中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学（理）试题（一卷）答案（扫描版）.pdf

第1页 共 8 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 理理科数学科数学（一卷）答案（一卷）答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C B A A C C D C D 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 2 3 14 8 17 15 31 2 16 2 三、 解答题三、 解答题： 共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17解： （1）由题意得2OP =，则 1 cos 2 = ， 3 sin 2 =， 2 分 3 cos()sin 22 += = 5 分 (2)( ) 22 13131 sincoscossincos2 22222 f xxxxxx = + += ， 8 分 故 2 2 T = 10 分 由222kxk，知单调递增区间为(), 2 kkkZ 12 分 第2页 共 8 页 18解： （1）如图，取的中点，连接、 在菱形中， ， 是正三角形， ， 1 分 同理，在菱形CDFE中，可证， DGBGG=， 2 分 且DGBG均 在 面BDG内 平 面， BDBDG面 4 分 又， 5 分 （2）由（1）知，就是二面角的平面角， 即， 又， 所以是正三角形，故有， 7 分 如图，取的中点，连接，则， 又由（1）得， 又因为,DGEFG DGCDEF EFCDEF=平面平面 所以，平面，且， 又， 在直角中， 所以，9 分 设到平面的距离为，则 ， ，所以，11 分 EFGBGDG ABEF 60BAF= BEF EFBG EFDG EF BDG EFBD / /CDEF CDBD BGDBEFD 60BGD= 3BGGD= BDG3BD = DGOBOBODG EFBO BO CDFE 3 2 BO = BDCD BDC7BC = 173 7 74 244 BCE S= DBCEh 11333 4 33242 B DCEDCE VBO S = 113 73 3342 D BCEBCE Vh Sh = = = 2 21 7 h = 第19题图 E FD C B A G （第 18 题图） O E FD C B A G （第 18 题图） 第3页 共 8 页 故直线与平面所成角正弦值为 12 分 （建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分） 19解： （1）由 3 9a +是 1 a， 5 a的等差中项得 153 218aaa+=+， 1 分 所以 1353 31842aaaa+=+=， 解得 3 8a =， 3 分 由 15 34aa+=，得 2 2 8 834q q +=，解得 2 4q =或 2 1 4 q =， 因为1q ，所以2q = 5 分 所以2n n a = 6 分 （2）法 1：由（1）可得 1 2 2121 n n nn b + = + ， * nN 1 111 22 ( 2121) 2121( 2121)( 2121) nnnn n nnnnnn b + + = + + 11 1 1 2 ( 2121)2 ( 2121) 2121 21 212 nnnnnn nn nnn + + + = + , 9 分 21321 12 ( 2121)( 2121)2121 nn n bbb + += + + 11 21 121 nn+ = 12 分 法 2： 由（1）可得 1 2 2121 n n nn b + = + ， * nN 我们用数学归纳法证明 （1）当1n =时， 1 2 3 13 13 b = + ，不等式成立； 7 分 （2）假设nk=（ * kN）时不等式成立，即 BDBCE 2 7 7 h BD = 第4页 共 8 页 1 12 21 k k bbb + + 那么，当1nk=+时， 1 1 121 12 2 21 2121 k k kk kk bbbb + + + + + + + 112 1 1212 2( 2121) 21 ( 2121)( 2121) kkk k kkkk + + + = + + 9 分 112 12 1 2( 2121) 2121 2 kkk kk k + + + = += ， 11 分 即当1nk=+时不等式也成立 根据（1）和（2） ，不等式 1 12 21 n n bbb + +，对任意 * nN成立12 分 20解： （1）由已知可得0, 2 p F ，0 2 p E ， 2 2,P p ， 2PEPF=， 22 22 424 22 pp pp +=+ ， 0,2pp=， 抛物线 C 的方程为 2 4xy= 4 分 （2）由（1）得()()2,10, 1PE，易求得()1,0Q 5 分 由题意得，直线l的斜率存在且不为 0， 可设直线l的方程为1xmy=+， 联立方程组 2 1 4 xmy xy =+ = 整理得() 22 2410,m ymy+ =16 160,1.