山东省青岛市市北区2016年中考数学二模试卷含答案解析

山东省青岛市市北区 2016 年中考数学二模试卷 （解析版） 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分） 1 3 的相反数是（ ） A 3 B 3 C D 2如图所示的几何体的左视图为（ ） A B C D 3小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共 12 页，其中语文 4 页、数学 2 页、英语 6 页，他随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（ ） A B C D 4如图，折叠矩形 一边 点 D 落在 的点 F 处，已知 值是（ ） A B C 2 D 5 5反比例函数 y= （ k 为非零常数）的图象在其所在象限内， y 的值随 x 值的增大而增大，那么函数 y= x 的图象经过第（ ）象限 A一、二 B一、三 C二、三 D二、四 6如图，四边形 顶点坐标 A（ 3， 6）、 B（ 1， 4）、 C（ 1， 3）、 D（ 5，3）若四边形 点 C 按顺时针方向旋转 90，再向左平移 2 个单位，得到四边形ABCD，则点 A 的对应点 A的坐标是（ ） A（ 0， 5） B（ 4， 3） C（ 2， 5） D（ 4， 5） 7一个等腰三角形的两条边长分别是方程 7x+10=0 的两根，则这个等腰三角形的腰长是（ ） A 2 B 5 C 2 或 5 D 3 或 4 8如图，已知正 边长为 2， E、 F、 G 分别是 的点，且 F= 面积为 y， 长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B CD 二、填空题：（本大题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分） 9 指大气中直径小于或等于 颗粒物，将 科学记数法表示为 _ 10计算（ ） 1+（ 3） 0=_ 11如图，点 A、 B、 C 在半径为 9 的 O 上， 的长为 2，则 大小是 _ 12 “低碳生活，绿色出行 ”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自 2014 年起逐月增加，据统计，该商城 1 月份销售自行车 64 辆， 3 月份销售了 100辆若该商城前每个月的自行车销量的月平均增长率相同，设月平均增长率为 x，由题意可得方程： _ 13如图，在矩形 ， 点 A 为圆心， 半径的圆弧交 点 E，交 延长线于点 F，设 ，图中阴 影部分的面积为 _ 14如图所示，以 O 为端点画 5 条射线 ，再从射线 某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为 1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8后，那么所描的第 2016 个点在射线 _ 上 三、作图题（本题满分 4 分） 15用圆规、直尺作图，不写作法但要保留作图痕迹 如图： 示两条道路， 在 有一车站（用点 P 表示）现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点 P 所表示的车站距离最短请在图中作出报亭的位置 四、解答题（本题满 74 分，共 9 道小题） 16（ 1）化简： （ 1+ ）； （ 2）关于 x 的一元二次方程 x 3=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 17已知：如图，在 ， C=90， ， 求：线段 长 18小明和小刚用如图所示的两个均匀的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色若配成紫色则小刚获胜，否则小明获胜 （ 1）请用列表法或树形图求出小明胜的概率； （ 2）这个游戏公平吗？请说明理由 19某班为确定参加学校投篮比赛的人选，在 A、 B 两位投篮高手间进行了 6 此投篮比赛，每次 10 投，将他们的命中成绩统计如下：请根据统计图所给信息，完成下列问题： （ 1）完成表格的填写； 投篮成绩统计 平均数 中位数 众数 方差 A 7 B 7 （ 2）如果这个班只能在 A、 B 之间选派一名学生参赛，该选派谁呢？请你利用学过的统计量对问题进行多角度分析说明，并作出决策 20山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A 型 车去年销售总额为 50000 元，今年销售总额将比去年减少 20%，每辆销售价比去年降低 400元，若这两年卖出的数量相同 （ 1）求今年 A 型车每辆售价多少元？ （ 2）该车行计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，求销售这批车获得的最大利润是多少元 A， B 两种型号车今年的进货和销售价格表： A 型车 B 型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 21如图，平行四边形 ，过 A 作 M，交 E，过 C 作 ，交 F，连结 （ 1）求证： （ 2）当四边形 足什么条件时，四边形 菱形？证明你的结论 22（ 10 分）（ 2016崂山区一模）某公司销售 A， B 两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息 1：销售 A 种产品所获利润 y：（万元）与销售产品 x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示： 信息 2：销售 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系 根据以上信息，解答下列 问题； （ 1）求二次函数解析式； （ 2）该公司准备购进 A、 B 两种产品共 10 吨，求销售 A、 B 两种产品获得的利润之和最大是多少万元 23（ 10 分）（ 2016市北区二模）模型介绍：古希腊有一个著名的 “将军饮马问题 ”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧 的两个军营 A、 B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图 ，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图 ，作 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 直线 l 交于点 C，点 C 就是所求的位置请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答 （ 1）理由：如图 ，在直线 L 上任取一点 C，连结 BC 