几类不同增长的函数模型

32.1几类不同增长的函数模型,目标要求1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢2理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义3会分析具体的实际问题，建模解决实际问题4培养对数学模型的应用意识.,热点提示学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律熟练掌握这一规律后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.,1三种函数模型的性质,2.函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)增长速度的对比：(1)对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.(2)对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnax.,想一想：当0 x0时，就有logax1,130，yf(x)13(11%)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长,温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值y，可以用下面的公式yN(1p)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式,递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较具体分析问题时，应严格计算并写出前34个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题,类型四不同函数模型增长趋势的比较【例4】函数f(x)2x和g(x)x3的图象如下图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(10)，1x2.从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)g(x)，f(2010)g(2010)又g(2010)g(6)，f(2010)g(2010)g(6)f(6),温馨提示：由指数函数、对数函数、幂函数的增长差异可以很容易地判断出哪个是指数函数的图象，哪个是幂函数的图象解决此类题型的关键是了解“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数,4函数f(x)lgx，g(x)0.3x1的图象如下图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较),解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lgx.(2)当xf(x)；当x1g(x)；当xx2时，g(x)f(x),1增长规律在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logax1)、对数函数ylogax(a1)、幂函数yxn(n0)的变化及相应增量规律：直线型均匀上升，增量恒定；指数型急剧上升，增量快速增大；对数型缓慢上升，增量逐渐减少；幂函数型虽