ar o i l fil m for c e s o f b e a r i n g s i n t h e s e s t u d i e s h a v e t h e an a l y t i c a l form s b u t t h e n o n l i n e ar f o r c e s c an n o t g e t t h e a n a l y t i c a l for r n s i n p r a c t i c a l b e ari n g r o t o r s y s t e m Ne v e rth e l e s s t h e r e i s s t i l l a l o t o f wo r k t o d o for t h e n o n l i n e ar an a l y s i s o f t h e b e a ri n g r o t o r s y s t e m Du e t o t h a t b e a r i n g s s u p p o rti n g r o t o r ar e n o n l i n e a r i n n a t u r e ， n o n l i n e a r mo t i o n o f r o t o r s u p p o rte d b y b e a r i n g s i s c a u s e d T h e n o n l i n e ar o i l fi l m for e e s a c t o n a few n o d a l p o i n t s o f r o t o r i n d i v i d u a l l y , t h u s b e a rin g r o t o r s y s t e m i s t y p i c a l l y d y n am i c s y s t e m wi t h l o c a l n o n l i n e a r i t i e s I n a d d i t i o n 1 o c a l n o n l i n e a r i t i e s a n d l i n e a r c o mp o n e n t s o f t h e b e a r i n g - r o t o r s y s t e m are c o u p l e d S o t h e e ffe c t fro m t h e n o n l i n e ari ty i s g l o b a 1 T h i s p r o j e c t i s s u p p o rt e d b y Na t i o n a l N a tu r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a ( N o 5 0 2 7 5 1 1 6 ) a n d Na t i o nal 8 6 3 o f C h i na(No 2 0 0 2 AA 4 1 4 0 6 0 ， N o 2 0 0 2 A A一 5 0 3 0 2 0 ) R e c e i v e d N o v e mb e r 1 8 ， 2 0 0 3 ； r e c e i v e d in r e v i s e d f o r m S e p te mb er 1 5 ， 2 0 0 4 ； a c c ep t e d De c em b e r 8 ， 2 0 0 4 R e f 1 0 】 r e p r e s e n t s a mo d a l r e d u c t i o n me t h o d t h a t i s u t i l i z e d f o r a h i g h - o r d e r d y n a mi c s y s t e m wi th l o c a l n o n l i n e a r i ty Base d o n mo d a l s y n t h e s i s t e c h n i q u e wi t h fi x e d - i n t e r f a c e a me t h o d for d e t e rm i n i n g t h e p e rio d i c s o l u t i o n a n d i t s s t a b i l i t v o f a d y n a mi c s y s t e m wi t h l o c a l n o n l i n e a r i t i e s i s p r e s e n t e d i n Re f l 1 I n t l l i s p a p e r ,t h e s h a ft i s d i s c r e t i z e d i n t o fi n i t e e l e me n t s wi t h mu l t i d e gre e s - o f - fre e d o ms b y u s i n g a 2 n o d e T i mo s h e n k o s h a ft f i n i t e e l e me n t mo d e 1 Ac c o r d i n g t o t h e n o n l i n e a rit y o f the r o t o r s y s t e m， a mo d i fi e d mo d a l s y n t h e s i s t e c h n i q u e wi t h fre e i n t e r f a c e i s r e p r e s e n t e d t o r e d u c e d e gre e s o f - fre e d o m o f a fi n i t e e l e me n t mo d e l o f fl e x i b l e r o t o r s y s t e mA e r r e d u c t i o n t h e s y s t e m s t i l l k e e p s i t s n o n l i n e a r i t y and s a v e s n o n l i n e ar ana l y s i s e ff o rt s o f the s y s t e m An i s o p a r a me t r i c fin i t e e l e me n t wi t h e i g h t n o d a l p o i n t s me t h o d wh i c h i s b a s e d o n the v a r i a t i o n a l c o n s t r a i n a p p r o a c h i s u s e d t o s o l v e e l l i p t i c a l v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s wi t h Re yn o l d s b o u n d a r y a r i s i n g i n flu i d l u b r i c a t i o n A p e r t u r b e d e q u a t i o n C an b e o b rai n e d d i r e c t l y o n t h e fin i t e e l e me n t e q u a t i o n Co n s e q u e n t l y , n o n l i n e a r o i l fil m f o r c e s an d the i r J a c o b i a n s are c a l c u l a t e d s i mu l t a n e o u s l y , an d c o mp a t i a b l e a c c ura c y i s o b t a i n e d wi t ho u t the i n c r e asi n g o f c o mp u t i n g e ff o r t s T h i s c an n o t l e a d t o s h a ft r u b b i n g an d b a d c o n v e r g e n c e o f i t e r a t i o n s T h e u n b a l a n c e r e s p o n s e s T p e rio d i c mo t i o n ，and b i f u r c a t i o n b e h a v i o r s o f the s y s t e m wi t h t h e c h an g e o f b e a r i n g d e s i g n p aram e t e r are o b t a i n e d b y u s i n g t h e P N下 me t h o d ，F l o q u e t the o ry a n d c o mb i n a t i o n o f p r e d i c t o r c o r r e c t e r me c h ani s m a n d P NF me tho d Th e c h a o t i c c h a r a c t e r o f the b e ar i n g r o t o r s y s t e m i s i n v e s t i g a t e d b y p o we r s p e c t r u m 1 S YS TE M E QUA T I ONS OF MOT I ON A typ i c a l b e a rin g r o t o r s y s t e m wi t h l o c a l n o n l i n e a rit y i s s h o w n i n F i g 1 w h i c h