广西钦州市2015-2016年高二下期末数学文科试卷(B)含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年广西钦州市高二（下）期末数学试卷（文科）（ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效） 1复数 z= 的共轭复数是（ ） A 1+i B 1 i C + i D i 2下列命题中，真命题是（ ） A如果 a b，那么 如果 a b，那么 如果 a b， 0，那么 D如果 x 0，那么 3已知数列 ， ， = （ n=1， 2， 3， ）计算该数列的前几项，猜想它的通项公 式是（ ） A B an=n C D 4小明为了更好地把握回归分析的知识，他试图用流程图形象地表示建立回归模型的过程： 则最适合填写流程图中空白框的一项是（ ） A预报 B计算真实值 y C比较模型效果 D残差异常分析 5函数 y=|3x 1| 1）的定义域是（ ） A（ ， 0） B C D 6某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关，他收集了 3 月份本班同学的感冒数据，并制出下面一个 2 2 列联表： 感冒 不感冒 合计 男生 5 27 32 女生 9 19 28 合计 13 47 60 参考数据 P（ （ （ 2 页（共 15 页） 由 观测值公式，可求得 k=据给出表格信息和参考数据，下面判断正确的是（ ） A在犯错概率不超过 1%的前提下认为该班 “感冒与性别有关 ” B在犯错概率不超过 1%的前提下不能认为该班 “感冒与性别有关 ” C有 15%的把握认为该班 “感冒与性别有关 ” D在犯错概率不超过 10%的前提下认为该班 “感冒与性别有关 ” 7极坐标方程 = （ 0）表示的曲线是一条（ ） A射线 B直线 C垂直于极轴的直 线 D圆 8已知 x， y 满足 x+y=1（ x 0， y 0），则 的最小值是（ ） A 3 B 2 C D 9在同一坐标系中，曲线 =1 经过伸缩变换 后，得到的曲线的方程是（ ） A B C x2+y2=1 D x2+y2=12 10圆心 C（ 2， 1），半径为 3 的圆的参数方程是（ ） A B C D 11不等式 |x 2|+|x+3| a 恒成立，则参数 a 的范围是（ ） A a 5 B a 5 C a 1 D a 1 12设 P 是椭圆 C： =1 上的动点，则 P 到直线 =1 的距离的最小值是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 第 3 页（共 15 页） 13过点（ 2， ）且平行于极轴的直线的极坐标方程是 14如图，类比三角形中位线定理 “如果 三角形的中位线，则 B ”，在空间四面体（三棱锥） P ， “如果 ，则 ” 15某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均 纯收入 y（单位：千元）的统计数据如表， 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 y 此，我们得到 y 关于年份代号 x 的线性回归方程： =预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入等于 16函数 y= + 的最大值是 三、解答题：本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解不等式 2|x 1|+x 4 0 18已知直线 l 的极坐标方程为 + ） = （ 1）在极坐标系下写出 =0 和 = 时该直线上的两点的极坐标， 并画出该直线； （ 2）已知 Q 是曲线 =1 上的任意一点，求点 Q 到直线 l 的最短距离及此时 Q 的极坐标 19要制作一个容积为 4为 1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，求如何制作该溶器的总造价最低 20已知数列 前 n 项和为 ， =2（ n 2， n N） （ 1）求 值； （ 2）猜想 表达式；并用数学 归纳法加以证明 21已知方程： |x 2|+|x+1|=a（ a R）有解 （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）求 g（ a） =a+ 的最小值 22已知直线 l 的参数方程为： （ t 为参数），曲线 C 的参数方程为： （ 顶点为 O （ 1）求直线的倾斜角和斜率； 第 4 页（共 15 页） （ 2）证明直线 l 与曲线 C 相交于两点； （ 3）设（ 2）中的交点为 A， B，求三角形 面积 第 5 页（共 15 页） 2015年广西钦州市高二（下）期末数学试卷（文科）（ B 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效） 1复数 z= 的共轭复数是（ ） A 1+i B 1 i C + i D i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： z= = =1+i， 复数 z= 的共轭复数是 1 i 故选： B 2下列命题中，真命题是（ ） A如果 a b，那么 如果 a b，那么 如果 a b， 0，那么 D如果 x 0，那么 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据不等式的基本性质，逐一分析各个命题的真假，可得结论 【解答】 解：当 a=0 时，如果 a b，那么 A 错误； 如果 0 a b，那么 B 错误； 如果 a b， 0，那么 ，即 ，故 C 正确； 如果 x 0，那么 ，故 D 错误； 故选： C 3已知数列 ， ， = （ n=1， 2， 