天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：导数及其应用

天津市 2017 届高三数学 理 一轮复习专题突破训练 导数及其应用 一、选择、填空题 1、 若直线y kx b是曲线是曲线 的切线，b 2、 设函数 ()( 2 1 )xe x a x a ,其中 a 1，若存在唯一的整数 得0() ） 3、 曲线 2 3f x 在点 1, 1f 处的切线方程为 . 4、 设定义在 (0, ) 上的函数 () ) ( ) l nx f x f x x x ， 11()则 () ） A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值 C 既有极大值，又有极小值 D 既无极大值，也无极小值 5、 已知 y f x 为 R 上的连续可导函数，且 0xf x f x ，则函数 1g x xf x 0x的零点个数为 _ 6、曲线 处的切线 方程是 A、 x 1 B、 y 12C、 x y 1 D、 x y 1 7、已知定义在 R 上的函数 () 的解集为 8、若过曲线 上的点 P 的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标是 二、解答题 1、（ 2016 年天津市高考）（ 2016 年天津高考） 设函数 3( ) ( 1 )f x x a x b , ， 其中 , (I)求 )(单调区间； (若 )(在极值点0x，且 )()(01 ，其中01 ，求证：1023； （ ）设 0a ，函数 |)(|)( ，求证： )( 区间 1,1 上的最大值 不小于 41. 2、（ 2015 年天津市高考） 已知函数( ) n ,nf x x x x R ，其中*n ,n 2N. (I)讨论() (曲线()y f x=与， 曲线在点 P 处的切线方程为()y 求证：对于任意的正实数x，都有( ) ( )f x g x； (关于 的方程( )=a (a ) 实 数有两个正实根12求证： 21| - | 21 n+ 天津市八校 2016 届高 三 12 月 联考 ） 已知函数 ( ) 2 l x p x ( ) 若 2p ，求曲线 )(在点 )1(,1( f 处的切线； ( ) 若函数 )(其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； ( ) 设函数 2() 若在 1, e 上至少存在一点0x，使得00( ) ( )f x g x成立，求实数 p 的取值范围 4、（ 和平区 2016 届高三第四次模拟） 已知函数 22l n 2 ,f x x x a x a a R （）若 0a ，求函数 1,e 上的最小值； （）若函数 ,22上存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围； （）根据 a 的不同取值，讨论函数 5、（ 河北区 2016 届高三总复习质量检测（三） ） 已知函数 1( ) ( ) l nf x a x ，其中 aR （ ）若 1a ，求曲线 )(在点 (1 (1)f， 处的切线方程； （ ）若函数 () a 的取值范围； （ ）设函数 e()若在 1 e， 上至少存在一点 0x ，使得00( ) ( )f x g x成立， 求实数 a 的取值范围 6、（ 河北区 2016 届高三总复习质量检测（ 一 ） ） 已知函数 2( ) = ( 1 ) l n 1f x a x x ， ( ) ( )g x = f x 其中 aR （ ）当 14a=函数 () （ ）当 0a 时，求函数 () （ ）当 1 )x ， 时，若 = ( )y f x 图象上的点都在 1 ，所表示的平面区域内， 求实数 a 的取值范围 7、（ 河东区 2016 届高三第二次模拟 ） 已知函数 2212)( （ 1） 求函数 )( )2(,2( f 处切线方程； （ 2） 讨论函数 )(单调区间； （ 3） 对任意 1,0, 21 1)()( 12 成立，求 a 的范围 8、（ 河西区 2016 届高三第二次模拟 ） 已知函数 2 （ ） . （ ）当 1m 时， 求 过点 0(P ， )1 且与曲线 2)1()( 切的切线方程 ； （）求函数 )(的单调递增区间 ； （ ）若函数 )(的两个极值点 a ， b ，且 ，记 x 表示不大于 x 的最大 整数，试比较)( )(bf )()( 大小 . 