c a n b e d i v i d e d i n t o l i n e a r c o mp o n e n t s ( t h e fl e x i b l e s h a ft wi t h o u t d i s k and b e a r i n g s ) and l o c a l n o n l i n e a r c o m p o n e n t s ( n o n l i n e a r b e n g s ) A 2 一 n o d e T i mo s h e r l l 【 o s h a f t e l e me n t mo d e l wi t l l 8 d e e e s o f _ f lr e e d o m【 J ， a S s h o wn i n F i g _ 2 ， wh i c h c a J 1 a c c o mn f b r t h e e _e c t o f e ni a mo me n t a n d s h e a r d e f 0 lm a t i o n s a d o p t e d Us i n g t h e f i n i t e e l e me n t me t h o d ， ne x i b l e s h a f t e q u a t i o n s O f l a t e r la l mO 6 O n b e wr i t t e n a s 肌 +G +七 =Q +， ( ， ) ( 1 ) wh e r e 肌 R ， G R ， 七 R ， Q R ， ， ( X ， ) 维普资讯 CHI NES E J OURNAL OF MECHANI CAL E NGr NE ERr NG 5 9 a r e t h e ma s s ma t r i c e s ，g y r o s c o p e ma tri c e s ，s t i ff n e s s ma tr i c e s ， e x t e rna l f o r c e v e c t o r( i n c l u d i n g we i g h t f o r c e s a n d u n b a l a n c e d f o r c e )a n d n o n l i n e a r f o r c e v e c t o r s o f b e a r i n g s a c t i n g o n a l l n o d a l p o i n t s o f t h e l s h a f t r e s p e c t i v e l y F o r a s h a f t wi t h P n o d a l p o i n t s ， t h e d i s p l a c e me n t v e c t o r i s o f t h e f o r m n o n l i n e a r i t y T o r e d u c e t h e d e g r e e s o f - fre e d o m o f t h e l i n e ar c o mp o n e n t ， X i s writt e n a s a l i n e ar c o mb i n a t i o n o f n c o l u mn s X = 1 ， Y 1 ， ， 1 ， x 2 ， Y ： ， 仍 ， ： ， - - ， x p ， Y P ， p ， ( 2 ) wh e r e wh e r e x i ， Yi ， i ， l f ， i t j = l ， 2 ， ， a r e t h e l a t e r a l t r a n s l a t i o n s a n d r o t a t i o n a n g l e s o f t h e j t h n o d a l p o i n t a l o n g t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l d i r e c t i o n，r e s p e c t i v e l y No n l i n e a r f o r c e v e c t o r c a n b e w nt t e n a s F ( ， ) = 0 ， ， F 0 ， ， ， ， 0 ， ( 3 ) wh e r e “ a r e t h e h o r i z o n t a l a n d v e rti c a l o i l fil m for c e s o f j o u r n a l b e a r i n g a c t i n g o n t h e j t h p o in t o f t h e s h a ft Du e t o t h e n o n l i n e ar o i l fil m f o r c e s o f b e a r i n g s a c t i n g o n f e w n o d a l p o i n t s o f r o t o r i n d i v i d u a l l y t h u s for r o t o r s y s t e m s u p p o rte d b y b e a r i n g s ， t h e f o r c e s o f b e a fi n g s a r e o f t h e l o c a l f e a t u r e a s f o l l o ws F ( ， ) = ( ， xs ) ， 口 ( 4 ) wh e r e X R4 m，F x ， x s 、 R 4 c a n b e w r it t e n a s = ， Y ， ， ， - - ， x m ， Y ， ， ( 5 ) xs ， xs ) = ， F ， 0 ， 0 ， ， ， 0 ， 0 ( 6 ) F i g 1 S k e t c h o fa b e a r i n g r o t o r s y s t e m l l yz Fi g 2 S h a ft fin i t e e l e me n t mo d e l To s i mp l i f y n o t a t i o n s ，t h e o r d e r o f t h e v e c t o r c o mp o n e n t s i s r e a r r a n g e d a n d E q ( 1 ) c a n b e p a r t i t i o n e d a s ： ： H 曼 ， = 篓 + 毫 (7) As mu c h c o mp u t i n g t i me i s n e e d e d f o r a r o t o r s y s t e m wi t h mu l t i d e gre e s o f-fre e d o m， i t i s i mp o rt a n t t o r e d u c e t h e d e gre e s o f - fre e d o m o f t h e s y s t e m u n d e r t h e c i r c u ms t anc e o f ma i n t a i n i n g a c c u r a c y o f t h e s y s t e m r e s p o n s e s Be c a u s e t h e s y s t e m i s d y n a mi c s y s t e m wi t h l o c a l n o n l i n e a r i t y , n o n l i n e ar d e gre e s o f - fre e d o m X are o n l y c o n tr o l l e d b y n o n l i ne ar e q u a t i o n s an d t h e l i n e ar d e gre e s o f-fre e d o m d e p e nd o n n o n l i ne ar d e g r e e s o f-fre e d o m X ， t h e r e f o r e t h e l i n e ar d e g r e e s o f-fre e d o m o f s y s t e m c a n b e r e d u c e d I n o r d e r t o i n c r e a s e t h e n u me r i c a l a c c u r a c y a n d a v o i d i n tr o d u c i n g n u me r i c a l e r r o r s t o n o n l in e a r s o urc e s o f t h e s y s t e m， n o n l i n e a r o i l fil m for c e s a n d n o n l i n e ar d e gre e s o f- fre e d o m o f t h e s y s t e m are r e ma i n e d i n p h y s i c a l s p a c e and t h e l i n e a r d e g r e e s o f f r e e d o m o f s y s t e m are trans f o rm e d i n t o mo d a l v e c t o r s T h e r e for e t r u n c a t e d mo d a l t r a n s f o rm a t i o n c a n b e u s e d t o r e d u c e t h e l i n e a r t h e de gre e s o f-fr e e d o m o f s y s t e m Th e r e d u