高一秋季物理竞赛班第12讲_教师版

第12讲 力学综合+角动量本讲提示： 1.归纳力学模型，提高分析综合问题的能力； 2.总结力学原理适用范围以及使用某个原理的目的。 从数学的角度，所有牛顿力学范围内的问题都可以通过一个套路化的流程解决：先利用牛顿第二定律列出微分方程与牵连方程，再找出边界条件，剩下的工作交给解方程即可，方程会回答所有的问题。但是在高中遇到的问题绝大部分都是一些特殊情景，数学模型都很巧，所以基本不用积分（而且对大部分同学来说套路解法也不现实，学会做微积分的数学题不难，难在对着物理问题运用微分方程）。这就出现了联立受力分析，运动态分析，动量分析，能量分析，角动量分析5大力学思路综合运用的特殊解法。 从考试的角度，无论是高考压轴，自招还是竞赛，多数同学要能迅速准确答题，基本都得多归纳，多训练，通过“刷题”积累模型。从学习的角度，积累模型的同学总算比对着样题模仿的同学学的深刻一些。应试大战中的“超级成功人士”，考试的时候，大部分时候基本不是在根据原理分析题，而是条件反射的写出对习题条件的解读，只有少数的地方他会去动些脑经。 从学习的角度，我们不太支持我们的同学把空闲时间无限度的花在“刷题”上，虽然这样考试成绩提高明显。大家可把本讲当做一次对前期所学物理原理的一次复习和反思。把不同的物理原理放在一个物理模型中思考，既能加深对原理的理解，又能获得较高成就感，更有趣的是我们往往会发现一些“矛盾”甚至是“悖论”，当然这些矛盾多数不是某个物理原理错了，而是我们理解不当。物理学的发展往往在这些矛盾的解决过程中实现，比如历史上麦克斯韦方程与经典力学在光速问题上的矛盾就导致了相对论的产生 。我们同学学习物理的过程中也会不停的遇到前后知识在同一模型中矛盾的情况，可以说解决这些问题的过程中我们不仅会加强对定律本质的理解，更会训练出一种能力，这种能力会在将来的学习以及研究过程中经常用到。 总的来说，学习物理，思考物理，其味无穷，其乐亦无穷。知识点睛1 受力分析 一个物体的运动状态与之受力有必然对应关系，这就是我们分析问题首先应该注意到的思路。 从运动态出发,力学的方程有： 1.刚体平衡必须满足两个条件 其一：力的矢量和等于零,即 其二：作用于刚体的力对于矩心O的合力矩也为零,即 某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘,即 分析的时候注意具体力的特点，注意总结典型力学模型中受力特点。 注意“轻”的东西无论运动态如何，受力为平衡力（矩）。 2.如物体不平衡（1）对平动，一个物体加速度满足牛顿第二定律： 这个定律使用既可以在直角坐标系使用，也可以在其它坐标系使用，如果在自然坐标中使用，我们把垂直速度的加速度叫向心加速度，由向心力提供。牛顿定律使用的难点在于注意发现某个分量上的加速度特点以及熟练使用矢量分解技巧。牛顿定律的作用是计算运动态与力的关系，以及对加速度积分得到速度变化量，对速度积分得到位移。牛顿定律分别对时间积分得到动量定理，对空间积分得到动能定理。对系统使用分别得到动量守恒条件以及系统能量守恒的原理。使用牛顿定律经常要换参考系，变化参考系时必须补画惯性力，惯性力的大小等于受力物质量与参考系绝对加速度之乘积，方向与参考系绝对加速度相反。（2）对转动，我们引入角动量这个物理量（以下内容了解即可）：角动量 力矩对应力，动量作为一个矢量，也可以类似的引入一个动量矩，叫角动量：L =rp 这里的p是一个动量，而r是一个从某个参考点出发的位移矢量，一般我们取这个参考点是相对于参考系静止的。暂时我们只考虑质点的情况，刚体的角动量以后再引入。角动量定理 下面我们考虑这个L随时间的变化： （因为，且,所以） 所以类似于动量和力的关系，我们可以知道：也就是质点对任意固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。只有质点系的外力的力矩才会改变质点点系的角动量，而内力相互抵消。【总结】受力分析的目的在于弄清楚力与运动的关系，弄明白哪些量守恒。二运动态分析运动态分析包含：1. 轨迹的认识，通常用坐标系分解去理解。