直线 L 是点 B， B的对称轴，点 C， C在 L 上 _ ， CB=_ B=B=_ 在 中， CB B CB B CB即 B 最小 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把 A， B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用 “两 点之间线段最短 ”，即转化为 “三角形两边之和大于第三边 ”的问题加以解决（其中 C 为 l 的交点，即 A、 C、 B三点共线） 本问题可拓展为 “求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值 ”问题的数学模型 （ 2）模型应用 如图 ，正方形 边长为 2， E 为 中点， F 是 一动点 求 B 的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知， B 与 D 关于直线 结 F，则 B 的最小值就是线段 _ 的长度， B 的最小值是 _ 如图 ，已知 O 的直径 4， 度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 ，使 P 的值最小，则 P 的最小值是 _ 如图 ，一次函数 y= 2x+4 的图象与 x、 y 轴分别交于点 A， B 两点，点 O 为坐标原点，点 C 与点 D 分别为线段 中点，点 P 为 一动点求 D 取得最小值时 24（ 12 分）（ 2016市北区二模）已知，如图， ， B=60，点 E 从点 A 出发，沿 向匀速运动，速度为 1cm/s过点 E 作 足是 F，连接 点 M，过 M 作 于点 N，设运动时间为 t（ s）（ 0 t 4） （ 1）用含 t 的代数式表示线段 长： _ ； （ 2）是否存在某一时刻 t，使 出相应的 t 值，若不存在，说明理由； （ 3）设四边形 面积为 y（ 求 y 与 t 之间的函数关系式； （ 4）点 P 是 交点，在点 E 的运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 5？若存在，求出相应的 t 值，若不存在，说明理由 2016 年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分） 1 3 的相反数是（ ） A 3 B 3 C D 【考点】 相反数 【分析】 根据相反数的概念解答即可 【解答】 解： 3 的相反数是 3， 故选： A 【点评】 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上 “ ”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数， 0 的相反数是 0 2如图所示的几何体的左视图为（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】 解：从左面看易得左视图为： 故选 D 【点评】 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图 3小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共 12 页，其中语文 4 页、数学 2 页、英语 6 页，他随机地从讲义夹中抽出 1 页 ，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（ ） A B C D 【考点】 概率公式 【分析】 根据随机事件概率大小的求法，找准两点： 符合条件的情况数目； 全部情况的总数 二者的比值就是其发生的概率的大小 【解答】 解： 小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共 12 页，数学 2 页， 他 随机地从讲义夹中抽出 1 页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 = 故选 C 【点评】 本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） = 4如图，折叠矩形 一边 点 D 落在 的点 F 处，已知 值 是（ ） A B C 2 D 5 【考点】 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义 【分析】 先根据矩形的性质得 B=8， C=10，再根据折叠的性质得 D=10，F， D=90，在 ，利用勾股定理计算出 ，则 C ，设 EF=x，则 DE=x， D x，在 ，根据勾股定理得到 42+（ 8 x）2=得 x=5，即 ，然后在 根据正切的定义求解 【解答】 解： 四边形 矩形， B=8， C=10， 折叠矩形 一边 点 D 落在 的点 F 处， D=10， F， D=90， 在 ， =6， C ， 设 EF=x，则 DE=x， D x， 在 ， 42+（ 8 x） 2= 解得： x=5， ， 在 ， = = ； 故选： A 【点评】 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质和勾股定理 5反比例函数 y= （ k 为非零常数）的图象在其所在象限内， y 的值随 x 值的增大而增大，那么函数 y= x 的图象经过第（ ）象限 A一、二 B一、三 C二、三 D二、四 【考点】 反比例函数的性质；正比例函数的性质 【分析】 先根据反比例函数 y= （ k 为非零常数）的增减性判断出 k 的符号，再由一次函数的性质姐看的出结论 【解答】 解： 反比例函数 y= （ k 为非零常数）的图象在其所在象限内， y 的值随 x 值的增大而增大， k 0， 0， 函数 y= x 的图象经过二四象限 故选 D 【点评】 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性与系数 k 的关系是解答此题的关键 6如图，四边形 顶点坐标 A（ 3， 6）、 B（ 1， 4）、 C（ 1， 3）、 D（ 5，3）若四边形 点 C 按顺时针方向旋转 90，再 向左平移 2 个单位，得到四边形ABCD，则点 A 的对应点 A的坐标是（ ） A（ 0， 5） B（ 4， 3） C（ 2， 5） D（ 4， 5） 【考点】 坐标与图形变化 标与图形变化 【分析】 根据平面直角坐标系找出点 A、 B、 C、 D的位置，然后写出点 A的坐标即可 【解答】 解：四边形 ABCD如图所示， A的坐标为（ 0， 5）， 故选 A 【点评】 本题考查了坐标与 图形变化旋转，熟练掌握网格结构准确找出点 A、 B、 C、 7一个等腰三角形的两条边长分别是方程 7x+10=0 的两根，则这个等腰三角形的腰长是（ ） A 2 B 5 C 2 或 5 D 3 或 4 【考点】 解一元二次方程 角形三边关系；等腰三角形的性质 【分析】 