c e d s y s t e m s t i l l k e e p s t h e l o c a l X = p r a = ， ( 8 ) ( 9 ) He r e ， t h e c o l u mn s o f ma t rix R wi t h t h e k e p t e l a s t i c e i g e n mo d e s a r e t h e ma s s n o rm a l i z e d s o l u t i o n s ( JI 一c o ； 朋 ) I = 0( = 1 ， ， n k ) o f t h e u n d a mp e d e i g e n p r o b l e m for ( 0 ， ) Th e c o l u mn s o f t h e ma tri x R wi t h t h e r e s i d u a l fl e x i b i l i ty mo d e s are c a l c u l a t e d a s f o l l o ws =k S- 1 _ Ibb I wh e r e R wi t h t h e k e p t a n g u l ar e i g e n f r e q u e n c i e s l o we r t h an o r e q u a l t o 4 ,3 1 is d ia g o n a 1 T h e n j S t a r t i n g fr o m E q ( 1 1 ) ， ，P c a n b e wr i tt e n a s b -10 P l J l ， 从 儿 i J 一 Th i s r e s u l t s i n t h e f o l l o wi n g t o t a l tr a n s f o rm a t i o n X =r t , ( 1 3 ) I n t h e a b o v e e q u a t i o n，t h e tra n s f o rm a t i o n ma t r i x l Ap p l y i n g t h e tr a n s f o rm a t i o n E q ( 1 3 ) ，t h e r e d u c e d c o mp o n e n t e q u a t i o n s b e c o me T 朋 +T G +T JI r t , =T Q + F ( 1 4 ) Aft e r r e d u c t i o n ，n ( n=n +n ) o r d e r e q u a t i o n s o f t h e s y s t e m are r e d u c e d t o s ( s =n +n ) o r d e r e q u a t i o n s T h e n o n l i n e ar for c e s 0 f b e a r i n g s and t h e u n b a l a n c e for c e s o f d i s k s c an b e e a s i l y a d d e d t o t h e r e d u c e d l i n e ar e q u a t i o n F r o m E q s ( 1 1 ) ( 1 4 ) ， it i s e v i d e n t t h a t t h e u n b a l a n c e for c e s o f s h a ft a n d n o nl i n e ar e ffe c t s are d e ft n i t e l y r e ma i n e d i n t h e r e d u c e d Eq ( 1 4 ) Be c a u s e o f t h e e ffe c t s o f u n b a l a n c e for c e s o f d i s k s ， t h e e q u a t i o n o f mo t i o n o f t h e r e d u c e d me c h an i c a l s y s t e m i s g i v e n b y 朋 +G 哥+k q=Q ( 1 5 ) q= ， p 朋 = 朋 T+朋 G= G + JI = JI T+JI Q= Q + F + ( 1 6 ) wh e r e 朋 ， ， ， 。 aret h e ma s s ， d a mp i n g ， s t i ffn e s s ma t r i c e s o f d i s k s ， u n b a l an c e f o r c e s v e c t o r c a u s e d b y ma s s e c c e n t r i c i ty o f d i s k s Wh e n s t a t e v a r i a b l e s X =( 口 ， 哥 ) are i n tr o d u c e d ， t h e c o rr e s p o n d i n g s y s t e m e q u a t i o n i n s t a t e s p a c e i s = 朋 口 (Q G 哥 2 CALCULATI oN o F NoNLI NEAR FoRCES AND J ACoBI ANS oF H YDRo DYNAM I C BEARI NGS ( 1 7 ) Co mp a t i a b l e a c c u r a c y o f n o n l i n e a r o i l fil m f o r c e s a n d t h 维普资讯 6 0L u y a n j u n ， e t a l ： N o n l in e a r d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c so f h y d r o d y n a m i c j o u r n a l be a r i n g - fle xi b l e r o t o r s y s t e m e i r J a c o b i a n ma t r i c e s a ffe c t s n o t o n l y t h e c o n v e r g e n c e o f t h e P NF me t h o d s o l v i n g p e ri o d i c s o l u t i o n b u t a l s o t h e a n a l y s i s o f s t a b i l i t y a n d b i f u r c a t i o n o f p e rio d i c s o l u t i o n T h e v e r a c i ty o f J a c o b i an s o f n o n l i n e a r f o r c e s a f f c c t s s o l u t i o n o f Fl o q u e t mu l t i p l i e r s d e t e r mi n - i ng s t a bi l i t y o f p e r i o d i c s o l u t i o n As t h a t n o n l i n e a r o i l fil m f o r c e s o f b e a r i n g s are t h e f u n c t i o n o f d i s p l a c e me n t s an d v e l o c i - t i e s o f t h e c e n t e r o f t h e s h a ft， d i s c r e t e e q u a t i o n s o f s o l vi n g o i l p r e s s u r e fun t i o n a r e o b t a i n e d b y us i n g t h e fin i t e e l e me n t me t h o d Ac c o r d i n g t o f e a t ur e s o f the e q u a t i o n s ，t h e p e r t u r b a - t i o n c a n b e p e rfo r me d d i r e c t l y o n t h e fin i t e e l e me n t e q u a t i o n s ， a n d t h e r e for e o i l fi l m for c e s a n d t h e i r J a c o bi a n s a r e c a l c u l a t e d s i mu l t an e o u s l y Co n s i d e r the f o l l o wi n g d i me n s i o n l e s s Re y n o l d s b o u n d a r y p r o b l e m a r i s i n g i n fl u i d l u b ric a t i o n 南 (筹 器 ) + (丢 击 ( 筹 ) = s + 6 (y co s + n cs wh e r eP i s t h e p r e s s ure f u n c t i o n o fo i l fil m， a i s t h e d yn a mi c v i s - c o s i t y o f o i l ，d S i s the d i a m e t e r - t o w i d t h r a t i o o f the b e a r i n g ， h i s t h e d i me n s i o n l e s s o i l fi l m thi c k n e s s ， i s t h e ang l e f