-mm = 设点()() 1122 ,M x yN xy， 1212 22 421 , m yyyy mm += 7分 第5页 共 8 页 12 1212 4211 ,42 , 1 yym m yyyy + =+= ,QMMN= () 1 121 2 , 1 y yyy y = + () 1 2 1 2 1,2, 12 3 y y = + ， 9 分 设OMP在OP边上的高为 M h,ONP在OP边上的高为 N h, OMP ONP S S = 11 22 1 2 2 1 2 2 M M N N OP h xyh hxy OP h = () () () () 11 22 21242 21242 mymy mymy + = + 10 分 11 22 1 2 ,. 2 3 yy yy = OMP ONP S S 的取值范围是 1 2 2 3 ， 12 分 21解： （1）( )()21 x fxxe=+， 1 分 () 1 11f e =，()10f =， 2 分 所以切线方程为() 1 1 e yx e =+ 3 分 （2）由（1）知( )f x在点()1,( 1)f处的切线方程为() 1 1 e yx e =+ () () 2 11 2 11 224 224 2 21 1 21 2 1 + + = = y yy y yy ym ym 第6页 共 8 页 设 1 )(1) e S xx e =+（ 构 造( )( )()() 11 11 x e F xf xxxe ee =+=+ ，( )() 1 2 x Fxxe e =+， ( )()3 x Fxxe=+ 所以( )Fx在(), 3 上单调递减，在()3,+上单调递增 5 分 又() 3 11 30F ee = ，( ) 1 lim x Fx e = ，() 10F=，所以( )F x在(), 1 上单调 递减， 在()1,+上单调递增 所以( )()( )( )() 1 101 e F xFf xS xx e =+ 当 且仅当1x =时取“=” 方程() 1 1 = e xb e +的根 1 1 1 eb x e = 又 ( ) ( )( ) 111 bs xf xs x =， 由( )s x在R上 单调递减，所以 11 xx 7 分 另一方面，( )f x在点()1,22e处的切线方程为()311yexe= 设( )(31)1t xexe= 构造( )( )( )()( ) ()()1131113= xx G xf xt xxeexexeexe=+ + ( )()23 x Gxxee=+，( )()3 x Gxxe=+ 所以( )Gx在在(), 3 上单调递减，在()3,+上单调递增 9 分 又() 3 1 330Ge e = ，( ) lim3 x G xe = ，( ) 10G=，所以( )G x在(),1上单调递 减，在()1,+上单调递增 所以( )( )( )( )()10311G xGf xt xexe= ， 当且仅当1x =时取“=” 10 分 方程( )()311=t xexeb= 的根 2 1 31 eb x e + + = ,又 ()()() 222 bt xf xt x=， 由 第7页 共 8 页 ( )t x在R上单调递增，所以 22 xx 所以 2121 1 1 311 beeb xxxx ee + + = + ，得 证 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分作答时请写清题号作答时请写清题号 22 【选修 【选修 44：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】（10 分）分） 解：（1）当0 时，极坐标方程两边同乘以得 3 sincos2+= 在直角坐标系下， 22 cos ,sin ,.xyxy =+ 故化成直角坐标系方程() 2222 2yxxyxy+ +=+，不包括点()0,0 3 分 当0=时，()0,0满足原极坐标方程， 4 分 综上，所求的直角坐标方程为() 2222 2yxxyxy+ +=+ 5 分 （ 2 ） 由 题 意 得 ， 直 线l的 普 通 方 程 为30 xy+= 设 曲 线 C上 的 动 点 (2cos , sin )Ra（ ，因为曲线C 上所有点均在直线l的右上方，所以对R恒有 2cossin30a+ ， 7 分 即() 2 4sin3a+ ，其中 2 tan,0.a a =所以 2 43,a + 9 分 解得05.a 10分 23 【选修 【选修 45：不等式选讲】：不等式选讲】（10 分）分） 解：(1)因为0,0,0,xyz所以由柯西不等式得 () () ()() 222 2 232323. 232323 xyz yzzxxyxyz yzzxxy + + 3 分 又因为1.xyz+= 所以 () () () () () () 22 222 1 23232323232355 xyzxyzxyz yzzxxyyzzxxyxyz + += + 5 分 (2) 2 161616 xyz + 2 222 444 xyz =+