2016年陕西省高考数学全真模拟理科试卷（三）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（三） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A（ 0， 3） B（ ， 1） （ 0， +） C（ ， 1） （ 3， +） D（ 1， 3） 2已知复数 z= ，则下列判断正确的是（ ） A z 的实部为 1 B |z|= C z 的虚部为 i D z 的共轭复数为 1 i 3双曲线 C： 的焦点到渐近线的距离等于（ ） A 1 B C 2 D 2 4等比数列 ，已知 ， ，则 ） A 4 B 16 C 4 D 4 5实数 x， y 满足 ，则 z= 的最小值为（ ） A B 1 C 1 D 0 6某校开设 A 类选修课 2 门， B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A 3 种 B 6 种 C 9 种 D 18 种 7函数 y= 的图象可能是（ ） A B C D 8某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ） A 36 B 30 C 27 D 12 9执行如图所示的程序框图，如果输入 n=4，则输出的 S=（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 10已知抛物线 C： x 的焦点为 F， P 为抛物线的准线上的一点，且 P 的纵坐标为正数，Q 是直线 抛物线 C 的一个交点，若 ，则直线 方程为（ ） A x y 2=0 B x+y 2=0 C x y 2=0 D不确定 11以下四个命题中，其中真命题的个数为（ ） 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样 若 命题 p：所有幂函数的图象不过第四象限，命题 q：存在 x R，使得 x 10 命题 p 且 q 为真 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1 若 a， b 0， 1，则不等式 a2+1 成立的概率为 A 1 B 2 C 3 D 4 12函数 f（ x） = ，则函数 y=f（ x） x+ 的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1），且 与 共线，则 |x|的值为 _ 14已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 4， 2），且 P（ 2 X 6） =则 P（ X 2） =_ 15（ 1 x）（ 1+x） 4 的展开式中 数为 _ 第 3 页（共 19 页） 16已知 A， B， C 是球 O 是球面上三点， ， ， ，且棱锥 O 则球 O 的表面积为 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17设 f（ x） =2x+ ） +2x ） （ 1）求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ ） = ， a=1，b+c=2，求 面积 18如图，高为 3 的直三棱柱 ，底面是直角三角形， ， D 为 中点， F 在线段 ， =0，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 19如图，将一个半径适当的小球放入容器上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物 3 次，最后落入 A 区域或 B 区域中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 （ 1）分别求出小球落入 A 区域和 B 区域中的概率； （ 2）若在容器入口处依次 放入 3 个小球，记 X 为落入 B 区域中的小球个数，求 X 的分布列和数学期望 20设点 P（ 2， 0）， Q（ 2， 0），直线 交于点 M，且它们的斜率之积为 （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； 第 4 页（共 19 页） （ 2）直线 l 的斜率为 1，直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，设 O 为坐标原点，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =e 是自然对数的底数， m R） （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若 m=1，且当 x 0 时，（ t x） f（ x） x+1 恒成立，其中 f（ x）为 f（ x）的导函数，求整数 t 的最大值 选修 4何证明选讲 22如图，已知 外角 平分线，交 延长线于点 D，延长 外接圆于点 F，连接 （ 1）求证： C； （ 2）若 接圆的直径， 20， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，直线 l 过点 M（ 3， 4），其倾斜角为 45，曲线 C 的参数方程为（ 为参数），再以原点为极点，以 x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 相同的长度单位 （ 1）求曲线 C 的极坐标方程； （ 2）设曲线 C 与直线 l 交于点 A， B，求 |值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|2x+1|+|2x 3| （ 1）求不等式 f（ x） 6 的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） |a 2|的解集非空，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（三） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A（ 0， 3） B（ ， 1） （ 0， +） C（ ， 1） （ 3， +） D（ 1， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中 x 的范围确定出 A，求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y=到 x 0，即 A=（ 0， +）， 由 B 中不等式变形 得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 B=（ 1， 3）， 则 AB=（ 0， 3）， 故选： A 2已知复数 z= ，则下列判断正确的是（ ） A z 的实部为 1 B |z|= C z 的虚部为 i D z 的共轭复数为 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解：复数 z= = =1 i， |z|= ， 故选： B 3双曲线 C： 的焦点到渐近线的距离等于（ ） A 1 B C 2 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， b， c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 C： 的 a=b=1， c= = ， 可得焦点为（ ， 0），渐近线方程为 y= x， 即有焦点到渐近线的距离等于 =1 故选： A 4等比数列 ，已知 ， ，则 ） A 4 B 16 C 4 D 4 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由等比数 列 性质可得： 第 6 页（共 19 页） 【解答】 解：由等比数列 ， ， ， 则 = 4 故选： A 5实数 x， y 满足 ，则 z= 的最小值为（ ） A B 1 C 1 D 0 【考点】 简单线性规划 【分 析】 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： z= 的几何意义是区域内的点到定点 C（ 2， 0）的斜率 由图象知 斜率最小， 此时最小值为 1， 故选： C 6某校开设 A 类选修课 2 门， B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A 3 种 B 6 种 C 9 种 D 18 种 【考点 】 计数原理的应用 【分析】 两类课程中各至少选一门，包含两种情况： A 类选修课选 1 门， B 类选修课选 2 门；A 类选修课选 2 门， B 类选修课选 1 门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果 【解答】 解：可分以下 2 种情况： A 类选修课选 1 门， B 类选修课选 2 门，有 不同的选法； A 类选修课选 2 门， B 类选修课选 1 门，有 不同的选法 根据分类计数原理知不同的选法共有 22+3=9 种 故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 9 种 故选： C 7函数 y= 的图象可能是（ ） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 当 x 0 时， ，当 x 0 时，作出函数图象为 B 【解答】 解：函数 y= 的定义域为（ ， 0） （ 0， +）关于原点对称 当 x 0 时， ， 当 x 0 时， ，此时函数图象与当 x 0 时函数的图象关于原点对称 故选 B 8某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ） A 36 B 30 C 27 D 12 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，且底面向左， 底面是一个边长为 3 正方形，且四棱锥的高为 4， 几何体的体积 V= =12， 故选： D 9执行如图所示的程序框图，如果输入 n=4，则输出的 S=（ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出 S= + + 的值，利用裂项相消法，可得答案 【解答】 解：由已知中的程序框图可知， 该程序的功能是计算并输出 S= + + + 的值， 由于： S= + + + = （ 1 + ） = （ 1 ） = 故选： D 10已知抛物线 C： x 的焦点为 F， P 为抛物线的准线上的一点，且 P 的纵坐标为正数，Q 是直线 抛物线 C 的一个交点，若 ，则直线 方程为（ ） A x y 2=0 B x+y 2=0 C x y 2=0 D不确定 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的定义，结合 ， P 的纵坐标为正数求出直线的斜率，即 可求出直线 方程 【解答】 解：抛物线 x 的焦点 F（ 2， 0），设 Q 到准线 l 的距离为 d，则 |d ， | |= d， 第 9 页（共 19 页） P 的纵坐标为正数， 直线的倾斜角为 135， 直线的斜率为 1， 直线的方程为 x+y 2=0 故选： B 11以下四个命题中，其中真命题的个数为（ ） 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样 若命题 p：所有幂函数的图象不过第四象限，命题 q：存在 x R，使得 x 10 命题 p 且 q 为真 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1 若 a， b 0， 1，则不等式 a2+1 成立的概率为 A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据系统抽样的应用进行判断 根据复合命题的真假关系进行判断 根据线性相关系数 r 意义判断 利用几何概型进行判断 【解答】 解： 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样故 错误， 若命题 p：所有幂函数的图象不过第四象限，为真命题命题 q：存在 x R，使得 x 10 真命题，比如当 x=100 时，不等式 x 10 立，则命题 p 且 q 为真故 正确， 根据线性相关系数 r 的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强， r 