r o m t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n o f y a x i s t o t h e o i l fil m l o c a t i o n ， 0 i s the e c c e n t r i c an g l e ， i s the ang l e fro m l i n e o fthe e c c e n t r i c ang l e t o o i l fi l m l o c a t i o n ， a s s h o w n i n F i g 3 and F i g 4 E q ( 1 8 ) i s e q u i v a l e n t t o the fol l o wi n g d i s c r e t e f o rm o f e l l i p t i c a l v a r i a t i o n a l i n e q u a l i ti e s L ( p， g ) g )P 0 i n P=0i n O O p=0 V qK ( 1 9 ) F x(x，, y ，,埘Yc,y)：= -SSn P (x，,y ,j,)sin #dO- L p (x Y j,)cos (22) l ( ， ，J=，)= ， ， ， By u s i n g t h e i s o p a r a me t r i c fi n i t e e l e me n t wi th e i g h t n o d a l p o i n t s me t h o d ，t h e d i s t r i b u t i o n o f p r e s s ure s o f n o d a l p o i n t s Pi i n o i l fil m fie l d i s s o l v e d T h e f u n c t i o np c an b e e x p r e s s e d a s P ： EP ，L ( 2 3 ) wh e r e L f i s the int e r p o l a t i n g fun c t i o n o f t h e fi ni t e e l e me n t S u b s t i t u t i n g E q ( 2 3 ) i n t o E q ( 1 9 ) ， n o r d e r d i s c r e t e i n e q u a l i t i e s are gi v e n a s f o l l o ws d Q T V Q0 ( 2 4 ) w h e r e = 】 e R ， e R ， P= P i R ， Q= q R F o r s o l v i n g E q ( 2 4 ) ， c o mp o n e n t s o f the ma t r i x and v a r i a b l e are n e e d e d S u b s t i tut i o n o f i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s o f t h e fin i t e e l e me n t L f ， ， i n t o ， g ) ， 5 ) g i v e = ， L ， ) ， = ( ) T h e n E q ( 2 4 )c an b e e q u i v a l e n t t o c o n s t r a i n i t e r a t i v e e q uat i o n s a ri s f y ing v a r i a t i o n a l i n e q u a l i ty a S fol l o ws ( ， y ) P： r( ， Y ， ， j =， ) ( 2 5 ) wh e r e ma t r i x and v a r i a b l e are s p a r s e ， b and e d and s y mme t r i c ma t r i x and c o l u mn v e c t o r wi t h the fi r s t ， t h e s e c o n d c o n s tra i n c o n - d i t i o n r e s p e c t i v e l y Aft e r P i s s o l v e d，s u b s t i tut ing E q ( 2 3 )int o E q ( 2 2 ) ， o n e o b t a ins w h e re 烈 p ， = f h 3 10p aO q +(丢 ) 印 -D却-7 d is m e restrict， s y mme t r i c and e l l i p t i c a l b i l i n e a r f u n c t i o n a l o n ( ) ( ) ， wh e r e ( ) i s a S o b o l e v s p a c e ， P ( ) ， p 0i n ， ( g ) = f fn V q d O is l in e a r f u n c t i o n a 1 i s th e o -l fi e ld o f th e s in g le p a d ， 8 n i sb o n d o f Q ， h i stheang l efro m l i n e o f the e c c e n t r i cang l e t o i n t e r s e e t i o n c u r v e o f c a v i tat i o n fi e l d wi t h n o c a v i tat i o n fie l d o f o i l fi l m ( the i n t e r s e c t i o n c u r v e c h ang e wi t h the c h ang e o f p e r t u r - b a t i o n o f d i s p l a c e me n ts and v e l o c i ti e s o f t h e c e n t e r o f s h a ft ) I n the a b o v e e q u a t i o n s the d i me n s i o n l e s s o i l fi l m thi c k n e s s h and v a r i a b l e c an b e wr i t t e n a s h=I + x s i n #+y c o s =-3 ( x c o s # 一ys in ) +6 ( p c o s #+ s i n ) 】 ( 2 0 ) = 0 _ J f l q O 0 Fi g 3 Co o r d i n a t e o f s in g l e p a d F i g 4 Co o r d i n a t e o fe l l i p t i c a l b e a r i n g Be c a u s e n o n l i n e a r o i l fil m f o r c e o f b e a r i n g i s the f u n c t i o n o f d y n am i c l o c a t i o n o f t h e c e n t e r o ft h e s h a ft， o i l fil m f o r c e c an b e wr i t t e n a s Fx ：= Fx( x，, y ,， k,，y ) c2 F Fv c an b e c a l c ul a t e d b y i n t e g r a t i o n s o f o i l fil m p r e s s u r e o n the wh o l e o i l fi e l d s r e s p e c t i v e l y f l F A x ， Y ， ， ) = EP = U P ( 2 6 ) 1 【 z o J I ( ，Y ， ， ) ： p V ： P L t = l =一儿L s in # d ( 2 = 一 儿L c o s d d O (2 7 ) b o th a r e c o n s t a n t c o l u mn v e c t o r s Th e J a c o b i ans o f o i l fil m Fn Fv wi th r e s p e c t t o j o u r n a l d i s p l a c e me n t ， Y a n d v e l o c i t i e s ， j =， c a I l b ewr i tte n a s 8 F t 8 F x 8 F x 8 F x l 献 a F y 8 F y 8 F y a F y I 一I U U 一 ， j i = ， Y = ， Y ， ， j =， ( 2 8 ) w e ：罢 ， ： ， ： ， ： 一g p a n i o x o v o x o v d e ri v a t i v e s o f E q ( 2 5 )w i th r e s p e c t t o ， Y ， ， g i v e s p e r t u r b e d e q ua t i o n =5 ： 一 龟P k = ， Y ， ， j =， ( 2 9 ) w h e r e c o m p o n e n ts o f m a t r ix 龟( k = ， Y ， ， j =， )and v e c t o r 5 ： ( 后 = ， Y ， ， ) c anb e w r itt e n a s th e f o l lo w in g fo rm 誓 = JJfa 0 $ 堡0 $ + ( -2 0L s s 等 = = s儿 箸 + (丢 ) 割 cos ：0 ：0 ( 3 0 d v 维普资讯 CHI NES E J OURNAL OF M E CHANI CAL E NGI NEE RI NG 6 l I警： 一 。 