9、（ 河西区 2016 届高三下学期总复习质量调查（一） ） 已知函数 2)( （ 0a ）， ，)(象与 x 轴异于原点的交点 M 处的切线为 1l ， )1( x 轴的交点 N 处的切线为 2l ，并且 1l 与2l 平行 . （ ） 求 )2(f 的值； （）已知实数 ，求 ， 1x ， e 的取值范围及函数 )( ， 1x ， e 的最小值； （ ）令 )()()( ，给定 1x ， 1(2x ， ) ， 21 ，对于两个大于 1 的 正数 ， ，存在实数 m 满足 21 )1( ， 21)1( ，并且 使得不等式 )()()()(21 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 10、（ 红桥区 2016 届高三上学期期末考试 ） 已知函数 2( ) ( 1 ) l n 1f x a x a x . （ ） 若函数 ()x 处 切 线的斜率 12k ，求实数 a 的值 ； （ ） 讨论函数 () （） 若 2( ) 1xf x x x ，求 a 的取值范围 . 11、（ 天津市六校 2016 届高三上学期期末联考 ） 已知函数 （） 当 1a 时，求 )( )2(,2( h 处的切线方程； （） 令 )(2)( 2 ，已知函数 )(两个极值点 21 ,且2121 实数 a 的取值范围； （ ） 在 （ ） 的 条 件 下 ， 若 存 在 2,2210 x， 使 不 等 式2()1()1l n ()( 20 任意 a （取值范围内的值）恒成立，求实数 m 的取值范围 . 12、（ 天津市十二区县重点高中 2016 届高三毕业班第一次联考 ） 已知函数 1( ) x ，()g x ax b () 若函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x在 (0, ) 上单调递增，求实数 a 的取值范围； () 若直线 ()g x ax b是函数 1( ) x 图象的切线，求 的最小值； () 当 0b 时，若 ()图象有两个交点1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，试比较122e 的大小（取 e 为 取 取 2 为 13、（ 天津市十二区县重点学校 2016 届高三下学期毕业班联考（二） ） 已知 直线 1 函数() 的切线 （其中 L ） . (I)求 实数 a 的值； (对任意的 (0,2)x ，都有2() 2 成立，求 实数 m 的取值范围； （） 若函数 ( ) )g x f x b的两个零点为12,证明：1()2()12()2. 14、（ 武清区 2016 届高三 5 月质量调查（三） ） 已知函数 x ， 2x ， （ 1）求函数 单调区间； （ 2）若存在 2,0x ，使得 0 立，求 a 的取值范围； （ 3）设 2121 , 是函数 两个零点，求证 021 15、（ 天津市和平区 2016 届高三下学期第二次质量调查 ） 已知函数 . （ ）当 1a 时 ,求曲线 )(点 )1(,1( f 处的切线方程； （）若函数 )(其定义域内为增函数 ,求实数 a 的取值范围； （）设函数)( ,若在区间 ,1 e 上至少存在一点 0x ,使得 )()( 00 成立 ,求实数 a 的取值范围 . 参考答 案 一、填空、选择题 1、 【解析】 1 的切线为：111 y x （设切点横坐标为1x） 的切线为： 22221 11xy x 122122111 1 解得1 12x2 12x1 1 2、 【答案】 D 【解析】 试题分析：设 () (2 1)， y ax a，由题知存在唯一的整数0x，使得0()y ax a的下方 . 因为 ( ) ( 2 1 )xg x e x ，所以当 12x时， () 0，当 12x时， () 0，所以当12x 时， ( ) 12， 当 0x 时， (0)g =(1) 3 0，直线 y ax a恒过（ 1,0）斜率且 a ，故 (0 ) 1 ，且 1( 1 ) 3g e a a ，解得 32ea 1，故选 D. 