要注意分析运动的合成与分解，独立性原理，换系后相对运动计算。 2.牵连速度（1）杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速 （2）接触物体在接触面法线方向的分速度相同,切向分速度在无相对滑动时也相同.（3）线状交叉物体交叉点的速度是相交物体双方沿各自切向运动分速度的矢量和. 3.牵连加速度（1） 直角坐标系中某方向速度比等于加速度比（2） 用绳或者杆连接物体改变沿绳子速度大小加速度一直（注意沿绳子合加速度通常不一致），或者利用换系后的圆周运动理解加速度关联，对于接触面为曲线的情况一般也采用换系后使用向心加速度公式推导关联加速度。 三.动量分析 质点的动量变化有力的冲量导致，即： 这个方程多数使用正交分解的矢量式。 对于一个质点系，内力总冲量为零，该方程也成立。如一个体系外力时刻为零，则动量守恒。动量方程与牛顿定律方程不必同时列出，但与能量方程具备互补性。4 能量分析 一个物体，外力对之做功等于动能该变量，即： 一个封闭体系，所以能量的总和为零，如有外力功，可理解为引入能量。 以上能量方程只列一个即可，也不与牛顿定律同时出现。5 角动量分析角动量守恒从前面的公式我们可以知道，只有当M=0时，角动量才能守恒，那么只有两种情况： 1.外力为零。 2. 力F通过定点，也就是有心力，那么相对于那个定点，力矩始终为零，所以角动量守恒。 使用角动量注意参考点的选择。【总结】解决复杂力学问题的两条路径：动量分析与功能分析以及运用角动量守恒，在复杂的问题中，这几条规律往往一起运用，看起来他们的定义与关系都很相似，但是其实是三个完全独立的方程，动量讨论方向问题，而能量讨论力与位移的关系，角动量讨论有心力场的问题。为了方便大家记忆，可以参考下表来理解转动和平动的关系：平动转动关系位移 角度变化 速度 角速度 加速度 角加速度 惯性质量 转动惯量 其中 表示质点和转动轴的距离牛顿定律 动量守恒 角动量守恒 质点的形式动能 动能例题精讲【例1】 轻杆可以围绕固定点自由无阻力转动，质量为的球开始固定在轻杆的中点，质量为的球固定在干的下方端点除，一个质量也为的球以速度入射，并且入射后与的末端连在一起，合体后的速度多大？【解析】【例2】 水平的光滑桌面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系由一质量为的物体，开始时，用手握住下面的物体，桌上的物体以速率作半径为的匀速圆周运动，然后放手，求桌上绳索最大长度和最小长度【解析】 由于开始所需向心力所以小球必“甩”出去，会被拉长，下球会上升，开始时为最小长度当绳最长时能量定恒：此时速度又一次与绳垂直：【例3】 两质量都为的小球以速度平动撞向墙面，杆与墙的初始夹角，设碰撞为完全弹性碰撞，不考虑摩擦以及重力 ，求撞墙后两球速度【解析】 方法1：设碰后质心向左系统绕质心角速度，设杆长2由能量：以被碰处为轴：角动量守恒：解之得：方法2：也可注意到轻杆只有两受力点，则对二球冲量必沿杆，那么未碰墙的球垂直杆速度分量不变即此方程实际与式可互推，这说明此模型中角动量守恒，其实指的就是杆对二球力沿杆，无力矩但一旦在质心处再固定一球，方法二就不能用了杆对三球总力矩为0，但并不沿杆【例4】 如图所示，一个质量为的箱子与一个质量为的箱子用压缩弹簧连接，以速度一起在空间中匀速运动，弹簧上存储有一定弹性势能，突然约束的绳子自发断了，当弹簧摊开两物体时，的速度变为了，则这个过程中，弹簧释放了多少势能？弹簧对，分别做多少功？假设【解析】 解法一：由动量守恒能量当时，可忽略，而弹簧只对做功比多，原因是弹簧还对做了负功，从能量的角度可以认为与弹簧都把能量传给了解法二：由于，那么以大物体为系，受惯性力是无穷小可忽略在看来，就弹簧把势能放给了这与上面严格求解答案一致这个模型告诉我们“大小”作用中如加速度不大可近似认为其为惯性系二体问题可简化为一体问题【例5】 已知赤道处相对于地轴自转速度为0.46km/s，第一宇宙速度相对地轴约7.9km/s，发射一个1000kg的航天器，至少需要消耗多少有用能量？