儿 s ：-6 f f , t , s i n ：3 儿 n ， - ( 3 1 ) =- _ 6 儿 s S u b s t i t u t i n g ( k=x ， Y ， ， )i n t o E q ( 2 8 ) ，J a c o b i a n s o f t h e o i l fi l m f o r c e s c a n b e o b t a i n e d I t i s e v i d e n t t h a t E q ( 3 1 ) d o e s n t n e e d t o b e r e c o m p u t e d b e c a u s e t h e y r e s e mb l e E q ( 2 7 ) E q ( 2 9 ) c a n b e o b t a i n e d f r o m E q s ( 2 5 ) ， ( 2 7 ) a n d( 3 O ) wh e n ( k=x ， y ， 丘 ) i s c a l c u l a t e d T h i s i s b e c a u s e t h e c o e f f i c i e n t ma t r i x o f E q ( 2 9 )a n d E q ( 2 5 )i s t h e s a me I t i s e v i d e n t t h a t J a c o b i a n s o f t h e o i l fil m for c e s a r e o b t a i n e d wh e n t h e o i l fil m f o r c e s a r e s o l v e d b e c a u s e E q ( 2 9 ) h a s t h e s a me c o e ff i c i e n t ma - t r i x咖a s t h e Eq ( 2 5 ) Th e r e f o r e ，a c c u r a c y a n d r e l i a b i l i t y of a n a l y s i s o f n o n l i n e a r are e n s u r e d 。 t h e c o mp u t i n g wo r k s p e n t o n t h e J a c o b i a n s t h a t are n e e d e d a t e v e r y s t e D O f d y n a mi c i n t e g r a t i o n an d i t e r a t i o n i s mu c h l e s s t h a n t h a t s p e n t o n t h e o i l fil m f o r c e s t h e ms e l v e s a t e v e r y s t e p O f d v n a mi c i n t e g r a t i o n a n d i t e r a t i o n 3 NoNLI NEAR PERI oDI C REPoNS ES AND M ETHoD oF PERI oDI C S oLUTI oNS Th e r u n n i n g b e a r i n g - r o t o r s y s t e m i s a l wa y s e x c i t e d b y d i s t u r - - b a n c e I t i s a s s u me d t h a t the e x t e r n a l l o a d a c t i n g o n the s y s t e m i s p e rio d i cwi th T ( f ) = ( f + ) ( 3 2 ) Th e s t e a d y - s t a t eb e h a v i o ro f the s y s t e m, i e the a t t r a c tor tha t i s r e a c h ed a ft e r the t r a n s i ent h a s d a mp e d o u t ， mi g h t be period i c ， q u a - s i p e r i o d i c o r c h a o ti c 1 厂 I l e P e r i o d i c s o l u t i o n s o f the s y s t e m c a n b e c o me u n s tab l e in c e r t a in i n ter v a l s o f the s ys t e m p ara me t e r , s u c h as the an g u l ar s p eed o f r o t o r c o 。d i a me t e r - t o wi d th r a t i o o fthe be a r i n g d B。c l e a r a n c e t o - r a d i u s r a ti o ， c i r c u mf e r en t i a l g r o o v e - to wi d th rat i o B B( c i r c u mf e r e n t i a l g r o o v e l o c a t e d o n u p p e r p a d ) p ad a r c e l l i p t i c a l r a t i o ， ma s s e c c e n t r i c i t y e ， e t c Th i s i n s tab i l i - t y i s c a u s e d b y t h e n o n l i n e ar c h ara c t e ris t i c s o f the b e a r i n g s Ge n e ral l y , in the s e int e r v a l s the ma x i ma l r e s p o n s e o f the s y s t e m wi l l inc r e a s e an d a l s o fre q u e n c i e s i n a d d i ti o n t o tha t o f t h e l i n e ar s y s t - e m c an o c c u ri nthe r esp o n s e Th i sma yl e a dt o s h a ft r u b b i n gwh i c h i s u n d e s i r a b l e i n p rac t i c e S o f o r p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n i t i s i mp o r t a n t to d e t e r mi n e the s e un s tab l e int e rva l s o f d e s i g n v a l u e an d thek indo f be h a v i o r sthat r e s u l tin the s eint e rva l s ： p e rio d i c ， q u as i p e r i od i c o c h a o t i c 3 1 PNFI ETHoD P NF ( P o inc ard Ne wt o n F l o q u e t ) me tho d c o n s i s t s o f s o l v i n g a t wo - p o int b o un d a r y v a l u e p r o b l e m an d s tab i l i t y an a l y s i s o f F l o q u - e t b i f u r c a ti o nthe o r y I f an ini t i a l i t e r a t i v e p o s i ti o n i s g i v e nasg l t o ) E q ( 3 4 )i s int e g r a t e d b y me a n s o f a n u me ri c al ti me int e gra t i o n me thod o v e rthe p e r i o d Tand a Tp e ri o d i c s o l u t i o n i s foun d i ft h e f o l l o wing c ri t e r i o n i s s a t i s fie d H( X s ， u ) = Xs ( t o + X( ) ： 0 ( 3 3 ) F o r a g i v e n s y s tem d e s i gn v a l u e l | = l | f ， the c o r r e s p o n d i n g s o - l u t i o n X c an b e o b tai n e d u s i n g the i t e rat i v e Ne wt o n - R a p h s o n p r o c e s s Th e J a c o b i an ma t r i x c a n b e o b tai n ed i n the f o l l o wi n g f o r m O H 一 ， 一J 0 X, ( 3 4 ) wh e r e _ ，：O X(t o- _ -+T ) i s c a l c u l a t e d b y n u me ri c a 1 t i me i n t e g r a t O X( t o ) i o n o f s