2020届高考数学（理）“大题精练”（9）含答案

2020届高三数学（理）“大题精练”917在平面四边形中，.（1）若的面积为，求；（2）若，求.18如图，等腰梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.（）证明：；（）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.19为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.班级一一一一一一一一一一市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数221023321220在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，其中.（1）若，求的面积；（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.21已知实数，设函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围注：为自然对数的底数22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，都在曲线上.（1）求证：；（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.2020届高三数学（理）“大题精练”9（答案解析）17在平面四边形中，.（1）若的面积为，求；（2）若，求.【解】（1）在中，因为，所以，解得：.在中，由余弦定理得：所以（2）设，则如图，在中，因为，所以在中，由正弦定理，得，即所以所以，即所以，即18如图，等腰梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.（）证明：；（）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【解】（I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，AB|CE,AB=CE，四边形ABCE为平行四边形，AE=BC=AD=DE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，,在等腰中，,即BDBC，BDAE，翻折后可得：OPAE,OBAE，又， ；（II）解：在平面POB内作PQOB,垂足为Q，因为AE平面POB，AEPQ，因为OB平面ABCE, AE平面ABCE,AEOB=OPQ平面ABCE，直线PB与平面ABCE夹角为，又因为OP=OB，OPOB，O、Q两点重合，即OP平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为,设平面PCE的一个法向量为，则设，则y=-1,z=1，由题意得平面PAE的一个法向量，设二面角A-EP-C为，.易知二面角A-EP-C为钝角，所以.19为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.班级一一一一一一一一一一市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数2210233212【解】（1）记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，1，2，；则与互斥，故所求概率为 ； （2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3； 则的分布列为：0123p数学期望为20在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，其中.（1）若，求的面积；（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.【解】（1）当时，代入椭圆方程可得点坐标为或 若点坐标为，此时直线l：联立，消x整理可得解得或，故B所以的面积为 ，由对称性知的面积也是，综上可知，当时，的面积为. （2）显然直线l的斜率不为0，设直线l： 联立，消去x整理得 由，得则， , 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以 设，则, 即,解得.故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形21已知实数，设函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围注：为自然对数的底数【解】(1)由,解得若,则当时,故在内单调递增；当时,故在内单调递减若,则当时,故在内单调递增；当时,故在内单调递减综上所述,在内单调递减,在内单调递增(2),即令,得,则当时,不等式显然成立,当时,两边取对数,即恒成立令函数,即在内恒成立由,得故当时,单调递增；当时,单调递减.因此令函数,其中,则,得,故当时,单调递减；当时,单调递增又,故当时,恒成立,因此恒成立,即当时,对任意的,均有成立22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，都在曲线上.（1）求证：；（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.【解】（1）由 ，则 ；（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：解得；平面直角坐标为：则；又得.即四边形面积为为所求.23已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，