第2讲热学_热力学第一定律、活塞过程.学生版

高二物理竞赛第 2 讲 热力学第一定律与活塞运动本讲导学热力学第一定律是能量守恒在热学中的体现，是解决所有涉及动力学过程的热力学题目的基础。“活塞”是连接两个互相分离的腔体的一种装置。由于活塞通常可以自由移动，因此问 题会变得十分复杂。然而，活塞题通常的特点是烦而不难，希望同学们能够耐心求解。本讲 将向您介绍热力学第一定律以及一些活塞过程。学完之后能给你的同学讲明白这几个问题，就算成功了：1）为什么内能之和状态有关，做功和吸热与过程有关，为什么比热是与过程有关 的，而不只是材料的属性。知识点睛2）当活塞两边压强不一样的时候，算体积功，应当怎样选择用哪一边计算。热力学第一定律：这是能量守恒在热力学过程中的体现。 当系统与外界间的相互作用既有做功又有热传递两种方式时，设系统内能增加量为 DE 。在这一过程中系统从外界吸收的热量为 Q，外界对系统做功为 W，则 DE = Q + W 。 式中各量是代数量，有正负之分。系统吸热 Q0，系统放热 Q0；外界做功 W0，系统做功 W0；内能增加。E0，内能减少E0。热力学第一定律是普遍的能量转化和守恒定律在热现象中的具体表 现。活塞过程泛指容器中有活塞的气体过程。通常气体过程是要求准静态的，因此活塞在任意时刻都受力平衡。这是沟通两个腔体中的气体的一个条件。运用理想气体状态方程和热力学第一定律即可解决大部分 活塞问题。还有一类特殊的活塞问题，是求解在平衡状态下，活塞偏离平衡位置的小振动。通常，如果没有特殊 说明，那么我们取气体的绝热模型。我们把满足 PVn=常量的过程称为多方过程，其中 n 为多方系数。n=1 时，即为等温过程，n=时为绝 热过程，n=0 为等压过程，n=为等体过程。 讲述高端的，真正的物理学高二物理竞赛第 2 讲教师版通常，我们可以运用热学和力学来计算我们的大气层高度。一个模型是等温模型，它假设各个高度的 大气是等温的，进而求解。另一个模型是绝热模型，它假设气体的热交换是不充分的，不同高度的大气满 足绝热关系：PV=C。自由膨胀过程不是一个准静态过程，不能用状态图来表达，但热力学第一定律仍然成立。理想气体在 自由膨胀中不做功（因为没有“受力者”）。假如这个过程中也能够保持绝热，那么则气体内能不变，即温 度不变。例题精讲【例1】 如图所示，绝热气缸被一绝热活塞分成 a、b 两室，活塞在气缸内可以无摩擦地自 由滑动，每室内都有 1mol 的理想气体，其定容摩尔热容量 CV=5R/2。开始时，气体都 处于平衡态，它们的压强都是 p0，体积为 V0，温度为 T0。a 室中有一电加热器，现通 过电加热器对 a 室中的气体徐徐加热，直到 a 室内的气体压强变为 2p0，问：（1）加热后，a、b 两室内气体的温度各为多少？（2）在这过程中，a 室中的气体做了多少功？（3）加热器传给 a 室气体的热量是多少？【例2】 如图所示，A、B 是两个内径相同的圆柱形气缸，竖直放置在大气中，大气压强为 p0。质量都是 m 的活塞分别把都是 n mol 的同种理想气体封闭在气缸内，气缸横截面的 面积为 S。气缸 B 的活塞与一处在竖直状态的劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，弹簧的上 端固定。初始时，两气缸中气体的温度都是 T1，活塞都处在平衡状态，弹簧既未压缩亦 未拉长。现让两气缸中的气体都缓慢降温至同一温度，已知此时 B 中气体的体积为其初 始体积的 a 倍，试求在此降温过程中气缸 A 中气体传出的热量 QA 与气缸 B 中气体传出 的热量 QB 之差。【例3】 如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为 H、内壁横截面积为 S 的绝热气缸内，有 一质量为 m 的绝热活塞 A 把缸内分成上、下两部分。活塞可在缸内贴着缸壁无摩擦地上 下滑动。缸内顶部与 A 之间串联着两个劲度系数分别为 k1 和 k2（k1k2）的轻质弹簧。 A 的上方为真空；A 的下方盛有一定质量的理想气体。已知系统处于平衡状态，A 所在 处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为 h1=H/4。现 给电炉丝 R 通电流对气体加热，使 A 从高度 h1 开始上升，停止加热后系统达到平衡时 活塞的高度为 h2=3H/4。求此过程中气体吸收的热量Q。已知当体积不变时，每摩尔 该气体温度每升高 1K 吸收的热量为 3R/2，R 为普适气体恒量。在整个过程中假设弹簧 始终遵从胡克定律。【例4】 如图所示，为一搁在支架上的直立气缸，其上部圆筒的体积为 Vm，内有一个质量 为 2m、截面积为 2S 的很薄的活塞 A。下部圆筒足够长，内有一个质量为 m、截面积为 S 的活塞 B。两圆筒由一根细而短的管道连通，不计摩擦。活塞 A 上方盛有 1mol 的理想 气体，活塞 A、B 之间盛有 2mol 的同种理想气体，活塞 A、B 之间盛有 2mol 的同种理想 气体。达到平衡时，A 上方气体温度为 T0，A、B 之间气体体积大于 Vm。该理想气体每 摩尔的内能 U 可用 U=CT 来表示，C 为恒量。设活塞和气缸壁都是不导热的，B 下方的大 气压为 p0。