考点：导数的综合应用 3、 40 4、 【答案】 D 【解析】 ()0, ) ， ( ) ( ) l nx f x f x x x ， 2( ) ( ) l nx f x f x ， ( ) f x ， 2( ) 1 ， 21( ) l x x x c x 21 1 1 1 1( ) l e e e e ， 12c 221 1 1( ) l n l n ( l n 1 ) 02 2 2f x x x x ， ()0, ) 上单调递增， ()0, ) 上既无极大值也无极小值 5、 0 6、 B 7、 A 8、（ e， e） 二、解答题 1、 【解析】（ 1） 31f x x a x b 2 3 1f x x a 0a ，单调递增； 0a ， ,1 3a 单调递增，在1 , 133单调递减，在1,3a 单调递增 （ 2）由 00 2031 320 0 0 01 3 1f x x x x b 2001 2 1x x b 320 0 0 03 2 2 2 3 1 3 2f x x x x b 20 0 01 8 8 9 6x x x b 200= 1 2 1x x b 0 0 13 2 =f x f x f x 1023 （ 3）欲证 ()0 2， 上的最大值不小于 14，只需证在区间 0 2， 上存在 12, 使得121( ) ( ) 2g x g x 即可 当 3a 时， 02， 上单调递减 (2) 1 2f a b (0) 1 1( 0 ) ( 2 ) 2 2 4 2f f a 递减，成立 当 03a时， 3113 3 3a a af a b 3 3 3a a aa a b 233aa a b 113 3 3 3a a a af a b 233aa a b (2) 1 2f a b (0) 1 ( 2 ) ( 0 ) 2 2f f a 若 304a 时， 10 2 2 22f f a ，成立 当 34a时， 41113 3 3 3 2a a af f a ， 所以， ()0 2， 上的最大值不小于 14成立 2、 试题解析： (I)由() nf x nx x，可得，其中*n， 下面分两种情况讨论： （ 1）当( ) 0，解得1x或1x， 当 ), ( )f x f x的变化情况如下表： x( , 1)( 1,1)( )() ), 1)，(1, )上单调递减，在( 1,1)内单调递增 . (2)当 当( ) 0 ，即1x时，函数()单调递增； 当( ) ，即时，函数 所以，(), 1)上单调递增， 在(1, )上单调递减 . (明：设点 ,0)x，则110 ，20()f x n n ，曲线()y f x在点 00()y x x x，即 00( ) ( )g f x x x，令( ) ( ) ( )F x f x g x，即 00( ( ) ( )F x f x f x x x ，则0) ( ) ( )F f x f x 由于1() nf x nx n 在 0,上单调递减，故 0,上单调递减，又因为0( ) 0，所以当0(0, )， 0) ，当0( , ) 时，( 0 ，所以 在0( )0( , )x 内单调递减，所以对任意的正实数) ( ) 0F x F x，即对任意的正实数x，都有( ) ( )f x g x. (明：不妨设12，由 ( 2 0()g x n n x x ，设方程gx a的根为2，可得 202 ，当2n时，(),上单调 递减，又由 ( 2 2 2( ) ( ) ( ) ,g x f x a g x 可得22. 类似的，设曲线()y f x在原点处的切线方程为()y 可得h x 当(0, )x ， ( ) ( ) 0nf h x x ，即对任意(0, )x ，( ) ( ).f h x设方程()h a的根为1x，可得1 ax n，因为()h x ,上单调递增，且考点： 明不等式 . 3、 ( ) 2( ) 2 2 l n , ( 1 ) 0f x x x ， 222( ) 2 , ( 1 ) 2f x 则切线为： 2( 1)，即 2 2 0 ； ( ) 22222( ) p p x x pf x p x x x ， 2 20p x x p 即22 1xp x ，对 0x恒成立， 设22( ) ( 0 )1xh x ， 2 2 22 2 2 22 2 4 2 2( )( 1 ) ( 1 )x x ()0,1) 上增， (1, ) 减，则 m a x( ) (1) 1h x h (1) 1 ，即 1, )p ( ) 设函数 2( ) ( ) ( ) 2 l f x g x p x ， 1, 则原问题 在 1, e 上至少存在一点0x，使得0( ) 0x ) 0x 2222 