2016年天津市十二区县高考数学二模试卷（文）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） 1已知复数 z 满足 z= （ i 为虚数单位），则 z=（ ） A B C 1 i D 1+i 2已知直线 l： y=kx+b，曲线 C： y 1） 2=1，则 “b=1”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”的（ ） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3若 a=b=c=，则（ ） A b c a B b a c C a b c D c a b 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 8，则判断条件是（ ） A k 2 B k 4 C k 3 D k 3 5点 P 为 任一点，则使 S S 概率是（ ） A B C D 6函数 f（ x） =2x+ ）的图象向左平移 （ 0）个单位后关于原点对称，则 的最小值为（ ） A B C D 第 2 页（共 18 页） 7已知 别为双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右焦点，过 直线 的左右两支分别交于 A， B 两点，若 | | |4： 3： 5，则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 8在平行四边形 ， ， ， 20，平面 有一点 P，满足，若 = + （ ， R），则 2+ 的最大值为（ ） A B C D 二 大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9某学校小学部有 270 人，初中部有 360 人，高中部有 300 人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了 12 人， 则从该校应一共抽取 _人进行该项调查 10甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为 于 _ 11如图， O 的内接三角形， O 的切线， 点 E，交 O 于点D若 E， 0， ， ，则 _ 12函数 的单调递增区间是 _ 13已知数列 ， ， = _ 14若函数 f（ x） =a|x|+6 的图象与 x 轴有三个不同的交点，函数 g（ x） =f（ x） b 有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是 _ 三 大题 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ x）的最小值； （ ）在 ，角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 f（ C） =1 且 c= ， a+b=4，求 S 第 3 页（共 18 页） 16某研究所计划利用 “神七 ”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品 A、 B 若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 每件产品 A 每件产品B 研制成本、搭载费用之和（百万元） 2 划最大资金额 15（百万元） 产品重量（千克） 1 大搭载重量 12（千克） 预计收益（百元） 1000 1200 _ 并且 B 产品的数量不超过 A 产品数量的 2 倍如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 17如图，边长为 的正方形 梯形 在的平面互相垂直，其中 B C= ， F=O， M 为 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 D E 的正切值； （ ）求 平面 成角的余弦值 18已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的长轴长为短轴长的 倍 （ 1）求椭圆 E 的离心率； （ 2）设椭圆 E 的焦距为 2 ，直线 l 与椭圆 E 交于 P， Q 两点 ，且 证：直线l 恒与圆 x2+相切 19已知数列 前 n 项和为 2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ， 前 n 项和，求 20已知函数 f（ x） =1 a R） （ ）讨论函数 f（ x）的单调性； 第 4 页（共 18 页） （ ）若函数 f（ x）在 x=2 处的切线斜率为 ，不等式 f（ x） 2 对任意 x （ 0， +）恒成立，求实数 b 的取值范围； （ ）证明对于任意 n N， n 2 有： + + + 第 5 页（共 18 页） 2016 年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 8 个 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1已知复数 z 满足 z= （ i 为虚数单位），则 z=（ ） A B C 1 i D 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案 【解答】 解： z= = ， 故选： A 2已知直线 l： y=kx+b，曲线 C： y 1） 2=1，则 “b=1”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 直线 l 与曲线 C 有公共点 1，化为 |b 1| ，即可判断出结论 【解答】 解：直线 l 与曲线 C 有公共点 1，化为 |b 1| 可知： b=1 时，满足上式；反之不成立，取 b= 也可以 “b=1”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”的充分不必要条件 故选： A 3若 a=b=c=，则（ ） A b c a B b a c C a b c D c a b 【考点】 对数值大小的比较 【 分析】 分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与 0 和 1 的大小得答案 【解答】 解： a=50=1， 0 b=， c= 0， a b c 第 6 页（共 18 页） 故选： C 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 8，则判断条件是（ ） A k 2 B k 4 C k 3 D k 3 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 s， k 的值，由题意当 s=8， k=3 时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出 s 的值为 8，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 k=0， s=1 应满足条件，执行循环体， s=1， k=1 应满足条件，执行循环体， s=2， k=2 应满足条件，执行循环体， s=8， k=3 此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出 s 的值为 8 则判断框内应为： k 3？ 