2016年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年北京市通州区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1复数 z= 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2如图的程序框图输出 S 的值为（ ） A 16 B 32 C 64 D 128 3若非空集合 A， B， C 满足 AB=C，且 A 不是 B 的子集，则 “x C”是 “x A”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 24 B 20+4 C 28 D 24+4 5已知 首项为 2 且公差不为 0 的等差数列，若 等比数列，则 前 9项和等于（ ） A 26 B 30 C 36 D 40 第 2 页（共 21 页） 6若不等式组 所表示的平面区域被直线 y=分为面积相等的两部分，则 k 的值是（ ） A B C D 7已知点 A（ 3， 0），点 P 在抛物线 x 上，过点 P 的直线与直线 x= 1 垂直相交于点 B，|则 值为（ ） A B C D 8若定义域均为 D 的三个函数 f（ x）， g（ x）， h（ x）满足条件： x D，点（ x， g（ x） 与点（ x， h（ x）都关于点（ x， f（ x）对称 ，则称 h（ x）是 g（ x）关于 f（ x）的 “对称函数 ”已知 g（ x） = ， f（ x） =3x+b， h（ x）是 g（ x）关于 f（ x）的 “对称函数 ”，且h（ x） g（ x）恒成立，则实数 b 的取值范围是（ ） A（ ， B ， C 3， D ， +） 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9（ ） 6 的展开式中 系数是 _（用数字作答） 10在 ， A=60， ， 面积为 ，则 长为 _ 11如图，圆 O 的直径 ，直线 圆 O 相切于点 C， D，若 0，则 长为 _ 12若 ， ， 是单位向量，且 =0，则（ ） （ ）的最大值为 _ 13已知函数 f（ x） =|若 0 b a，且 f（ a） =f（ b），则 2a+b 的取值范围是 _ 14图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图 我们采用 “坐标 ”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数） 比如第一行记为（ 0， 1），第二行记为（ 1， 2），第三行记为（ 4， 5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的 “坐标 ”为 _，第 n（ n N*）行中白圈与黑圈的 “坐标 ”为_ 三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15已知函数 f（ x） = 第 3 页（共 21 页） （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）当 时，求函数 f（ x）的最大值和最小值 16中国天气网 2016 年 3 月 4 日晚六时通过手机 发布的 3 月 5 日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温 （ ）指出最高气温与最低气温的相关性； （ ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）； （ ）在 8： 00， 23： 00内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为 t1， 在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3的概率 17如图，在多面体 ，四边形 正方形， ， 0， D， H 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）在线段 是否存在一点 P，使得二面角 B P 的大小为 ？若存在求出 不存在请说明理由 18已知函数 f（ x） =（ x ） a 0） （ ）当 a= 时，求函数 f（ x）的零点； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）当 a 0 时，若 f（ x） + 0 对 x R 恒成立，求 a 的取值范围 19已知椭圆 M： 第 4 页（共 21 页） （ ）求椭圆 M 的离心率； （ ）设 O 为坐标原点， A， B， C 为椭圆 M 上的三个动点，若四边形 平行四边形，判断 面积是否为定值，并说明理由 20已知数列 足 ， | 中 n N*， p 是不 为 1 的常数 （ ）证明：若 递增数列，则 可能是等差数列； （ ）证明：若 递减的等比数列，则 的每一项都大于其后任意 m（ m N*）个项的和； （ ）若 p=2，且 1是递增数列， 递减数列，求数列 通项公式 第 5 页（共 21 页） 2016 年北京市通州区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1复数 z= 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置 【解答】 解： z= = = + i， 复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限 故选 A 2如图的程序框图输出 S 的值为（ ） A 16 B 32 C 64 D 128 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得 k=1， S=1 满足条件 k 4，执行循环体， S=2， k=2 满足条件 k 4，执行 循环体， S=8， k=4 满足条件 k 4，执行循环体， S=128， k=8 不满足条件 k 4，退出循环，输出 S 的值为 