2016年天津市十二区县高考数学二模试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 1已知复数 z= ，则复数 z 的虚部是（ ） A B i C D i 2设实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最小值是（ ） A B 1 C 2 D 7 3执行如图所示的程序框图，若输入 n=6，则输出的 S=（ ） A B C D 4下列说法正确的是（ ） A命题 “p 或 q”为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命题 B命题 “已知 A、 B 为一个三角形的两内角，若 A B，则 逆命题为真命题 C “若 a b，则 2a 2b 1”的否命题为 “若 a b，则 2a 2b 1” D “a=1”是 “直线 x =0 与直线 x+2=0 互相垂直 ”的充要条件 5已知双曲线 =1（ a 0， b 0） 的左顶点与抛物线 p 0）的焦点的距离为 3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（ 1， 1），则双曲线的标准方程为（ ） A =1 B =1 C D 第 2 页（共 23 页） 6函数 f（ x）在定义域 R 内可导，若 f（ x） =f（ 2 x），且当 x 1 时，有（ x 1） f（ x） 0，设 a=f（ ）， b=f（ c=f（ 3），则（ ） A a b c B c a b C b c a D c b a 7已知 圆 O 的直径， N， N 为 中点， 交于点 M，切线 延长线交于点 F若圆 O 的半径为 1，则 长为（ ） A B C D 8已知菱形 边长为 2， 20，点 E、 F 分别在边 ， = ，= 若 += ，则 的最小值（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9某学院的 A， B， C 三个专业共有 1500 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本已知该学院的 A 专业有 420 名学生， 80 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取 _名学生 10设区域 =（ x， y） |0 x 1， 0 y 1，区域 A=（ x， y） |y ，（ x， y） ，在区域 中随机取一个点，则该点在 A 中的概率 _ 11某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 _ 12在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，（ a+b+c）（ b+c a） =3a= ，则 b 的值为 _ 第 3 页（共 23 页） 13极坐标系与直角坐标系 相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，弦长 |_ 14若函数 y= 的图象与函数 y=|x+ | |x |的图象恰有五个交点，则实数 k 的取值范围是 _ 三、解答题：本 大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） =2 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）若 f（ ） = ， ， ，求 值 16国家旅游局确定 2016 年以 “丝绸之路旅游年 ”为年度旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的 “丝绸之路徽章 ”某人利用五一假期，在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章 3 枚，白塔纪念徽章 2 枚，其余三处各 1 枚，现从中任取 4 枚 （ ）求抽取的 4 枚中恰有 3 个景点的概率； （ ）抽取的 4 枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为 枚，求 的分布列和数学期望 17如图，在四棱锥 P ， 平面 0，C=， E 为 中点， M 在 ，且 =2 （ I）求证： 平面 （ ）求平面 平面 成锐二面角的余弦值； （ ） 点 F 是线段 异于两端点的任意一点，若满足异面直线 成角 45，求 长 18己知椭圆 + =1（ a b 0）和圆 x2+y2=r 0），已知圆 直径是椭圆 距长的 倍，且圆 面积为 4，椭圆 离心率为 ，过椭圆 上顶点 A 作一条斜率为 k（ k 0）的直线 l 与椭圆 另一个交点是 B，与圆 交于点 E，F （ 1）求椭圆 方程； （ 2）当 |3 时，求直线 l 的方程，并求 面积（其中 椭圆 右焦点） 第 4 页（共 23 页） 19已知数列 足 = ，且 n N*， ， （ 1）求 通项公式； （ 2）设 bn=， n N*，求数列 前 2n 项和 （ 3）设 cn=1 1） n，证明： + + + 20已知直线 y= 是函数 f（ x） = 的切线（其中 e= （ I）求实数 a 的值； （ ）若对任意的 x （ 0， 2），都有 f（ x） 成立，求实数 m 的取值范围； （ ）若函数 g（ x） =x） b 的两个零点为 明： g（ +g（ 第 5 页（共 23 页） 2016 年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 1已知复数 z= ，则复数 z 的虚部是（ ） A B i C D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： z= = ， 复数 z 