3， ）计算该数列的前几项，猜想它的通项公式是（ ） A B an=n C D 【考点】 数列的概念及简单表示法 第 6 页（共 15 页） 【分析】 运用 ， = （ n=1， 2， 3， ），可以计算该数列的前几项，即可猜想它的通项公式 【解答】 解： ， = （ n=1， 2， 3， ）， = ， = ， = ， ，故猜想 ， 故选： A 4小明为了更好地把握回归分析的知识，他试图用流程图形象地表示建立回归模型的过程： 则最适合填写流程图中空白框的一项是（ ） A预报 B计算真实值 y C比较模型 效果 D残差异常分析 【考点】 流程图的作用 【分析】 根据回归分析的知识，结合流程中建立回归模型的过程，即可得出流程图中空白框应填写的内容 【解答】 解：根据回归分析的知识，用流程图形象地表示建立回归模型的过程是： 确定解释变量与预报变量 画出散点图 散点图特征是否线性？ 根据公式计算 、 得出可用于预报的线性回归方程 = x+ 得出表示真实值的线性回归模型： y=bx+a+e残差异常分析； 所以流程图中空白框应填写 “残差异常分析 ” 故选： D 5函数 y=|3x 1| 1）的定义域是（ ） A（ ， 0） B C D 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数成立的条件即可求函数的定义域 【解答】 解：要使函数有意义，则 |3x 1| 1 0，则 |3x 1| 1， 即 3x 1 1 或 3x 1 1， 得 x 或 x 0， 即函数的定义域为 ， 故选： C 第 7 页（共 15 页） 6某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关，他收集了 3 月份本班同学的感冒数据，并制出下面一个 2 2 列联表： 感冒 不感冒 合计 男生 5 27 32 女生 9 19 28 合计 13 47 60 参考数据 P（ （ （ 观测值公式，可求得 k=据给出表格信息和参考数据，下面判断正确的是（ ） A在犯错概率不超过 1%的前提下认为该班 “感冒与性别有关 ” B在犯错概率不超过 1%的前提下不能认为该班 “感冒与性别有关 ” C有 15%的把握认为该班 “感冒与性别有关 ” D在犯错概率不超过 10%的前提下认为该班 “感冒与性别有关 ” 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据数据计算得随机变量 观测值，对照 2 2 列联表中数据，即可得出统计结论 【解答】 解：由 2 2 列联表数据计算得随机变量 观测值是 k= 通过对照表中数据得， P（ 在犯错误的概率不超过 1%的前提下不能认为该班 “感冒与性别有关 ” 故选： B 7极坐标方程 = （ 0）表示的曲线是一条（ ） A射线 B直线 C垂直于极轴的直线 D圆 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 由 x=y=得 由条件，化简整理可得曲线表示的是一条射线 【解答】 解：由 x=y= 可得 极坐标方程 = （ 0）， 可得射线 y=x，即有 y=x， 即 y= x（ x 0） 故选： A 第 8 页（共 15 页） 8已知 x， y 满足 x+y=1（ x 0， y 0），则 的最小值是（ ） A 3 B 2 C D 【考点】 基本不等式 【分析】 运用 1 的代换，化简，利用基本不等式，即可得出答案，但应当注意取等的条件 【解答】 解： x+y=1（ x 0， y 0）， =（ ）（ x+y） =1+ + +2 3+2 =3+2 ， 当且仅当 y= x 时，取得等号， 的最小值为 3+2 ， 故选： D 9在同一坐标系中，曲线 =1 经过伸缩变换 后，得到的曲线的方程是（ ） A B C x2+y2=1 D x2+y2=12 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 将 代入曲线 =1，整理即可得到答案 【解答】 解：将 代入曲线 =1，整理得： x2+y2=1， 故答案选： C 10圆心 C（ 2， 1），半径为 3 的圆的参数方程是（ ） A B C D 第 9 页（共 15 页） 【考点】 圆的参数方程 【分析】 设圆上任意一点与圆心（ 2， 1）连线的倾斜角为 ，用 表示出该点的坐标即可 【解答】 解：设圆上任意一点的坐标为（ x， y），该点与圆心（ 2， 1）连线的倾斜角为 ， 圆的参数方程为： （ 为参数） 故选： A 11不等式 |x 2|+|x+3| a 恒成立，则参数 a 的范围是（ ） A a 5 B a 5 C a 1 D a 1 【考点】 绝对值三角 不等式 【分析】 根据绝对值的意义，求得 |x 2|+|x+3|的最小值为 5，从而得到参数 a 的范围 【解答】 解：由于 |x 2|+|x+3|表示数轴上的 x 对应点到 2、 3 对应点的距离之和， 它的最小值为 5， 要使不等式 |x 2|+|x+3| a 恒成立， 则有 5 a， 即 a 5， 故选： B 12设 P 是椭圆 C： =1 上的动点，则 P 到直线 =1 的距离的最小值是（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设 P（ 2 0 2，运用点到直线的距离公式和辅助角公式，及正弦函数的值域加上即可得到所求最小值 【解答】 解： P 是椭圆 C： =1 上的动点， 可设 P（ 2 0 2， P 到直线 =1 即 3x+4y 12=0 的距离为 d= =| 12| = |2 +） 12|， 为辅助角 当 +） =1 时， P 到直线 =1 的距离的最小值为 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13过点（ 2， ）且平行于极轴的直线的极坐标方程是 p 【考点】 简单曲线的极坐标方程 第 10 