的绝对值越接近于1，故 正确； 若 a， b 0， 1，则 a， b 对应的平面区域为正方形，面积为 1，不 等式 a2+1 成立，对应的区域为半径为 1 的圆在第一象限的部分，所以面积为 ，所以由几何概型可知不等式 a2+1 成立的概率是 故 正确， 故选： C 12函数 f（ x） = ，则函数 y=f（ x） x+ 的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 令 y=0，可得 f（ x） = x ，作出函数 y=f（ x）的图象和直线 y= x ，通过图象观察交点的个数，即可得到所求零点的个数 第 10 页（共 19 页） 【解答】 解：由 y=f（ x） x+ =0，可得： f（ x） = x ， 作出函数 y=f（ x）的图象和直线 y= x ， 可得当 x=1 时， ； 0， 2 ， 由图象可得 y=f（ x）的图象与直线有 4 个交点 即函数 y=f（ x） x+ 的零点个数为 4 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1），且 与 共线，则 |x|的值为 2 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 由向量的坐标运算和平行关系可得 x 的方程，解方程可得 【解答】 解： 向量 =（ 2， 1）， =（ x， 1）， =（ 2 x， 2）， 与 共线， （ 2 x） =2x， 解得 x= 2，故 |x|=2 故答案为： 2 14已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 4， 2），且 P（ 2 X 6） = P（ X 2） = 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 随机变量 X 服从正态分布 N（ 4， 2），根据对称性，由 P（ 2 X 4）的概率可求出 P（ X 2） 【解答】 解： 随机变量 X 服从正态分布 N（ 4， 2），且 P（ 2 X 6） = 第 11 页（共 19 页） P（ 2 X 4） = P（ 2 X 6） = P（ X 2） =P（ 2 X 4） = 故答案为： 15（ 1 x）（ 1+x） 4 的展开式中 数为 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由于（ 1+x） 4 的展开式中 数分别为 ， ，可得（ 1 x）（ 1+x） 4 的展开式中 数为 + 【解答】 解： （ 1+x） 4 的展开式中 数分别为 ， ， （ 1 x）（ 1+x） 4 的展开式中 数为 + = 6+4= 2 故答案为： 2 16已知 A， B， C 是球 O 是球面上三点， ， ， ，且棱锥 O 则球 O 的表面积为 2 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出 O 到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积 【解答】 解：三棱锥 O A、 B、 C 三点均在球心 O 的表面上， 且 ， ， 0， ，外接圆的半径为： ， 外接圆的圆心为 G，则 G， S =2 ，三棱锥 O 体积为 ， S G= ，即 = ， ， 球的半径为： 2 球的表面积： 4 8=32 故答案为： 32 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 第 12 页（共 19 页） 17设 f（ x） =2x+ ） +2x ） （ 1）求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ ） = ， a=1，b+c=2，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）利用两角和与差的正弦函数公式化简已知可得 f（ x） =，由 2 2x 2， k Z，即可解得 f（ x）的单调递增区间 （ 2）在锐角 ，由 f（ ） = ，可得 ， A= ，又 a=1，b+c=2，利用余弦定理可得 ，利用三角形面积公式即可得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） f（ x） =2x+ ） +2x ） =3 分 由 2 2x 2， k Z，解得： x ， k Z， f（ x）的单调递增区间为： ， ， k Z （ 2）在锐角 ， f（ ） = ， ， A= ， 8 分 a=1， b+c=2， 由余弦定理可得： 1=b2+2（ b+c） 2 2 3 ， S = 12 分 18如图，高为 3 的直三棱柱 ，底面是直角三角形， ， D 为 中点， F 在线段 ， =0，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 第 13 页（共 19 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判 定 【分析】 （ 1）根据线面垂直的判定定理先证明 即可证明 平面 （ 2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，即可求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 【解答】 （ 1）证明： 直三棱柱 ，底面是直角三角形， D 为 中点， 平面 则 等腰直角三角形， 直三棱柱 高为 3， ， C= ， ， ， ， ， 满足 1 即 1F= 平面 （ 2）建立以 B 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： A（ ， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， 0， 0， 3）， ， 0， 3）， 0， ， 3）， F（ ， 0， 2）， 则平面 法向量为 =（ 0， 0， 1）， 即平面 平面 成的锐二面角的余弦值为 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 由 得 ，令 x=1则为 =（ 1， 3， ）， 则 |， |=| |= = 第 14 页（共 19 页） 