的虚部是 故选： C 2设实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最小值是（ ） A B 1 C 2 D 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域，由 解得 A（ ， ），从而求最小值 【解答】 解：由题意作平面区域如下， 第 6 页（共 23 页） ， 由 解得， A（ ， ）， 故 z=x+y 的最小值是 + = ， 故选： A 3执行如图所示的程序框图，若输入 n=6，则输出的 S=（ ） A B C D 【考点】 程序框图 第 7 页（共 23 页） 【分析】 由已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出 S 的值，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=8 时，不满足条件 i 6，退出循环，输出 S 的值为 【解答】 解：模拟执行程 序，可得 n=6， S=0， i=2 满足条件 i 6，执行循环体， S= = ， i=4 满足条件 i 6，执行循环体， S= + = ， i=6 满足条件 i 6，执行循环体， S= + = ， i=8 不满足条件 i 6，退出循环，输出 S 的值为 故选： C 4下列说法正确的是（ ） A命题 “p 或 q”为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命题 B命题 “已知 A、 B 为一个三角形的两内角，若 A B，则 逆命题为真命题 C “若 a b，则 2a 2b 1”的否命题为 “若 a b，则 2a 2b 1” D “a=1”是 “直线 x =0 与直线 x+2=0 互相垂直 ”的充要条件 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据复合命题的真假关系进行判断 B根据逆命题的定义进行判断 C根据否命题的定义进行判断 D根据直线垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解： A若 “p 或 q”为真命题，则 p， q 至少有一个为真命题，故 A 正确， B命题 “已知 A、 B 为一个三角形的两内角，若 A B，则 逆命题为若 A B， 由正弦定理得 a bA B，则逆命题为真命题 ，故 B 正确， C “若 a b，则 2a 2b 1”的否命题为 “若 a b，则 2a 2b 1”，故 C 错误， D若直线 x =0 与直线 x+2=0 互相垂直，则 1 1 ，得 a= 1， 即 “a=1”是 “直线 x =0 与直线 x+2=0 互相垂直 ”的充分不必要条件，故 D 错误， 故选： B 5已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左顶点与抛物线 p 0）的焦点的距离为 3， 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（ 1， 1），则双曲线的标准方程为（ ） A =1 B =1 C D 第 8 页（共 23 页） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出双曲线的左顶点和抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，求得 p=a=b=2，即可得到所求双曲线的方程 【解答】 解：设双曲线的左顶点为（ a， 0）， 抛物线 p 0）的焦点为（ ， 0）， 由题意可得 a+ =3， 双曲线的渐近线方程为 y= x， 抛物线的准线方程为 x= ， 由题意可得 = 1， = 1， 解得 p=2， a=2， b=2， 则双曲线的方程为 =1 故选： B 6函数 f（ x）在定义域 R 内可导，若 f（ x） =f（ 2 x），且当 x 1 时，有（ x 1） f（ x） 0，设 a=f（ ）， b=f（ c=f（ 3），则（ ） A a b c B c a b C b c a D c b a 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由函数 f（ x）在定义域 R 内可导， f（ x） =f（ 2 x），知函数 f（ x）的图象关于 x=1对称再根据函数的单调性，比较 a=f（ ）， b=f（ c=f（ 3）的大小 【解答】 解： 函数 f（ x）在定义域 R 内可导， f（ x） =f（ 2 x）， 令 x=x+1，则 f（ x+1） =f2（ x+1） =f（ x+1）， 函数 f（ x）的图象关于 x=1 对称； 当 x 1 时，有（ x 1） f（ x） 0， x 1 时， f（ x） 0， x 1 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， 1）递增，在（ 1， +）递减， 0 1 3， f（ ） f（ f（ 3）， c b a 故选： D 7已知 圆 O 的直径， N， N 为 中点， 交于点 M，切线 延长线交于点 F若圆 O 的半径为 1，则 长为（ ） 第 9 页（共 23 页） A B C D 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 若圆 O 的半径为 1，利用射影定理求 长 【解答】 解：连接 圆 O 的直径， 圆 O 的半径为 1， N 为 中点， ， ， ， C C， 故选： A 8已知菱形 边长为 2， 20，点 E、 F 分别在边 ， = ，= 若 += ，则 的最小值（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意画出图形，把 