【解析】 显然燃料消耗有用能航天器动能一部分由燃料来，一部分由地球传给航天器【例6】 如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m,发射筒与水平面成450角,小车放在光滑水平面上,被发射的小球质量为m,现将弹簧压缩L后放入小球,从静止开始,将小球弹射出去.已知小球的射高为H,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数k. 解:此题最易犯的错误是认为小球的出口速度方向与水平面成450,实际上由于小车向后运动,发射的小球抛射角a45。设小球刚射出时对地速度的分量分别为vx及vy,车的速度为v.有系统在x方向动量守恒mvx=3mv 在发射过程中,有机械能守恒 小球的竖直速度与射高的关系再有小球的速度与相对速度的关系 有以上四个方程得. 【例7】 一质量为M的大炮，炮口仰角为,炮弹质量为m，如固定炮身，其落地时水平射程是s，如不固定，射程应满足什么方程？【解析】如固定，设炮弹出镗速度为v，经过时间t落地，此过程炸药释放能量为E，则：且如不固定，设炮弹出镗速度为相对炮口速度为v相，炮身反冲速度为u，经过时间t落地，此过程炸药释放能量为E一定，射程为s【例8】 如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A，A、B便开始运动。设A杆的位置用q 表示，q 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小（表示成q 的函数）。【解析】由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度 因而 由能量守恒 mB2mA得 【例9】 如图所示，光滑水平面上有一长为L的平板小车,其质量为M，车左端站着一个质量为m的人,车和人都处于静止状态，若人要从车的左端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（对地）。【解析】：设人起跳的速度大小为v0,与水平面的夹角为a则人的水平位移：，对人而言，a=45时，x1最大，v0可最小，但车向左在运动，x与车的速度有关。有水平方向动量守恒：-Mv+mv0soca=0,得车的速度v=mv0soca/M,人落到车的右端条件：，得起跳的速度大小：，当a=45时， v0最小，起跳的最小速度：。 【例10】 如图所示,金属板A的质量为M,金属球B的质量为m,长为L的轻杆将球与板的中央O点连接,O为转动轴,开始时杆处于竖直位置,球和板都静止在光滑的水平面上.放开B球后杆将倒下.求杆抵达水平位置时,杆对金属小球B的拉力. 解:杆水平时,球和板有共同的水平速度,有水平方向动量守恒,得水平方向的共同速度为零（只有m的竖直速度，但加速度都不为零）。当杆抵达水平时,有机械能守恒,小球的竖直速度.设此时球对地的加速度am,板对地的加速度aM。则球相对转动点(板)的加速a=am+aM= 对M:T=MaM 对m:T=mam 得. 或若取板为参照系时,有,得. 【例11】 如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条坚直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）。已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断栓住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。【解析】在时间t 内任一时刻，法码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码2、3与托盘速度的大小都是v2，沿着运动方向，取整体为研究对象，运动方向合外力为零，由动量守恒： 在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动。以l1表示在t 时间内弹簧上端向上运动的距离，l2表示其下端向下运动的距离。