y s t e m E q ( 1 7 ) w i th a i n i ti a l i te rat i v e v a l u e ( X l t o ) ， J ) and 苦 (= a _r (3 5 ) wi th 6 S ( t o ) ：l and 8 S( t o +T ) =J o v e r the p od I n E q ( 3 5 ) ， F =F( t ， l | ， ) = 3 2 P ERI oDI C M哐THoD CoNS I S TD G oF P REDI CTo1 CoRRECToR M ECHANI S M AND PNF M匮THoD Th e c o mb i n a t i o n o f the p r e d i c t o r - c o rre c t o r me c h an i s mL an d the P NF me tho d c a l l e d c o n t i n u ati o n o f p e riod i c s o l u t i o n me t h od c o mp u t i n g wh o l e s o l u t i o n b r a n c h e s wi th the c h an g e o f the s y s t e m d e s i g n v a l u e I f t h e e x a c t s o l u t i o n a t u = u i s k n o wn ，a s o l u t i o n a t u =u + 1 c a n b e o b taine d Co n t i n u a t i o n o f p e rio d i c s o l u t i o n me thod i s u s ed t o inv e s t i g a t e h o w a p e rio d i c s o l u tio n i s in fl u e n c e d b y a c h an g e i n l | S t a r t i n g fro m a kn o wn s o l u t i o n a t u = u n ， the p r e d i c t i o n o fn - s t e p i s = 一 -i l | l=l | +Au S u b s e q u ent l y thi s p e r i od i c s o l u ti o n i s c o r r ect ed b y s h o o t i n g me thod a t u = l | 1 He r e ，O H ( X,一u )c an b e c alc u l a t e d b y n um e r i c a l o u t i m e i n te g r a ti o n o f s y s t e m E q ( 1 7 ) a bou t th e t r a j ect o r y X( + and 芸 ( ) = O F ( t, u , X ) + O F ( t, u ,X ) (3 7 ) wi th ( t o ) =0 6 S ( t o + ) ：O H_(-X , ou 4 NUM ERI CAL EXAM P LES AND RES UI r S Th eu n b alan c e r e s p o nses o fa b e a r i n g - rotor s y s t e m wi th ari g i d d i s k( n o t e d D1 ) and two e l l i p ti c a l b e a r i n g s u p p o r t s ( n o t e d B1 ， B 2 ， P a d arc l 5 0 。 d y n am i c v i s c o s i ty o f o i l ：0 0 2 8 7 P a s， wi d t h t o - d i a me t e r rati o ： ： O 8 1 we r e ana l y z e d n u me ri c a l l y( s e e F i g 1 and F i g 4 ) 1 h e s h a f t( d i a me t e r O 4 5 r n l e n s 8 4 r n Y o ung s mo d u l u s 2 0l 0 “P a , s h e ar mod u lu s 7 6 9 2 3 l 0 P a ,ma s s d e n - s i ty 7 8 0 0 k g m 1 i s equa l l y d i s c r e t i z ed i n t o s i x fi n i te e l e me n t s S o the fi n i te e l e m ent mode l o f the s y s t e m h a s 7 n ode s ( 2 8 d e - g r e e s o f - fr e edo m)and two o f the m a r e s u p p o r t e d b y n o n l in e ar b e a r i n g s 1 n od e o fthe s h a ft e l e me n t h a s 4 d e grees - o f - fre edo m T wo e l l i p t i c a l b e a r i n g s are u s e d a t B1 ，B2 s tat i o nsIn thi s c ase ， four d e gree s o f - freed o m o f the s y s t e m are a ffect ed d ire c t l y b y n o n l ine ar f o r c e s S o the r o tor s y s t e m i s t y p i c a l l y n o n l ine ar d y - n am i c s y s t e m wi th l o c a l n o n l i n e a r i tyMa s s e c c en t r i c i ty o f the s h a ft( P = l 岬 ，P = l O m) andthed i s k( =0 P l 0 m) h as the s a me r o tat i n gp h asean g l e Ei g h t e i g e n mo d e s a l et a k en in the s e e x am p l e s Th e i n fl u en c e o fmod a l r ed u c t i o n o n the a c c r a c y o f the r e s u l ts i s ana l y z e d F o r O 0 0 3 ， ： 0 0 2 8 7 P as ， 8 = 0 5 5 6 ， B B= O ， ：l 0 0 0 r mi n t h e p e riod i c s o l u t i o ns o fthe s y s tem we re s o l v ed b y e i g h t e i g e n mod es mod e l an d f u U e i g e n mod e s mod e l r e s p ect i v e l y I f a n i n i t i a l i t e r a t i v e pos i t i o n i s g i v e n as X( ) ， p e r i - od i c s o l u ti o n s a r e s o l v e d b y the P NF me thod 1 厂 I l e k t h p e r i od i c e o ri s e t b ytheP NFme t h od 1 厂 I l emod eo f thel e a d i n gFl o q u e t mu l - 邱l J i s l ， 删 l=O 9 3 8 8 6 1 =- 0 0 6 3 7 5 l 5 + o 9 3 6 6 9 4 j ， c o rr e - s pon d i n g F l o q u e t e x pon e n t 厂 c o nsi s ts o f R e ( f 0 1 0 0 4 0 7 ， I m( 0 2 6 0 8 l 5 P eri odi csol u ti o ns a t B 】 s ta ti o n a r e 初：2 o o l x l o _ 4 ， v B = 2 1 2 8 x 1 0 - ， = 7 4 4 3 x l o _ 4 ， ， ：- 9 4 0 5 x l 旷 b y r e d u - c e d mode l( e i g h t e i g i e n mo d e s mo d e 1 ) Th e mo d e o f th e l c a d i n g F l 0 q u e t t i p l i s l厂 咄 l=O 9 3 8 9 2 4 ： _ J 0 O 6 4 O l 7 + o 9 3 6 7 3 9 j ， c 0 r r e s p o n d F l o q u e t e x p o n 叽t c 0 n S i S t S o f R e ( ， _ J 0 O l O o 3 ， I 厂 。 户_ J 0 2 6 0 8 6 P 0 d i c s 0 l 0 n a t s 切 d 0 n a r e 初。 = 1 9 9 8 l ， ， C 【 维普资讯 ： 鱼 ： 型 ! 