用 表示，最后转化为含有 ， 的代数式，再结合 += 及基本不等式求得 的最小值 【解答】 解：如图， 第 10 页（共 23 页） = ， = ，且 += ， =（ ） （ ）， = = = = = 由题意可得， ， 0， += ， ，则 2（ 1+） ， （当且仅当 时等号成立）， 的最小值为 故选： A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9某学院的 A， B， C 三个专业共有 1500 名学生， 为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本已知该学院的 A 专业有 420 名学生， 80 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取 50 名学生 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论 【解答】 解：有分层抽样的标准在 C 学院抽取 =50， 故答案为： 50 10设区域 =（ x， y） |0 x 1， 0 y 1，区域 A=（ x， y） |y ，（ x， y） ，在区域 中随机取一个点，则该点在 A 中的概率 【考点】 几何概型 【分析】 首先利用定积分求出阴影部分区域面积，然后利用定积分求几何概型概率 【解答】 解：如图，区域 对应的部分是边长为 1 的正方形，区域 A 对应部分为图中阴影部分，面积为 ， 第 11 页（共 23 页） 由几何概型公式得到在区域 中随机取一个点，则该点在 A 中的概率为 = ； 故答案为： 11某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，并求出底面圆的半径以及几何体的 高，由椎体、柱体的体积公式求出此几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱， 且圆锥的底面圆的半径 r=2、高是 2，圆柱的底面圆的半径 r=2、高是 1， 所以此几何体的体积 V= = ， 故答案为： 12在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，（ a+b+c）（ b+c a） =3a= ，则 b 的值为 第 12 页（共 23 页） 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由已知整理可得： b2+a2=用余弦定理可得 ，从而可求 A，又由， B 为三角形内角，利用同角三角函数基本关系式可求 值， 由正弦定理即可解得 b 的值 【解答】 解： （ a+b+c）（ b+c a） =3 整理可得： b2+a2= 由余弦定理可得： = = ， A= 又 ， B 为三角形内角， = ， = ， 由正弦定理可得： = ，解得： b= 故答案为： 13 极坐标系与直角坐标系 相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为 直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，弦长 | 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】 曲线 C 的极坐标方程为 2用 2=x2+x=标方程直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），化为标准方程：，代入曲线 C 的直角坐标方程可得： 316m 64=0，利用 |m1 即可得出 【解答】 解：曲线 C 的极坐标方程为 2为直角坐标方程：x 第 13 页（共 23 页） 直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），化为标准方程： ，代入曲线 C 的直角坐标方程可得： 316m 64=0， m1+， | = = 故答案为： 14若函数 y= 的图象与函数 y=|x+ | |x |的图象恰有五个交点，则实数 k 的取值范围是 【考点】 函数的图象 【分析】 作出函数 y= 的图象与函数 y=|x+ | |x |的图象， x 1 时， = ，即x 2=0 有两个不等的实数根，可得 k 的范围，利用对称性，即可求出实数 k 的取值范围 【解答】 解： 0 x 1 时， y=2x； x 1 时， y= ， 函数 y=|x+ | |x |为偶函数，图象如图所示 函数 y= 的图象与函数 y=|x+ | |x |的图象恰有五个交点， x 1 时， = ，即 x 2=0 有两个不等的实数根， =1+8k 0 且 k 0， k 0， 根据对称性，可得实数 k 的取值范围是 故答案为： 第 14 页（共 23 页） 三、解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） =2 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）若 f（ ） = ， ， ，求 值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ 1）利用二倍角和两角和的正弦公式 f（ x） =22x+ ），求得周期为 ， （ 2） f（ ） = ，代入求得 2） = ，写出 2 ， ，求得，2） = ， 2） ，利用两角差的余弦公式求 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2 ， = =22x+ ）， f（ x）的最小正周期为 ， （ 2） f（ ） = ， 2（ ） + = ， 2） = ， ， ， 2 ， ， 2） = ， 2） ， =2） 2） 第 15 页（共 23 页） = ， 16国家旅游局确定 