故选： C 5点 P 为 任一点，则使 S S 概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 首先分析题目求在面积为 S 的 边 任取一点 P，使 S S 用几何概型求概率 【解答】 解：设 P 到 距离为 h， 三角形 面积为 S，设 上的高为 d， 第 7 页（共 18 页） 因为两个三角形有共同的边 以满足 S S ， h d，所以使 S S 概率为 = ； 故选： A 6函数 f（ x） =2x+ ）的图象向左平移 （ 0）个单位后关于原点对称，则 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得 的最小值 【解答】 解： f（ x） =2x+ ）， 图象向左平移 （ 0）个单位长度得到 y=（ x+） + =2x+2+ ）， 所得的图象关于原点对称， 2+ =k Z）， 0， 则 的最小正值为 故选： B 7已知 别为双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左右焦点，过 直线 的左右两支分别交于 A， B 两点，若 | | |4： 3： 5，则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 |t， |4x，根据双曲线的定义算出 t=2x， x= a， 算出 = ，可得 ，在 ，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案 【解答】 解：设 |t， |4x，则 |3x， |5x， 根据双曲线的定义，得 | | |2a， 即 5x t=（ 4x+t） 3x=2a，解得 t=2x， x= a， 第 8 页（共 18 页） 即 | a， | a， | | |4： 3： 5，得 以 B 为直角的 ， = ， 可得 ， ， |=|+| 2| 2 a a （ ） =20 可得 |2 a，即 c= a， 因此，该双曲线的离心率 e= = 故选： D 8在平行四边形 ， ， ， 20，平面 有一点 P，满足，若 = + （ ， R），则 2+ 的最大值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 可作出图形，根据题意可知 ， 0，根据条件对 两边平方，进行数量积的运算便可得到 5=42+2+2=（ 2+） 2 2，由基本不等式即可得出 2+ 的范围，从而便可得出 2+ 的最大值 【解答】 解：如图，依题意知， 0， 0； 根据条件， 5= =42+2+2 = = ； 第 9 页（共 18 页） ； ； 2+ 的最大值为 故选 B 二 大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9某学校小学部有 270 人，初中部有 360 人，高中部有 300 人 ，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了 12 人，则从该校应一共抽取 31 人进行该项调查 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 【解答】 解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取： =31， 故答案为： 31； 10甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为 于 1： 3 【考点】 由三视 图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥 = ， =4 ： 3 故答案为： 1： 3 11如图， O 的内接三角形， O 的 切线， 点 E，交 O 于点D若 E， 0， ， ，则 第 10 页（共 18 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 利用切割线定理结合题中所给数据，得 ，由弦切角定理结合有一个角为 60的等腰三角形是正三角形，得到 E=3，最后由相交弦定理可得 E=E，从而求出 长 【解答】 解： 圆 O 的切线， D，可得 弦切角，夹弧 0， ， A， 正三角形，可得 E= B ， E 圆 O 中，弦 交于 E， E=E，可得 6 2=3 ， 故答案为： 4 12函数 的单调递增区间是（ 2， 3） 【考点】 复合函数的单调性 【分析】 由函数 ，知 x 3 0，由 t= x 3 是开口向下，对称 轴为 x=2 的抛物线，利用复合函数的单调性的性质能求出函数的单调递增区间 【解答】 解： 函数 ， x 3 0，解得 1 x 3， t= x 3 是开口向下，对称轴为 x=2 的抛物线， 由复合函数的单调性的性质知函数 的单调递增区间是（ 2， 3） 故答案为：（ 2， 3） 13已知数列 ， ， = 2 【考点】 数列递推式 【分析】 由于数列 ， ， = 得 =可得出 【解答】 解： 数列 ， ， = a3=，同理可得： 1， 3， 2， ， ， ， = 则 +6= 2， 故答案为： 2 14若函数 f（ x） =a|x|+6 的图象与 x 轴有三个不同的交点，函数 g（ x） =f（ x） b 有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是（ 6， 0） 第 11 页（共 18 页） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据函数 f（ x）是偶函数，结合函数与 x 轴交点个数得到 f（ 0） =0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x）是偶函数， f（ x） =a|x|+6 的图象与 x 