128 故选： D 第 6 页（共 21 页） 3若非空集合 A， B， C 满足 AB=C，且 A 不是 B 的子集，则 “x C”是 “x A”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由于 AB=C，且 A 不是 B 的子集，由 “x C”可得 “x A”，反之不成立即可判断出 【解答】 解： AB=C，且 A 不是 B 的子集， 则 “x C”“x A”，反之不成立 “x C”是 “x A”的充分不必要条件 故选： A 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 24 B 20+4 C 28 D 24+4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为 4 高为 2 的正四棱锥，该几何体的下部是边长为 4 的正方体，由 此能求出该几何体的表面积 【解答】 解：由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为 2 高为 1 的正四棱锥， 该几何体的下部是边长为 2 的正方体， 该几何体的表面积： S=5 22+4 2 =20+4 故选 B 5已知 首项为 2 且公差不为 0 的等差数列，若 等比数列，则 前 9项和等于（ ） A 26 B 30 C 36 D 40 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 设公差为 d，由已知得（ 2+2d） 2=2（ 2+5d），且 d 0，解得 d= ，由此能求出 前 9 项和 【解答】 解：设公差为 d， 第 7 页（共 21 页） 首项为 2 且公差不为 0 的等差数列， 等比数列， （ 2+2d） 2=2（ 2+5d），且 d 0， 解得 d= ， 前 9 项和 =36 故选： C 6若不等式组 所表示的平面区域被直线 y=分为面积相等的两部分，则 k 的值是（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，由直线 y=过点 A（ 0， ），结合平面区域被直线 y=为面积相等的两部分，可知直线过 B， C 的中点 D，求出 D 的坐标，利用两点求斜率公式得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， A（ 0， ）， C（ 0， 4）， 联立 ，解得 B（ 1， 1）， 直线 y=过定点 A（ 0， ）， 要使平面区域被直线 y=分为面积相等的两部分， 则直线 y=过 中点 D， 第 8 页（共 21 页） 由中点坐标公式 D（ ， ）， 故选： B 7已知点 A（ 3， 0），点 P 在抛物线 x 上，过点 P 的直线与直线 x= 1 垂直相交于点 B，|则 值为（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出 P 的坐标，可知 ， ， ，在 ，由余弦定理即可得 【解答】 解：由题意，可知 F（ 1， 0）， | P 的横坐标为 2，不妨取点 P（ 2， 2 ）， 又点 P 在抛物线 x 上，过点 P 的直线与直线 x= 1 垂直相交于 点 B， B（ 1， 2 ） 已知点 A（ 3， 0），可知 ， ， ， 在 ，由余弦定理可得 = = ， 故选 D 8若定义域均为 D 的三个函数 f（ x）， g（ x）， h（ x）满足条件： x D，点（ x， g（ x） 与点（ x， h（ x）都关于点（ x， f（ x）对称，则称 h（ x）是 g（ x）关于 f（ x）的 “对称函数 ”已知 g（ x） = ， f（ x） =3x+b， h（ x）是 g（ x）关于 f（ x）的 “对称函数 ”，且h（ x） g（ x）恒成立，则实数 b 的取值范围是（ ） A（ ， B ， C 3， D ， +） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 根据对称函数的定义，结合 h（ x） g（ x）恒成立，转化为点到直线的距离 d 1，利用点到直线的距离公式进行求解即可 【解答】 解：作出 g（ x）和 f（ x）的图象， 若 h（ x） g（ x）恒成立， 则 h（ x）在直线 f（ x）的上方， 即 g（ x）在直线 f（ x）的下方， 则直线 f（ x）的截距 b 0，且原点到直线 y=3x+b 的距离 d 1， 即 d= = 1，即 |b| ， 则 b 或 b （舍）， 第 9 页（共 21 页） 即实数 b 的取值范围是 ， +）， 故选： D 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9（ ） 6 的展开式中 系数是 20（用数字作答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中 系数 【解答】 解：由于（ ） 6 的展开式的通项公式为 = 3r， 令 12 3r=3，解得 r=3，故展开式中 系数是 =20， 故答案为： 20 10在 ， A=60， ， 面积为 ，则 长为 【考点】 余弦定理 【分析】 先利用三角形面积公式和 A 求得 而利用余弦定理求得 【解答】 解：由三角形面积公式可知 由余弦定理可知 = 故答案为： 11如图，圆 O 的直径 ，直线 圆 O 相切于点 C， D，若 0，则 长为 1 第 10 页（共 21 页） 【考点】 圆的切线的性质定理的证明 【分析】 利用圆的性质、切线的性质、三角形相似 的判定与性质、三角函数的定义即可得出 【解答】 解：圆 O 的直径 ， 若 0，则 ， 若直线 圆 O 相切于点 C， D， 则 0， ， 故答案为： 1 12若 ， ， 是单位向量，且 =0，则（ ） （ ）的最大值为 1+ 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 ， ， 是单位向量，且 =0，可设 =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， =（ 将（ ） （ ）的表达式转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质得到（ ） （ ）的最大值 【解答】 解：由题意设 =（ 1， 0） ， =（ 0， 1）， =（ 则（ ） （ ） =（ 1 （ 1 = 1 （ =1 ）， （ ） （ ）的最大值为 1+ ， 故答案为： 1+ 13已知函数 f（ x） =|若 0 b a，且 f（ a） =f（ b），则 2a+b 的取值范围是 2 ，+） 【考点】 函数的图象 【分析】 画出函数 f（ x） =|图象，可得 b 1 a，且 合对数的运算性质和基本不等式，可得答案 【解答】 解：函数 f（ x） =|图象如下图所示： 若 0 b a，且 f（ a） =f（ b）， 则 b 1 a，且 即 ， 2a+b =2 ， 第 11 页（共 21 页） 当且仅当 a= 时，取等号， 故 2a+b 的取值范围是 2 ， +）， 故答案为： 2 ， +） 14图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图 甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图 我们采用 “坐标 ”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为（ 0， 1），第二行记为（ 1， 2），第三行记为（ 4， 5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的 “坐标 ”为（ 13， 14），第 n（ n N*）行中白圈与黑圈的 “坐标 ”为（ ， ） 【考点】 数列递推式；归纳推理 【分析】 根据图甲所示的分形规律， 1 个白圈分形为 2 个白圈 1 个黑圈， 1 个黑圈分形为 1个白圈 2 个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的黑白圈的个数，进而可归纳第 n 行的墨白圈数 【解答】 解：根据图甲所示的分形规律， 1 个白圈分形为 2 个白圈 1 个黑圈， 1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈， 记某行白圈 x 个，黑圈 y 个为（ x， y）， 则第一行记为（ 0， 1）， 第二行记为（ 1， 2）， 第三行记为（ 4， 5）， 第四行记为（ 13， 14）， 第四行中白圈与黑圈的 “坐标 ”为：（ 13， 14）， 各行黑圈数乘以 2，分别是 2， 4， 10， 28， 82，即 1+1， 3+1， 9+1， 27+1， 81+1， 第 n 行的黑圈数为 ， 而第 n 行共有： 3n 1 个圈， 故第 n 行的白圈数为 3n 1 = ， 故第 n（ n N*）行中白圈与黑圈的 “坐标 ”为（ ， ）， 故答案为：（ 13， 14），（ ， ） 第 12 页（共 21 页） 三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）当 时，求函数 f（ x）的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）展开多项式乘多项式，利用倍角公式降幂再用两 角差的正弦化积，则周期可求； （ ）由 x 的范围求得相位的范围，进一步求出 2x ）的范围得答案 【解答】 解：（ ） f（ x） = = T= ； （ ） ， 2x ， 则 2x ， 则 2x ） 1， 函数 f（ x）的最大值和最小值分别为 0 和 16中国天气网 2016 年 3 月 4 日晚六时通过手机发布的 3 月 5 日通州区天气预报 的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温 （ ）指出最高气温与最低气温的相关性； （ ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）； （ ）在 8： 00， 23： 00内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为 t1， 在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3的概率 第 13 页（共 21 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布折线图、密度曲线 【分析】 （ ）由最高气温与最低气温的折线图得到最高气温越高，相应地最低气温也越高 （ ）由最高气温曲线波动较小，得到最高气温方差小于最低气温方差 （ ）由最高气温与最低气温的折线图列表求出连续两个整点时刻（基本事件）共有 15 个，其中满足 “”恰好有一个时刻的温差不小于 3”的事件（记为 A）共有 3 个，由此能求出在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3的概率 【解答】 解：（ ）由最高气温与最低气温的折线图得到： 最高气温与最低气温之间成正相关， 即最高气温越高，相应地最低气温也越高 （ ）由最高气温与 最低气温的折线图得到： 最高气温曲线波动较小， 最高气温方差小于最低气温方差 （ ）由最高气温与最低气温的折线图可得下表： 由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有 15 个： （ 8： 00， 9： 00），（ 9： 00， 10： 00），（ 10： 00， 11： 00）， （ 11： 00， 12： 00），（ 12： 00， 13： 00），（ 13： 00， 14： 00）， 14： 00， 15： 00），（ 15： 00， 16： 00），（ 16： 00， 17： 00）， （ 17： 00， 18： 00），（ 18： 00， 19： 00），（ 19： 00， 20： 00）， （ 20： 00， 21： 00），（ 21： 00， 22： 00），（ 22： 00， 23： 00）， 其中满足 “”恰好有一个时刻的温差不小于 3”的事件（记为 A）共有 3 个， （ 11： 00， 12： 00），（ 15： 00， 16： 00），（ 20： 00， 21： 00）， 在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3的概率： P（ A） = 第 14 页（共 21 页） 17如图，在多面体 ，四边形 正方形， ， 0， D， H 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）在线段 是否存在一点 P，使得二面角 B P 的大小为 ？