2 2 ( 2 )( ) p e p x x p x x x 2221 0 ( ) 0x ，则 ()x 在 1, 增， m a x( ) ( ) 4 0 ，舍； 20p ， 12( ) ( ) 2 l p x ， 1, ， 120 , 0 , l n 0 ，则 ( ) 0x ，舍； 22( 1 ) 2 ( )3 0 ( ) 0p x e x ， 则 ()x 在 1, 增，m a x( ) ( ) 4 0px e p e e ，整理得24 1ep e 综 上，24( , )1ep e 4、 解：（）当 0a 时， 2x x x，其定义域为 0, ， 1 20f x ， 2分 所以 1,e 上是增函数，当 1x 时， m i n 11f x f 故函数 1,e 上的最小值是 1 3分 （）由题设条件，得 21 2 2 122 x a xf x x ，设 22 2 1g x x a x ， 依题意，在区间 1,22上存在子区间使不等式 0成立5分 因 为函数 22 2 1g x x a x 的图象是开口向上的抛物线， 所以只需 20g 或 1 02g即可 6 分 （）由（），可知 2 22 2 1 , 2 2 1x a xf x g x x a （）当 0a 时，在 0, 上 0恒成立， 此时 0 ，函数 10 分 （）当 0a 时，若 24 8 0a ，即 02a 时， 在 0, 上 0恒成立，此时 0 ，函数 若 24 8 0a ，即 2a 时，易知当 2222a a a 时， 0，此时 0 ； 当 2 202 或 2 22 时， 0，此时 0 所以当 2a 时， 2 22 是函数 2 22 是函数 13分 综上，当 2a 时，函 数 2a 时， 2 22 是函数 2 22 是函数 14 分 5、 解： （ ）当 1a 时， 1( ) x x ，211( ) 1 +f x = -， (1) 1 1 0f ， (1 ) 1 + 1 1 1f= - ， 曲线 )(在点 (1 (1)f， 处的切线方程为 1 4 分 （ ） 22211( ) ( 1 ) a x x + af x = a x x x -+-， 要使函数 ()0 )， 内为增函数， 只需 ( ) 0 在 (0 )， 上 恒成立 2 0ax x + ，即2 1xa x ，也即 11a 恒成立 又 1 2， a 的取值范围为 12a 8 分 （ ） e() 1 e， 上是减函数， ( e ) ( ) (1)g g x g ，即 1 ( ) （ 1） 当 0a 时，211( ) (1 ) 0f x = a -， ( ) 0 ， () 1 e， 上 是减函数； m a x( ( ) ) (1 ) 0 1f x f，不合题意 （ 2） 当 102a时， 1 ex ， ， 1 0 1 1 1( ) ( ) l n ( ) l x a x x x 令 11( ) ( ) l x x ， 由（ ）知， ()1 e， 上 是增函数， 1 1 1 1 1 1( ) l n ( e ) l n e = ( e ) 1 12 2 e 2 ( ) 1，不合题意 （ 3）当 12a时， 由（ ）知， 1( ) ( ) l nf x a x 在 1 e， 上 是增函数， (1) 0 1f ， 又 e() 1 e， 上是减函数， 只需m a x m i n( ( ) ) ( ( ) )f x g x， 又m a x 1( ( ) ) ( e ) l n x a ， 即 1(e ) 1 1， 解得22 a 的取值范围是22e) ， 14 分 6、 解 ：（ ）当 14a=21 1 1 3( ) = ( 1 ) l n + 1 l 2 4f x x x x x x 定义域为 (0 )， ， 1 1 1 ( 1 ) ( 2 )( ) =2 2 2x x - 2 分 列表讨 论 ( ) 当 2x 时， ()(2) 4f . 