由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的13，故有 另有 在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有 所以 砝码1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有 v1gt1 砝码2、3和托盘的受力情况如图 所示，以a表示加速度的大小，有 mgTma T0mgma T02T 托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有v2at2 即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇。题中要求的时间 课后练习1.如图所示,质量为M小车在光滑的水平面上以v的速度向左作匀速直线运动.一质量为m的小球从高为h处自由下落,与小车碰撞后,反弹上升的高度仍为h,小球与小车碰撞时,小球受到小车的弹力Nmg,小球与小车间的动摩擦因数为m,求小球弹起后的水平速度。 解：小球刚落到车上量的竖直速度。设小碰后的水平速度为v，竖直方向的速度变为2v0，平均支持力为N，在竖直方向：Nt=2mv0,在此过程中摩擦力产生的冲量:ft=mNt=2mmv0,根据动量定理：2mmv0=mv,得小球弹起后的水平速度v=2mv0=若2mmv0mv,实际上小球离开小车前摩擦力消失，小球的水平速度与小车相等。有动量守恒定律：Mv=(M+m)v,得小球弹起后的水平速度v=Mv/(M+m). 2. 一根质量为M均匀的麦管放在无摩擦的水平桌面上,麦管有一半突出桌子外,一只质量为m的苍蝇降落到麦管在桌内末端上,并从麦管的末端爬到另一端.麦管没有倾覆.甚至当有另一只苍蝇在此时落到第一只苍蝇身上时,麦管也没有倾覆,问第二只苍蝇质量最大值是什么?解:设麦管的长度为L,因为桌面无摩擦,水平方向无外力作用,苍蝇移动到另一端时,设苍蝇的位移为A,麦管向里移动B。由动量守恒,苍蝇和麦管在任一时刻的动量大小关系Mv麦=mv苍,或Mv麦Dt=mv苍Dt，两边求和得MB=mA，且B+A=L,得或由质心定律，对末端，质心的位置 (1)如果Mm,则BL,即整根麦管在桌内,第二只苍蝇的质量可任意值.(2)如果Mm,设第二只苍蝇的质量为m,求第二只苍蝇质量的最大值,可把第二只苍蝇降到第一只苍蝇时的速度认为是零.由力矩平衡条件MgB(m+m)g(L-B) 所以第二只苍蝇质量的最大值. 3. 如图所示,两个弹性小球互相接触,下面小球的质量为M,上面小球的质量为m,让两个小球从高为h处由静止开始自由下落.下落时这两个小球的球心始终在一条竖直线上,与地碰撞后弹起,而且所有碰撞均为弹性碰撞(设Mm,两小球均可看成质点).上面这个小球反弹后能达到的最大高度. 解:小球着地时的速度为v=。 下面的小球先与地面碰撞后，仍以v的速度弹起,与上面小球碰撞,碰撞前两小球的相对速度大小为2v.因Mm,且是弹性碰撞,两小球碰撞后,下面的小球速度不变,两小球的相对速度大小也不变,所以上面小球反弹的速度大小为3v,得上面小球反弹的最大高度. 小故事价值千金的重水1939年，法国物理学家约里奥居里和他的同事们正在从事原子能研究，第二次世界大战爆发了。德国法西斯发动了闪电般的攻势，1940年5月入侵荷兰，紧接着占领了比利时，矛头直指巴黎。那时候，在约里奥的实验室里保存着200升重水。他们非常担心这些宝贵的液体会落到侵略者的手中，就把它秘密转移到一座监狱里藏了起来。不久，法国政府向纳粹德国投降了。为了不让重水被纳粹党徒抢走，在约里奥的安排下，物理学家哈尔本和柯瓦尔斯基冒着生命危险，带了这些重水从波尔多乘船逃往英国。那天，共有三艘船由波尔多港起航，一出海就被德国空军炸沉了两艘。德国人知道重水被偷运走了，气得暴跳如雷。他们质问约里奥：“你的同事乘哪条船逃跑的？”约里奥沉着机智地说出了被炸沉的一艘船的名字。德国人就没有追究。其实，哈尔本和柯瓦尔斯乘坐的那一艘船没被炸沉，200升重水幸运地保存下来了。1940年秋天，德军侵入挪威，占