今通过电热丝 L 对 A 上方气体缓慢加热，若在整个加热过程中传给 A 上方 气体之热量为 Q0，问：（1）再达到平衡时，A 上方气体的温度 T 是多少？（2）在加热过程中，活塞 B 对大气做功多少？ 程中各量均取三位有效数字 L 312 L 【例5】 一封闭气缸由长度均为 L 的大小圆筒连接组成。校园通的截面积为 S，大圆筒截面 积为 S，在小、大圆筒的正中，各有一个良好透热的活塞将气缸分成 1,2,3 三室，三活 塞由刚性细杆连续，活塞不漏气，且与器壁间无摩擦三室内有同种气体，温度相等，三 活塞平衡，分别位于大小圆筒的正中间，此时，1 气室气体的压强 P1 ，3 室气体的压强 为 P3 = bP1 。现对整个系统加热，各室温度相等地上升。求对整个系统加热的总量为 Q 时，1 室气体的压强增加了多少？已知气体的定容摩尔热容量为 Cv 。【例6】 水平放置的圆筒形容器二活塞 A 和 B 分为三室，每室均有 1 mol 的氮气三室温度相 同为 T0 ，每室长 l 第 3 室右侧壁为良好透热的并与温度为 T0 的恒温大热源接触圆筒的 其余壁和二活塞都是绝热的。现用电阻丝对中间的第 1 室加热，加热终止后，活塞 A 向左移动了 x = l0 ，第 3 室气体向恒温大热源共放了 Q = 0.18RT 的热量。求：加热终止040A21B3T0后各室气体的温度，及向“1”室加的热量为多少？0000【例7】 绝热气缸中活塞 A B 封住的两室内盛同质量的氮气，体积相等其中 A 是绝热的，B 是透热的，二活塞均光滑不漏气。活塞 B 与另一端固定的弹簧相连，弹簧无形变。气室 一通过透热活塞 B 与一恒温 T 和恒压 P 的大热源接触 T =300K，P =1.0105Pa。已知：-2 23二气室长为 L0=0.4m；活塞截面积 S=410 m ，弹簧倔强系数 k=410 N/m 现用电热器加热左室内的氮气，于是 A B 二活塞向右移动。加热中止时，B 活室向右移动 x1=0.1m， 1 室的氮气向大热源放热 Q0=151J。求电热器加给“左”室的热量。A 2L0L0T0 , P0B1【例8】 （1999 年 16 届预赛第三题）如图预 16-3 所示，两个截面相同的圆柱形容器， 右边容器高为 H ，上端封闭，左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活 塞。两容器由装有阀门的极细管道相连通，容器、活塞和细管都是绝热的。开始时，阀门关闭，左边容器中装有热力学温度为 T0 的单原子理想气体，平衡时活塞 到容器底的距离为 H ，右边容器内为真空。现将阀门缓慢打开，活塞便缓慢下降， 直至系统达到平衡。求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。【例9】 不考虑质量的可移动活塞把容器分成两个部分，容器对环境是绝热的，容器的一部 分有 m1=3.00g 的双原子氢气，温度是 T10=300K，另一部分有 m2=16.00g 的双原子氧气， 温度为 T20=400K。氢和氧的摩尔质量分别为 m1= 2.00g / mol 和 m2 = 32.00g / mol 。气 体普适常数 R=8.31J/(Kmol)。氢气和氧气之间的活塞有轻微的导热，最终系统达到 平衡，所有的过程都是准静态的。(1)系统最终的温度 T 是多少？ (2)系统最终压强 pf 和初始压强 pi 之比为多大？ (3)从氧气传递给氢气的热量 Q 是多少？【例10】 水平放置的圆筒形绝热容器内，一绝热活塞将圆筒分为体积相等的 1,2 室，每 室 体 积 V0 = 24.6L ， 分 盛 1mol 的 氮 气 和 氦 气 ， 温 度 均 为 T0 = 300k 活 塞 截 面 积 为 S = 12.3dm2 ，有一连杆通过容器左壁与活塞连接，细杆与器壁间以及活塞与圆筒内壁 间无摩擦不漏气。现缓慢向右推动连杆使活塞向右移动。直到氮气的体积为氦气的体积 为氦气体积的二倍为止。外力维持作用保持活塞平衡。（1） 求上述过程中外力作的功，以及最后作用力的大小（2） 打开活塞上的阀门 K 让两部分气体混合，再次平衡后混合气体的温度和压强为多 少？N2He1K2【例11】 如图所示，A、B 是两个圆筒形绝热容器，中间用一非常细的短管相连通，短 管中有导热性能良好的阀门 K，短管及阀门对外界也是绝热的F 为一带柄的绝热的活 塞，它与容器 A 的内表面紧密接触（不漏气），但摩擦可忽略不计开始时 K 关闭，F 处于 A 的左端，A 中有 n 摩尔理想气体，温度是 T0，B 中为真空现 在向右推动 F，直到 A 中气体的体积和 B 的容积相等在此过程中，已知对气体做功为 W， 气体温度变为 T1这时将 K 稍打开一点点，使 A 中的气体缓慢地向 B 中扩散同时让活塞 F 缓慢地前进，并保持 A 中活塞附近气体的压强近似于不变在此过程中，气体最后的温度是 多少？设活塞、阀门、容器的热容量皆可不计【例12】一个绝热的箱子，体积为V0 ，内有理想体积压强 p0 ，CV = 1.5R ，温度 T0 ， 外面大气压强 2 p0 ，温度 T0 。现在箱子上打一个小孔，让外面气体能进入箱子（最 后压强能平衡，但是热平衡还要经过很长时间才能达到）。问箱子内气体的温度会 达到多少。注意：取能进