先求出方程的解，分为两种情况，最后看看是否符合三角形三边关系定理即可 【解答】 解：解方程 7x+10=0 得： x=2 或 5， 分为两种情况： 三边为 2， 2， 5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三 角形； 三边为 2， 5， 5，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形；此时腰长为 5， 故选 B 【点评】 本题考查了三角形三边关系定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键 8如图，已知正 边长为 2， E、 F、 G 分别是 的点，且 F= 面积为 y， 长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B CD 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 根据题意，易得 个三角形全等，且在 ， AE=x， x；可得 面积 y 与 x 的关系；进而可判断出 y 关于 x 的函数的图象的大致形状 【解答】 解：根据题意，有 F=正三角形 边长为 2， 故 F= x； 故 个三角形全等 在 ， AE=x， x 则 S x（ 2 x）； 故 y=S 3S 3 x（ 2 x） = （ 36x+4） 故可得其大致图象应类似于抛物线， 且抛物线开口方向向上； 故选： D 【点评】 本题考查动点问题的函数图象问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图 二、填空题：（本大题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分） 9 指大气中直径小于或等于 颗粒物，将 科学记数法表示为 0 6 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】 解： 10 6， 故答案为： 10 6 【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10 n，其中 1 |a| 10， 的个数所决定 10计算（ ） 1+（ 3） 0= 3 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后计算加法 ，求出算式（ ） 1+（ 3） 0 的值是多少即可 【解答】 解：（ ） 1+（ 3） 0 =2+1 =3 故答案为： 3 【点评】 （ 1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号 的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用 （ 2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： （ a 0）； 00 1 （ 3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a p=（ a 0， p 为正整数）； 计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数 11如图，点 A、 B、 C 在半径为 9 的 O 上， 的长为 2，则 大小是 20 【考点】 弧长的计算；圆周角定理 【分析】 连结 由 的长为 2，利用弧长计算公式求出 0，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到 0 【解答】 解：连结 n 的长为 2， =2， n=40， 0， 0 故答案为 20 【点评】 本题考查了弧长公式： l= （弧长为 l，圆心角度数为 n， 圆的半径为 R），同时考查了圆周角定理 12 “低碳生活，绿色出行 ”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自 2014 年起逐月增加，据统计，该商城 1 月份销售自行车 64 辆， 3 月份销售了 100辆若该商城前每个月的自行车销量的月平均增长率相同，设月平均增长率为 x，由题意可得方程： 64（ 1+x） 2=100 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 设该商城月平均增长率为 x等量关系为： 1 月份的销售量 （ 1+增长率） 2=3 月份的销售量，把相关数值代入求解即可 【解答】 解：设该 商城 2、 3 月份的月平均增长率为 x， 根据题意列方程： 64（ 1+x） 2=100 故答案为： 64（ 1+x） 2=100 【点评】 本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键 13如图，在矩形 ， 点 A 为圆心， 半径的圆弧交 点 E，交 延长线于点 F，设 ，图中阴影部分的面积为 2 【考点】 矩形的性质；扇形面积的计算 【分析】 根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 0，然后求出 根据阴影部分的面积 =S 扇形 S 式计算即可得解 【解答】 解： E（扇形的半径）， 2=4， 0， 0 30=60， = =2 ， 阴影部分的面积 =S 扇形 S = 2 2 ， = 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出 0是解题的关键，也是本题的难点 14如图所示，以 O 为端点画 5 条射线 ，再从射线 某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为 1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8后，那么所描的第 2016 个点在射线 【考点】 规律型：数字的 变化类 【分析】 每 5 个数为一周期用 2016 除以 5，根据余数来决定数 2016 在哪条射线上 【解答】 解：根据题意可知，每 5 个数为一个周期 因为 2016 5=4031， 所以数 2016 应该在射线 故答案为： 【点评】 本题考查了图形的变化类问题，根据数的循环和余数来决定数的位置，解题的关键是找到规律 三、作图题（本题满分 4 分） 15用圆规、直尺作图，不写作法但要保留作图痕迹 如图： 示两条道路，在 有一车站（用点 P 表示）现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要 求报亭到两条道路的距离相等且到点 P 所表示的车站距离最短请在图中作出报亭的位置 【考点】 作图 应用与设计作图 【分析】 首先作出 角平分线 过 P 作 垂线，两线交于点 E，点 E 就是报亭的位置 【解答】 解：如图所示： ， 点 E 即为报亭位置 【点评】 