型 ： 0 n l i n e a r I c ! a c t e r i s t i c s o f h y d r o d y n a m i c j o u rn a l b e a ri n g - fl e x i b l e r o t o r s y s t e m Y S = 2 1 1 6 1 0 ， (P B I=7 4 6 0 1 0 ， =一 9 4 2 3 1 0 一 b yt h e o r i g i n a l mo d e l ( i e f u l l f r e e d o m o f - f r e e d o m mo d e 1 ) T a b l e s h o ws t h e p e r i o d i c e r r o r s c a l c u l a t e d b y t h e d i ffe r e n t mo d e l s O 3 Ta b l e Pe r i o d i c e r r o r s c a l c u l a t e d b y t he PNF m e t h od v e r s u s di f f e r e n t O 1 mo d e l ( e i g h t e i g e n mo d e s mo d e l o r f u l l e i g i e n mo d e s mo d e 1 ) f o r c cJ 1 0 00 r rai n ， =0 55 6， w=O 0 0 3 ， B B=0 I t c a n b e s e e n t h a t c o n v e r g e n c e o f v e l o c i t y o f t h e P NF me t h o d i s v e r y r a p i d I t i s s h o wn t h a t t h e n o n l i n e a r o i 1 fil m for c e s a n d t h e i r J a c o b i a n s h a v e c o mp a t i b l e a c c u r a c y a n d e n o u g h a c c u r a c y h a s b e e n a c h i e v e d wh e n e i g h t e i g e n mo d e s are u s e d Fo r g r = O0 0 3 ， =0 0 2 8 7 P as ， 6 =O 5 5 6 ， B B= O 4 ， 0 c o 1 5 2 6 r mi n( i e =1 5 2 6 r min ，I 后 la ) 【 I= I 0 b y u s i n g t h e c o n t i n u a t i o n o f p e ri o d i c s o l u t i o n me tho d ) ， the p e ri o d i c s o lu t i o n i s s t a b l e F o r 0 0 0 3 p = 0 0 2 8 7 P a s ， 6 =0 5 5 6 ， B 3 =0 4 ， c o =1 5 8 0 r mi n ， t h e u n b a l a n c e r e s p o n s e o f s t a ti o n BI ， DI i s q u a s i p e ri o d i c wh e n t o r u s a t t r a c t o r s ie p r o i e c t i o n s o fP o inc arma D s o n t o the x - y p l an e are d e t e c t e d a s s h o wn in F i g 5 F o r 0 0 0 3 ， = 0 0 2 8 7 Pas ，fi = 05 5 6 ， B B= 0 ，c o =1 6 0 0 r mi n ， the l r a j e c t o r i e s o f t h e c e n t e r o f t h e r o t o r a t Bl and Dl s ta ti o n are u n s tab l e as s h o wn i n F i g 6 F o r 0 0 0 3 ，p = 0 0 2 8 7 P as ， 6 = O 5 5 6 ， B B = 0 ， =一 1 I l ，e ；s =1 ， =1 ，8 =一 1 ， 1 8 0 0 r min( d i me n s i o n l e s s ang u l a r s p e e d o f r o t o r n x = 6 O n r a d s ) t h e c h a o t i c mo t i o n o r b it s o f Bl a n d Dl s t a t i o n s a r e s h o wn i n F i g7 I n F i g 8 ， t i me s e rie s o f Y DI a n d c o rre s p o n d i n g p o we r s p e c t r u m are g i v e n f o r a c h a o t i c s t a t e P o we r s p e c t r u m i s u s e d t o h i g h l i g h t c o mp o n e n t s wi t h 1 o w p o we r 1 e v e 1 s a n i mp o r t a n t f e a t u r e o f c h a o t i c s p e c t r a 一7 2 7 6 一8 O g 8 4 8 8 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 工 I 上 m ( a )T r a j e c t o r y a t B t s t a t io n x m ( b )p o i n c a r e ma p s a t B I s t a t i o n F i g 5 Qu a s i p e ri o d i c b i f u r c a t i o n t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c e n t e r o f t h e r o t o r a t Bi s t a t i o n a n d i t s p r o j e c t i o n o f P o i n c a r ma p s o n t o x O y p l a n e f o r c o 1 5 8 0 r m in ， 6 = 0 5 5 6 ， W= 0 0 0 3 ， B f B= 04 g g 0 1 0 3 1 ( a )T r a j e c t o r y a t B 1 s t a t i o n O ( b )Tr a j e c t o r y a t D1 s t a t i o n F i g 6 T r a j e c t o ri e s o f th e c e n t e r o f the r o t o r a t B Ian dD 】 s ta t i o nf o r c o 1 6 0 0 r mi n ， 6 = 0 5 5 6 ， W= 00 0 3 ， B B= O g 巨 0 2 0 1 0 0 1 0 2 一 一 历 震 圈 1 - I 、I 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 z m ( a )T r a j e c t o r y a t Bl s t a t i o n 3 4 3 3 3 2 3 1 zf m 3 5 7 ( b )Tr a j e c t o r y a t D1 s t a t io n F i g 7 C h a o t i cm o t i o n the tr a j e c t o ri e s o f the c e n t e r o f the r o t o r a t B】 andD s tat i o n f o r=1 8 0 0 r min， 6 = 0 5 5 6 ， W = 00 0 3 ， B B= 0 维普资讯 CHI NES E J OURNAL 0F M E CHANI C AL E NGI NEE RI NG 6 3 吕 土 3 4 3 3 3 2 3 1 o 1 2 3 4 t s ( a ) Time s e r i e s o f y Dl s t a t i o n 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 f m ( b)Po we r s p e c t r u m o f y a t DI s t a t i o n F i g 8 Ti me s e rie s o f y D l a n d c o r r e s po n d i n g p o we r s p e c t nt m a r e g i v e n f o r a c h a o t i c s t a t e for F o r c o =1 8 0 0 r mi n ， 6 =0 5 5 6 ， 0 0 0 3 ， B B= O 5 CoNCLUS I oNS T h e s h a ft i s d i s c r e t i z e d i n t o fi n i t e e l e me n t s wi t h mu l t i d e g r e e s o f - fre e d o m b y u s i n g a 2 n o d e T i mo s h e n k o s h a f t fin i t e e l e me n t mo d e l wi t h 8 d e g r e e s o f - fre e d o m T h e e f f e c t s o f g y r o s c o p e a n d s h e a r c an b e