2016 年以 “丝绸之路旅游年 ”为年度旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的 “丝绸之路徽章 ”某人利用五一假期，在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章 3 枚，白塔纪念徽章 2 枚，其余三处各 1 枚，现从中任取 4 枚 （ ）求抽取的 4 枚中恰有 3 个景点的概率； （ ）抽取的 4 枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为 枚，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）记 “抽取的 4 枚徽章中恰有 3 个景点 ”为事件 A，由此利用互斥事件概率加法公式能求出抽取的 4 枚中恰有 3 个景点的概率 （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列及数学期望 【解答】 解：（ ）记 “抽取的 4 枚徽章中恰有 3 个景点 ”为事件 A， （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3， ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 P = 17如图，在四棱锥 P ， 平面 0，C=， E 为 中点， M 在 ，且 =2 第 16 页（共 23 页） （ I）求证： 平面 （ ）求平面 平面 成锐二面角的余弦值； （ ） 点 F 是线段 异于两端点的任意一点，若满足异面直线 成角 45，求 长 【考点】 二面角的平面角及求法；异面 直线及其所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出平面 平面成锐二面角的余弦值 （ ）令 ， ，求出，由此利用向量法能求出 长 【解答】 证明：（ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系， A（ 0， 0， 0）， D（ 2， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， E（ 1， 1， 0）， ， P（ 0， 0，2）， 设 M（ x， y， z）， ， ， ， ， ， ，平面 法向量 ， 第 17 页（共 23 页） ， 又 面 平面 解：（ ）设平面 法向量 ， ， ，即 ，令 x= 1， ， 平面 法向量 ， 设二面角所成的锐二面角为 ， ， 平面 平面 成锐二面角的余弦值为 （ ）令 ， ， F（ 2， 0， 2 2） ， 42 6+2=0， 或 =1（舍） F（ 1， 0， 1）， 第 18 页（共 23 页） 18己知椭圆 + =1（ a b 0）和圆 x2+y2=r 0），已知圆 直径是椭圆 距长的 倍，且圆 面积为 4，椭圆 离心率为 ，过椭圆 上顶点 A 作一条斜率为 k（ k 0）的直线 l 与椭圆 另一个交点是 B，与圆 交于点 E，F （ 1）求椭圆 方程； （ 2）当 |3 时，求直线 l 的方程，并求 面积（其中 椭圆 右焦点） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由圆的面积公式得 ，得 r=2，从而求出 c= ，由椭圆 离心率为 ，求出 a， b，由此能求出椭圆方程 （ 2）设直线 l： y=，求出圆心 O 到直线 l 的 距离和 |联立 ，得（ 3），由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式能求出结果 【解答】 解：（ 1） 椭圆 + =1（ a b 0）和圆 x2+y2=r 0）， 圆 直径是椭圆 距长的 倍，且圆 面积为 4， ， r 0， 解得 r=2， 2r= ， r= ， c= ， 又 椭圆 离心率为 ， a2+b2= a= ， b=1， 椭圆方程为 （ 2）由（ 1）知圆 圆心 O（ 0， 0）， r= ， A（ 0， 1），设直线 l： y=， 圆心 O 到直线 l 的距离 d= ， |2 =2 ， 联立 ，得（ 3） ， 设 B（ 则 ， 第 19 页（共 23 页） | = = ， |3 ， | = =3 ， 7=0， （ ）（ 1） =0， ， k 0， k=1， 直线 l： y=x+1 | ， 点 直线 l 的距离 ， = = 19已知数列 足 = ，且 n N*， ， （ 1）求 通项公式； （ 2）设 bn=， n N*，求数列 前 2n 项和 （ 3）设 cn=1 1） n，证明： + + + 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由数列 足 = ， ， 当 n 为奇数时， ，此时数列 1（ k N*）成等差数列当 n 为偶数时， =2时数列 k N*）成等比数列，即可得出 （ 2） bn=， n N*，可得： 1+1=4k2k利用 “错位相减法 ”与分组求和即可得出 （ 3） cn=1 1） n=（ 2n 1） 2n+（ 1） n可得 = = ，（ n 5） . = = （ n 4），即可证明 【解答】 （ 1）解：数列 足 = ， ， 当 n 为奇数时， ，此时数列 1（ k N*）成等差数列，公差为 2，首项为 1，an=1=1+2（ k 1） =2k 1=n 第 20 页（共 23 页） 当 n 为偶数时， =2时数列 k N*）成等比数列，公比为 2，首项为 2，an=k= （ 2）解： bn=， n N*， 1+1=（ 2k+1+2k 1） 2k=4k2k 数列 前 2n 项和 b1+（ b3+（ 1+=4（ 2+2 22+3 23+k2k）， 令 +2 22+3 23+k2k， 22+2 2