轴有三个不同的交点， 则必有 f（ 0） =0， 即 6=0，即 ， 即 a= ， 当 a= 时， f（ x） = |x|，此时函数 f（ x）只有 1 个零点，不满足条件 当 a= 时， f（ x） =2 |x|，此时函数 f（ x）有 3 个零点，满足条件， 此时 f（ x） =2 |x|=（ |x| ） 2 6， f（ x） 6， 由 g（ x） =f（ x） b=0 得 b=f（ x）， 作出函数 f（ x）的图象如图： 要使函数 g（ x） =f（ x） b 有 4 个零点， 则 6 b 0， 故答案为：（ 6， 0） 三 大题 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） = （ ）求 f（ x）的最小值； （ ）在 ，角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 f（ C） =1 且 c= ， a+b=4，求 S 【考点】 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出 （ 用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出 【解答】 解：（ ） = = 当 时， f（ x）取最小值为 第 12 页（共 18 页） （ ） ， 在 ， C （ 0， ）， ， ， 又 c2=a2+2 （ a+b） 2 3 16某研究所计划利用 “神七 ”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品 A、 B 若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 每件产品 A 每件产品B 研制成本、搭载费用之和（百万元） 2 划最大资金额 15（百万元） 产品重量（千克） 1 大搭载重量 12（千克） 预计收益（百元） 1000 1200 10200（百元） 并且 B 产品的数量不超过 A 产品数量的 2 倍如何安排这两种产品的件数进 行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 【考点】 简单线性规划 【分析】 设搭载 A 产品 x 件， B 产品 y 件，则预计收益 z=1000x+1200y由图表列出关于 x，y 的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：设搭载 A 产品 x 件， B 产品 y 件，则预计收益 z=1000x+1200y 则有 作出可行域如图： 作直线 l： 1000x+1200y=0，即直线 x+ 把直线 l 向右上方平移到 位置，直线 过可行域上的点 B， 此时 z=1000x+1200y 取得最大值 第 13 页（共 18 页） 由 ，解得点 M 的坐标为（ 3， 6） 当 x=3， y=6 时， 1000+6 1200=10200（百元） 答：搭载 A 产品 3 件， B 产品 6 件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为 10200百元 故答案为： 10200 百元 17如图，边长为 的正方形 梯形 在的平面互相垂直，其中 B C= ， F=O， M 为 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 D E 的正切值； （ ）求 平面 成角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）推导出 此能证明 平面 （ ）取 点 H，连接 二面角 D E 的平面角，由此能求出二面角 D E 的正切值 （ ）推导出 而 平面 此得到 余弦值即为所求 【解答】 证明：（ ） O， M 分别为 中点， 面 面 平面 解：（ ）取 点 H，连接 B 又 B 二面角 D E 的平面角 又 ， ， 二面角 D E 的正切值为 （ ） C=1， 0， 平面 平面 面 面 D， 面 平面 余弦值即为所求 第 14 页（共 18 页） 在 ， 18已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的长轴长为短轴长的 倍 （ 1）求椭圆 E 的离心率； （ 2）设椭圆 E 的焦距为 2 ，直线 l 与椭圆 E 交于 P， Q 两点，且 证：直线l 恒与圆 x2+相切 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得 a= b，由 a， b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值； （ 2）求得椭圆的 a， b，可得椭圆方程，讨论直线的斜率不存在，设出方程 x=m，代入椭圆方程求得 P， Q 的坐标，由仇恨值的条件，可得 m，求得圆心到直线的距离可得结论 ；再设直线 y=kx+n，代入椭圆方程，运用韦达定理，由两直线垂直的条件，可得 ，化简整理，可得 4+3求圆心到直线的距离，即可得到直线恒与圆相切 【解答】 解：（ 1）由题意可得 2a=2 b，即 a= b， c= = = a， 可得 e= = ； （ 2）证明：由题意可得 c= ， 由（ 1）可得 a= ， b=1， 椭圆的方程为 +， 当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为 x=m， 代入椭圆方程，可得 y= ， 由 得 1 ） =0， 解得 m= ， 第 15 页（共 18 页） 由圆心（ 0， 0）到直线 x=m 的距离为 ， 即有直线 l 与圆 x2+相切； 当直线的斜率存在时，设 l： y=kx+t， 代入椭圆方程 ，可得 （ 1+33=0， 设 P（ ， Q（ 可得 x1+ ， ， t）（ t） =x1+ 由题意 得 ， 即为（ 1+x1+， 即（ 1+ + ） +， 化 简可得 4+3 由圆心（ 0， 0）到直线 y=kx+t 的距离为 d= = = ，即为半径 则直线 l 恒与圆 x2+相切 19已知数列 前 n 项和为 2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ， 前 n 项和，求 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出； （ 2）当 n 为奇数时， = ；当 n 为偶数时， = 分别利用 “裂项求和 ”、 “错位相减法 ”即可得出 【解答】 解：（ 1） 2， n=1 时， 2，解得 当 n 2 时， n 1=22（ 21 2），化为 1 数列 等比数列，公比为 2