4 分 （ ）当 0a 时， 22( ) = ( 1 ) l n 1 ( 2 1 ) l n 1g x a x x x a x a x x a x 02（ ， ） 2 2 （ ， + ） ( ) 0 ()极大值 ()定义域为 (0 )， ， 2 12 ( 1 ) ( )1 2 ( 2 1 ) 1 2g ( ) 2 ( 2 1 ) a x xa x a + x + a x a + + =x x x 6 分 令 ( ) =0，得 1x= 或 12x=a （ 1）当 102a，即 1 12a时， 由 ( ) 0 ， 解 得 112x a，由 ( ) 0 ， 解得 01x或 12x a， () 1(1 )2a，上 单调递减， 在 (01)， ， 1()2a ，上 单调递增； 7 分 （ 2）当 12a， 即 1 12a时，在 (0 )， 上 ， ( ) 0 ， () (0 )， 上 单调递增； 8 分 （ 3）当 12a， 即 1012a时， 由 ( ) 0 ， 解 得 1 12 ， 由 ( ) 0 ， 解得 102x a或 1x ， () 1( 1)2a，上 单调递减， 在 1(0 )2a， (1 )， 上 单调递增 9 分 （ ） = ( )y f x 图象上的点都在 1 ，所表示的平面区域内， 当 1 )x ， 时， ( ) 0f x 恒成立， 即当 1 )x ， 时， 2( ) ( 1 ) l n 1 0g x a x x x 恒成立 只需( ) 0 10 分 （ 1）当 0a 时，由（ ）知， 当 102a时， () 1(1 )2a，上 单调递减， 在 1()2a ，上 单调递增 ， () 1 )， 上 无最大值，不满足条件； 当 12a时， ()在 (1 )， 上 单调递增， () 1 )， 上 无最大值，不满足条件； 11 分 （ 2）当 =0a 时， 1() xg x =x (1 )， 上 ， ( ) 0 ， () 1 )， 上 单调递减， ( ) (1) 0g x g 成立 ; 12 分 （ 3）当 0a 时， 12 ( 1 ) ( )2() a x x ag x =x (1 )， 上 ， ( ) 0 ， () 1 )， 上 单调递减， ( ) (1) 0g x g 成立 13 分 综上可知，实数 a 的取值范围是 0a 14 分 7、（ 1） )( 1)( 切线斜率 1)2( 2 0)2( f 切线方程 0)1(2)1( 22 4 分 （ 2）令 0)( 0)1)(1( 即 )0(143 0,a 时， )( 1, 上为增函数，在 ),1( 上为减函数 当 ,0 时， )( ),1(1,( a 上为增函数， 在 )1(当时， )( R 上恒为增函数 当 ),1( )( ),1(),1 在 )1,1( 10 分 （ 3）由已知 )()( 12 在 1,0 上的最大值小于等于 1a 当 1,(时， )( 1,0 上单调递增 )()( 12 的最大值为 1212)0()1( 解为 ,)1(2 1 ,)1(2 1当 1,1， )( )1( a 上为增函数，在 )1,1(ln a 上为减函数 )()( 12 的最大值为 )0()( 4 或 )1()( 4 122221)0()( 4244 3221 424 1,1 3,233221 424 1,04 x ）恒成立 1212221)1()( 4244 即27221)1( 424 27,227221 424 1,04 x ）恒成立 1,1当 ,1a 时， )( 1,0 上单调递减 )()( 12 的最大值为 1212)1()0( 解为 ,)3(2 3 ,1a 成立 综上所述 ,)1(2 1 14 分 8、 （ ）解：当 1m 时，曲线 2)1()( ， 设切点坐标为 0(x ， ) 由)( ，所以斜率01，则切线方 程为 )(100， 因为切线过点 0(P ， )1 ，所以 1 x ，解得 10x ， 所以切线方程为 01 3分 （）解：函数 )(定义域为 0( ， ) ， x 22)(2 ， 令 0)( 1 当210)( 成立， 函数 )(单调递增区间为 0( ， ) ； 2 当210 函数 )(单调递增区间为 0( ， )2 211 m，2 211( m， ) ； 3 当 0m 时， 函数 )(单调递增区间为2 211( m， ) . 7分 （ ）解：x 22)(2 ， 令 0)( 得 022 2 由题意，方程有两个不相等的正数根 a ， b ，且 ， 则020)21(4解得210 m， 2 211 ，2 211 ，则 1210 由 022 2 得 2 2 ， 9分 所以 2 122 bb 2( 2 ，21(b， )1 ， 1(4)( ， 当21(b， )1 时， 0)( 即函数 )(21(， )1 上的增函数， 所以 0)(4 2 )(取值范围是4 2， )0 ， 11 分 则 1)( 同理可求 12)( 2 2( 2 ， 0(a ， )21， 01(4)( 当21(b， )1 时， 0)( 即函数 )( 0( ， )21上的减函数， 所以 1)(4 2 )(取值范围是4 2， )1 ， 12 分 则 1)( 0)( 当 1)( ，)( )(bf )()( ； 当 0)( ，)( )(bf )()( . 