若存在求出 不存在请说明理由 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ） D=O，连接 导出四边形 平行四边形，由此能证明 平面 （ ）推导出 而 平面 此能证明 平面 （ ） 两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段 是存在一点 P，使得二面角 B P 的大小为 ，且 【解答】 证明：（ ） D=O，连接 因为 正方形，所以 O 是 点， 又 H 是 点，所以 ， ， 所以 H， 所以四边形 平行四边形， 所以 又因为 面 面 所以 平面 （ ）因为 D， H 是 中点，所以 又因为 以 因为 以 平面 因为 面 以 所以 平面 解：（ ） 两垂直，建立如图所示的坐 标系， ， B（ 0， ， 0）， C（ ， 0， 0）， F（ 0， 0， 1）， D（ 0， ， 0）， 设 P（ a， b， 0）， ， 0 1，即（ a， b ， 0） =（ ， ， 0）， a= ， ， P（ ， ， 0）， =（ 0， ， 1）， =（ ， ， 1）， 平面 法向量 =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 第 15 页（共 21 页） 则 ，取 x= ，得 =（ ， ， 2） 二面角 B P 的大小为 ， | |=| |= ， 解得 =0， 线段 是存在一点 P，使得二面角 B P 的大小为 ，且 18已知函数 f（ x） =（ x ） a 0） （ ）当 a= 时，求函数 f（ x）的零点； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）当 a 0 时，若 f（ x） + 0 对 x R 恒成立，求 a 的取值范围 【 考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出 f（ x），令 f（ x） =0，解出即可； （ ）先求出 f（ x） =0 的值，讨论 a 的范围，解不等式 x） 0 和 x） 0 即可求出函数的单调区间； （ ）根据函数的单调性从而求出 f（ x）的最小值，使 f（ x） + 0 恒成立，求出 【解答】 解：（ ） a= 时， f（ x） =（ x 2） ， 令 f（ x） =0，即 x 2=0，解得： x= 1 或 x=2； （ ） f（ x） =）（ x 1）， 第 16 页（共 21 页） 令 f（ x） =0 则 x=1 或 ， 当 a 2 时， 1， f（ x）在（ ， ）和（ 1， +）上单调递减，在（ ， 1）上单调递增； 当 a= 2 时， =1， f（ x） 0， f（ x）在 R 上减函数； 当 2 a 0 时， =1， f（ x）在（ ， 1）和（ ， +）上单调递减，在（ 1， ）上单调递增； a 0 时， 1， f（ x）在（ ， ）和（ 1， +）上单调递增，在（ ， 1）上单调递减； （ ）由（ ）得： a 0 时， f（ x）在（ ， ）和（ 1， +）上单调递减，在（ ， 1）上单调递增； x 时， f（ x） 0， f（ 1） = 最小值， 0 对 x R 恒成立，解得： a （ 0， 19已知椭圆 M： （ ）求椭圆 M 的离心率； （ ）设 O 为坐标原点， A， B， C 为椭圆 M 上的三个动点，若四边形 平行四边形，判断 面积是否为定值，并说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）椭圆 M 化为标准方程，由此能求出椭圆 M 的离心率 （ ）若 B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时 直平分 出 面积为；若 B 不是椭圆的左右顶点，设 y=kx+m， k 0，由 ，得（ 2）20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式求出 面积，从而得到 面积为定值 【解答】 解：（ ） 椭圆 M： ， 椭圆 M 的标准方程为： ， a= ， b=1， c=1， 椭圆 M 的离心率 e= （ ） 若 B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时 直平分 第 17 页（共 21 页） A（ ， ）， C（ ， ）， B（ ， 0）， | ， | ， 面积 = 若 B 不是椭圆的左右顶点，设 y=kx+m， k 0， A（ B（ 由 ，得（ 2） 20=0， =164（ 2）（ 22） 0， ， ， y1+y2=k（ x1+2m= ， 四边形 平行四边形， A+ x1+y1+=（ ， ）， B（ ， ）， 代入椭圆方程，化简，得 24= | = = = = ， 点 O 到直线 距离 d= 面积 S = = 第 18 页（共 21 页） 综上， 面积为定值 ， 面积 = 面积， 面积为定值 20已知数列 足 ， | 中 n N*， p 是不为 1 的常数 （ ）证明：若 递增数列，则 可能是等差数列； （ ）证明：若 递减的等比数列，则 的每一项都大于其后任意 m（ m N*）个项的和； （ ）若 p=2，且 1是递增数列， 递减数列，求数列 通项公式 【考点】 数列递 推式；等比数列的通项公式 【分析】 （ ）利用反证法即可证明； （ ）通过令 n=1、 2 两种情况即可求出公比 q，进而计算可得结论； （ ）通过在 | 2n 中令 n=1 可知 或 1，分两种情况讨论，在每一种情况中分别求出数列 1、