19如图，将一个半径适当的小球放入容器上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物 3 次，最后落入 A 区域或 B 区域中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 （ 1）分别 求出小球落入 A 区域和 B 区域中的概率； （ 2）若在容器入口处依次放入 3 个小球，记 X 为落入 B 区域中的小球个数，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）记 “小球落入 A 区域 ”为事件 M， “小球落入 B 区域 ”为事件 N，事件 M 的对立事件为事件 N，小球落入 A 区域中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，由此能分别求出小球落入 A 区域和 B 区域中的概率 （ 2）由题意随机变量 X 的所有可 能的取值为 0， 1， 2， 3，且 X B（ 3， ），由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）记 “小球落入 A 区域 ”为事件 M， “小球落入 B 区域 ”为事件 N， 则事件 M 的对立事件为事件 N， 而小球落入 A 区域中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下， 故 P（ M） = = P（ N） =1 P（ M） =1 （ 2）由题意随机变量 X 的所有可能的取值为 0， 1， 2， 3，且 X B（ 3， ）， P（ X=0） = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 第 15 页（共 19 页） = 20设点 P（ 2， 0）， Q（ 2， 0），直线 交于点 M，且它们的斜率之积为 （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）直线 l 的斜率为 1，直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，设 O 为坐标原点，求 积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设出点 M 的坐标，表示出直线 斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是 ，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点 M 的轨迹方程 ； （ 2）设 l： y=x+b，代入 ，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出弦 ，求出点 O 到直线 l 的距离，利用均值定理推导出 S |d 1，并能求出此时直线 【解答】 解：（ 1）设 M（ x， y），由 P（ 2， 0）， Q（ 2， 0）， 所以 （ x 2）， （ x 2）， 由已知， = （ x 2）， 化简，得 +（ x 2）， 点 P 的轨迹方程为 +（ x 2）； （ 2）设 l： y=x+b，代入 ， 整理得 54=0， 设 A（ B（ 则 x1+ ， ， | |= = = = 由 0，得 6420（ 44） 0， 解得 5， 点 O 到直线 l 的距离 d= ， 即有 S |d= =1， 第 16 页（共 19 页） 当且仅当 5 b2= b= 时取等号， 故（ S ， 此时 l： 2x 2y =0 21已知函数 f（ x） =e 是自然对数的底数， m R） （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若 m=1，且当 x 0 时，（ t x） f（ x） x+1 恒成立，其中 f（ x）为 f（ x）的导函数，求整数 t 的最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【 分析】 （ 1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对 m 进行分类讨论，确定 而可得函数的单调递增区间； （ 2）问题转化为 t +x， ，令 g（ x） = +x，（ x 0），根据函数的单调性求出 t 的最大整数值即可 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =x R，得 f（ x） =m， 当 m 0 时，则 f（ x） =m 0 对 x R 恒成立， 此时 f（ x）的单调递增，递增区 间为（ ， +）； 当 m 0 时， 由 f（ x） =m 0，得到 x 所以， m 0 时， f（ x）的单调递增区间是（ +）； 综上，当 m 0 时， f（ x）的单调递增区间为（ ， +） 当 m 0 时， f（ x）的单调递增区间是（ +）； （ 2） m=1 时，（ t x）（ 1） x+1， x 0 时， 1 0，故 t +x， ， 令 g（ x） = +x，（ x 0），则 g（ x） = ， 令 h（ x） =x 2，则 h（ x） =1 0，（ x 0）， 函数 h（ x）在（ 0， +）递增， 而 h（ 1） 0， h（ 2） 0， h（ x）在（ 0， +）上存在唯一零点， 即 g（ x）在（ 0， +）上存在唯一零点， 设此零点是 （ 1， 2）， x （ 0， ， g（ x） 0， x （ +）时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， +）上的最小值是 g（ 由 g（ =0 得： =， g（ = （ 2， 3）， 由于 式等价于 t g（ 故整数 t 的最大值是 2 第 17 页（共 19 页） 选修 4何证明选讲 22如图，已知 外角 平分线，交 延长线于点 D，延长 外接圆于点 F，连接 （ 1）求证： C； （ 2）若 接圆的直径， 20， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）由已知得 而 此能证明C （ 2）由已知得 0从而 0， 0，由此能求出 【解答】 （ 1）证明：因为 分 所以 因为四边形 接于圆， 所以 因为 所以 ， 所以 C