14 分 9、 （ ）解： )(的图象与 x 轴异于 原点的交点为 ， )0 ， 2)( ， )11( 图象与 x 轴的交点 2(N ， )0 ， 11)1( 由题意可得21 ll ，即 12 所以 1a ， 2 分 所以 2)( ， 222)2( 2 f . 3 分 （）当 1x ， e 时， 01 ， 所以 )(x 在 1 ， e 上单调递增，所以 )()( m a x ， 0)1()( m x ， 即 )(x 的取值 范围是 0 ， e . 5 分 )( ) 2 )12()2 2)， 令 ，在 1x ， e 时， 01 所以 在 1 ， e 上单调递增， 0 ， 12(2 2 图象的对称轴为 221 ，抛物线开口向上， 当 0221 20m 当 221即221 时， 22m 12( ， 当 2210即21221 2221m 221( 412 21)12( 2 8 分 （ ）解： )()()( ， 0111)( 22 1x ，所以 )(区间 1( ， ) 上单调递增， 所以当 1x 时， 0)1()( 当 0(m ， )1 时，有 21 )1( 111 )1( ，21 )1( 222 )1( ，得 1(x ， )2x ，同理 1(x ， )2x ， 由 )(单调性知 )()()(0 21 ， )()()(0 21 ， 从而 )()()()(21 ，符合题设 . 当 0m 时，有 21 )1( 222 )1( ， 21)1( 111)1( ， 由 )(单调性知 )()(0 1 )()( 2 ， 所以 )()()()(21 ，与题设不符 . 当 1m 时，同理可得 1x ， 2x ，得 )()()()(21 ，与题设不符 . 综上所述，得 0(m ， )1 . 14 分 10、 （ ） 因为 221() ax ， 3 1 1(1) 12 解得： 12a （ ） ()0,+ ), 221() ax ， 当 a 0时， () 0， 故 f(x)在 (0,+ )单调增加； 当 a 1 时， () 0, 故 f(x)在 (0,+ )单调减少； 当 1 a 0 时，令 () 0,解得 x= 12 . 当 x (0, 12 )时 , () 0；单调增， x ( 12 ， + )时， () 0, 单调减 （） 22( ) 2 1 1x f x a x a x x ， 得： 2221x 令 22( ) , ( 0 )21x 则 2 2 22 2 2 2( 2 1 ) ( 2 1 ) 4 ( ) 2 2 1() ( 2 1 ) ( 2 1 )x x x x x x ， 当 1302x 时， () 当 132x 时， () 所以，m a x 1 3 1 3( ) ( )24g x g ， 故 134a 11、 （ 1）2)( 1a 时 2)( 2( h 23)2( h)( )2(,2( g 处的切线方程为 0142 3 分 （ 2） )0(1212)( 2 xx 2 所以211204421212以 21 a 6 分 （ 3）由 0122 解得a 2221 ,， 21 a ， 2211112 而 )( ),( 2 x 上单调递增， )( 2,221 上单调递增 7 分 在 2,221 上， 2()( m a x 8 分 所以， “存在 2,2210 x，使不等式 2()1()1l n ()( 20 成立 ”等价于“不等式 2()1()1l n (2 成立 ”， 即，不等式 012l n ( 2 任意的 a （ 21 a ）恒成立 9 分 令 12l n ()( 2 则 0)1( g 1221211)( 2 a 1 0 分 当 0m 时， 0122)( 2 a )( )2,1( 上递减 0)1()( 不合题意 当 0m 时，1)2 11(2)(a 若 )211(1 m，记 )211,2m ，则 )( ),1( t 上递减 在此区间上有 0)1()( 不合题意 因此有12110解得41m， 所以，实数 m 的取值范围为 41,( 1 4 分 12、 解： () ( ) ( ) ( )h x f x g x 1x a x ,则211()h x ， 1分 ( ) ( ) ( )h x f x g x在 (0, ) 上