t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e mo d e l o f h y d r o d y n a mi c b e a r i n g f l e x i b l e r o t o r s y s t e m F o r the l o c a l i z e d n o n l i n e ar f e a t u r e o f b e a r i n g r o t o r s y s t e ma mo d i fie d mo d a l s y n the s i s t e c h n i q u e wi th fre e i n t e r f a c e i s r e p r e s e n t e d t o r e d u c e d e gre e s o f - fre e d o m o f mo d e l o f t h e fle x i b l e r o t o r s y s t e m I n o r d e r t o d e c r e a s e n u me r i c a l e r r o r s c a u s e d b y a t r an s f o r ma t i o n o f c o o r d i n a t e s n o n l i n e a r e rie c ts a r e r e ma i n e d i n p h y s i c a l s p a c e T h e a c c u r a c y o f n o n l i n e ar a n a l y - s i s o f the s y s t e m i s e n s u r e d a n d the c o mp u t i n g wo r k i s s a v e d F o r the p r a c t i c a l b e a r i n g s u p p o r t i n g r o t o r ,t h e c a v i t a ti o n fi e l d O f o i l fil m c h an g e s wi t h t h e p e r t u r b a t i o n o f d i s p l a c e me n t s a n d v e l o c i t i e s o f t h e c e n t e r o f r o t o E Ac c o r d i n g c 0 p h y s i c a 1 c h a r a c t e r o f o i 1 fi l m v a r i a t i o n a l c o n s t r a i n a p p r o a c h i s i n tr o d u c e d t o c o n t i n u o u s l y r e v i s e the v a r i a t i o n a l f o r m o f Re y n o l d s e q u a t i o n a t e v e r y s t e p o f d v n a mi c i n t e g r a ti o n a n d i t e r a t i o n Fl u i d l u b r i c a t i o n p r o b l e m wi t h Re yn o l d s b o u n d a r y i s s o l v e d b y u s i n g t h e i s o p ara me t r i c fi n i t e e l e me n t wi th e i g h t n o d a l p o i n t s me t h o d wi t h o u t i n c r e a s i n g o f c o mp u t i n g e f f o r t s T h e n o n l i n e a r o i l fil m f o r c e s an d t h e i r J a c o b i a n s are c a l c u l a t e d s i mu l t a n e o u s l y a n d c o mp a t i b l e a c c u r a c y i s o b t a i n e d I f the s y s t e m v a l u e u( s u c h a s t h e a n g u l ar s p e e d o f r o t o r c o ，d i a me t e r t o wi d t h r a t i o o f the b e a r i n g d Bc i r c u mf e r e n t i a l gro o v e t o wi d th r a ti o B B a s s we l l as c l e a r anc e to r a d iu s r a t i o g , e l l i p t i c a l r a t i o i s a s s i g ne d a s t h e c o n tro l p a r a me t e r s t h e c o mb i n a t i o n o f t h e p r e d i c t o r c o r r e c t o r me c h a n i s m a n d the P NF me t h o d c a l l e d c o n t i n u a t i o n o f p e r i o d i c s o l u t i o n me t h o d i s p r e s e n t e d t o c a l c u l a t e t h e p e rio d i c mo t i o n s a n d b i f u r c a t i o n p o i n t T h e c h a o t i c mo t i o n s o f the s y s t e m a r e i n v e s t i g a t e d n u me r i c a l l y b y u s i n g p o we r s p e c t r u m T h e n u me r i c a l e x a mp l e s s h o w t h a t the s c h e me s o f thi s s t u d y n o t o n l y s a v e c o mp u t i n g e ffo r t s b u t a l s o h a v e g o o d p r e c x s x o n Re f e r e nc e s 1 Br a n c a t i R， Ro c c a E，Ro s s o M ，e t a 1 J o u ma 1 o r i b t an d t h e i r s tab i l i t y for rig i d u n b a lan c e r o t o r s AS M E J o u r na 1 o f Tr i b o l o g y ,1 9 9 5 1 1 7 ： 7 0 9 - 71 6 2 D e 】l a P L， De R E， Ro s s i C Smti c an d d y n a m i c b e h a v i o r o fa r i g i d r o t o r o n i o u r n a 1 b e a r i ng s Me c e ani c a ，1 9 9 1 ， 2 6 ： 2 2 9 -2 4 5 3 Ki m Y B， No a h S Bi f u r c a t i o n a n a l y s i sfo r amo d i fie d J e ffc o R r o t o r wi m b e a r i n g c l e a r an c e No n l i n e a r Dyn am i c s 1 9 9 0 1 ： 2 2 1 -2 41 4 Ch 0 i S KNo a c h S M o d e - l o c kin g a nd c h a o s i n a J e ffc o R r o t o r wi m b e a r i n g c l e aran c e AS M E J o u ma 1 o f Ap p l i e d M e c h an i c s 1 9 9 4 61 ： I 3I I 3 8 5 Ch i l d D W F r a c t i o n a 1 f r e q u e n c y r o t o r mo t i o n d u e t o n o n s y mme t r i c c l e a r a n c e e rie c t s AS ME J o u r a a 1 o fE n e r g y an d P o we r,1 9 8 2 1 0 4 ： 5 3 3 5 41 6 E h r i c h F F Hi 卫 h o r d e l s u b h a r mo n i c r e s p o n s e o f h i g h s p e e d r o t o rs in b e ar - h a g c l e ara nc e AS M E J o u r n a 1 o f Vibr a tio n Ac o u s t i c s S ixe s s an d Re l i a b i l i t v n De s i gn 1 9 8 8 1 l 0 ： 9 1 6 7 S a i t o S Ca l c u l a t i o n o f n o n l i n e ar un b a l an c e r
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