页（共 15 页） 【分析】 先根据公式 x=y= 出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为0，用点斜式表示出方程，再化为极坐标方程 【解答】 解： 点（ 2， ） x= ， y=1， 该点的直角坐标为（ ， 1） 直线平行于极轴， 直线的斜率为 0 直 线的方程为： y=1， 极坐标方程为： p 故答案为： p 14如图，类比三角形中位线定理 “如果 三角形的中位线，则 B ”，在空间四面体（三棱锥） P ， “如果 中截面 ，则 截面 截面 截面 面积等于于截面 面积的 ” 【考点】 类比推理 【分析】 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质 【解答】 解：类比三角形中位线定理 “如果 三角形的中位线，则 B”，可得三棱锥中截面的性质 “如果面 中截面，则截面 截面 截面 面积等于于截面 面积的 ” 故答案为： 中截面；截面 截面 截面 面积等于于截面 面积的 15某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的统计数据如表， 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 y 此，我们得到 y 关于年份代号 x 的线性回归方程： =预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入等于 【考点】 线性回归方程 第 11 页（共 15 页） 【分析】 根据回归方程， 2015 年对应的年份代码 x=8，代入回归方程求得 y 的值 【解答】 解：由回归方程 =知： 2015 年对应的 x=9 时， y= 故答案为： 16函数 y= + 的最大值是 2 【考点】 二维形式的柯西不等式 【分析】 由二次根式的性质可得 1 x 1，然后由柯西不等式求解最大值即可 【解答】 解：根据题意得： ， 解得： 1 x 1， 由柯西不等式得： y= + =2（当且仅当= ，即 x=0 时，取等号）， 故函数 y= + 的最大值为 2 故答案为： 2 三、解答题：本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解不等式 2|x 1|+x 4 0 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 通过讨论 x 的范围，去掉绝对值号，解不等式即可 【解答】 解： 当 x 1 时，原不等式可化为 2x 2+x 4 0， 整理得 3x 6 0，解得 x 2， 当 x 1 时，原不等式可化为 2x+2+x 4 0， 整理得 x 2 0，解得 x 2， 综合 可知，原不等式的解集为 x|x 2 或 x 2 18已知直线 l 的极坐标方程为 + ） = （ 1）在极坐标系下写出 =0 和 = 时该直线上的两点的极坐标，并画出该直线； （ 2）已知 Q 是曲线 =1 上的任意一点，求点 Q 到直线 l 的最短距离及此时 Q 的极坐标 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 （ 1）将 =0 和 = 分别代入直线 l 的极坐标方程，求出 ，从而得出两点的极坐标，画出直线； （ 2）分别求出直线 l 和曲线 =1 的直角坐标方程，要求圆上任意一点到直 线 l 的最短距离，只要求圆心 O（ 0， 0）到直线 l 的距离即可 【解答】 解：（ 1）直线 l 经过 A（ 2， 0）， 两点， 在极坐标系下，直线如图所示： 第 12 页（共 15 页） （ 2）曲线 =1 化为直角坐标方程得 x2+，该曲线为单位圆， 将直线 l 的极坐标方程 化为直角坐标方程得 x+y 2=0 要求圆上任意一点到直线 l 的最短距离，只要求圆心 O（ 0， 0）到直线 l 的距离即可 由点到直线的距离公式得： ， 所以点 Q 到直线 l 的最短距离为 ， 此时，点 Q 的极坐标为 19要制作一个容积为 4为 1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，求如何制作该溶器的总造价最低 【考点】 函数最值的应用 【分析】 设池底长和宽分别为 a， b，成本为 y，建立函数关系式，然后利用基本不等式 求出最值即可求出所求 【解答】 解：设池底长和宽分别为 a， b，成本为 y， 则 长方形容器的容器为 4为 1m， 故底面面积 S=， y=20S+102（ a+b） =20（ a+b） +80， a+b 2 =4， 故当 a=b=2 时， y 取最小值 160， 即该容器的最低总造价是 160 元 20已知数列 前 n 项和为 ， =2（ n 2， n N） （ 1）求 值； （ 2）猜想 表达式；并用数学归纳法加以证明 【考点】 数学归纳法；归纳推理 【分析】 （ 1） S1= =2=得 理求得 （ 2）猜想 ， n N+，用数学归纳法进行证明 【解答】 解：（ 1） S1= ， =2（ n 2， n N），令 n=2 可得， =2=2， = 2， 同理可求得 ， （ 2）猜想 ， n N+，下边用数学归纳法证明： 第 13 页（共 15 页） 当 n=2 时， S2=a1+ ，猜想成立 假设当 n=k 时猜想成立，即 则当 n=k+1 时， =2， ， ， = 2= ， = ， 当 n=k+1 时，猜想仍然成立 综合 可得，猜想对任意正整数都成立，即 ， n N+成立 21已知方程： |x 2|+|x+1|=a（ a R）有解 （ 1）求实 数 a 的取值范围； （ 2）求 g（ a） =a+ 的最小值 【考点】 绝对值三角不等式；基本不等式 【分析】 （ 1）利用绝对值三角不等式求得 y 的最小值，从而求得 a 的范围 （ 2）由 a 3，及均值不等式求得 g（ a）的最小值 【解答