此题主要考查了作图应用与设计作图，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，垂线段最短 四、解答题（本题满 74 分，共 9 道 小题） 16（ 1）化简： （ 1+ ）； （ 2）关于 x 的一元二次方程 x 3=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 【考点】 根的判别式；分式的混合运算 【分析】 （ 1）先算括号里面的，再算除法即可； （ 2）根据方程有两个不相等的实数根得出 0，求出 k 的取值范围即可 【解答】 解：（ 1）原式 = = = ； （ 2） 关于 x 的一元二次方程 x 3=0 有两个不相等的实数根， 0，且 k 0，即 4+12k 0，解得 k 且 k 0 【点评】 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式 之间的关系是解答此题的关键 17已知：如图，在 ， C=90， ， 求：线段 长 【考点】 解直角三角形 【分析】 在直角三角形 ，利用锐角三角函数定义表示出 值代入求出 长，利用勾股定理求出 长即可 【解答】 解：在 ， C=90， ， ， ，即 = ， 解得： ， 根据勾股定理得： =2 【点评】 此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义及勾股定理是解本题的关键 18小明和小刚用如图所示的两个均匀的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了 蓝色，则可以配成紫色若配成紫色则小刚获胜，否则小明获胜 （ 1）请用列表法或树形图求出小明胜的概率； （ 2）这个游戏公平吗？请说明理由 【考点】 游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】 （ 1）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出不能配成紫色的结果数，然后根据概率公式求解； （ 2）找出能配成紫色的结果数，则根据概率公式计算出小刚胜的概率，然后比较小刚胜的概率和小明胜的概率的大小即可判断这个游戏是否公平 【解答】 解：（ 1）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中不能配成紫色的结果数为 7， 所以小明胜的概率 = ； （ 2）这个游戏不公平理由如下： 因为能配成紫色的结果数为 2， 所以小刚胜的概率 = ， 而小明胜的概率 = ； ， 所以这个游戏不公平 【点评】 本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平也考查了树状图法 19某班为确定参加学校投篮比赛的人选，在 A、 B 两位投篮高手间进行了 6 此投篮比赛，每次 10 投，将他们的命中成绩统计如下：请根据统计图所给信息，完成下列问题： （ 1）完成表格的填写； 投篮成绩统计 平均数 中位数 众数 方差 A 7 B 7 （ 2）如果这个班只能在 A、 B 之间选派一名学生参赛，该选派谁呢？请你利用学过的统计量对问题进行多角度分析说明，并作出决策 【考点】 方差；折线统计图；加权平均数；中位数；众数 【分析】 （ 1）分别利用中位数、众数、方差的定义分析得出答案； （ 2）利用中位数、众数、方差的意义分析得出答案 【解答】 解：（ 1） 投篮成绩统计 平均数 中位数 众数 方差 A 7 8 9 7 B 7 7 7 （ 2）从平均数看，两班平均数相同，则 A、 B 两人的成绩一样好； 从中位数看， A 的中位数 大，所以 A 的成绩较好； 从众数看， A 的众数大，所以 A 的成绩较好； 从方差看， B 的方差小，所以 B 的成绩更稳定 【点评】 此题主要考查了中位数、众数、方差的定义，正确把握相关定义是解题关键 20山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A 型车去年销售总额为 50000 元，今年销售总额将比去年减少 20%，每辆销售价比去年降低 400元，若这两年卖出的数量相同 （ 1）求今年 A 型车每辆售价多少元？ （ 2）该车行计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的 两倍，求销售这批车获得的最大利润是多少元 A， B 两种型号车今年的进货和销售价格表： A 型车 B 型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 【考点】 一次函数的应用；分式方程的应用 【分析】 （ 1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（ x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可； （ 2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车（ 60 a）辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值 【解答】 解：（ 1）设今年 A 型车每辆售 价 x 元，则去年售价每辆为（ x+400）元，由题意，得： = ， 解得： x=1600， 经检验， x=1600 是原方程的根 答：今年 A 型车每辆售价 1600 元； （ 2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车（ 60 a）辆，获利 y 元，由题意，得 y=（ 1600 1100） a+（ 2000 1400）（ 60 a）， y= 100a+36000 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 60 a 2a， a 20 y= 100a+36000 k= 100 0， y 随 a 的增大而减小 a=20 时， y 最大 =34000 元 B 型车的数量为： 60 20=40 辆 当新进 A 型车 20 辆， B 型车 40 辆时，这批车获利最大 【点评】 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用、一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键 21如图，平行四边形 ，过 A 作 M，交 E，过 C 作 ，交 F，连结 （ 1）求证： （ 2）当四边形 足什么条件时，四边形 菱形？证明你的结论 【考点】 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】 （ 1）由平行四边形的性质可得 D， 因为 得 用 理可证得结论； （ 2）利用菱形的性质可得 全等三角形的性质可得 F，由平行四边形的判定定理可得四边形 平行四边形，利用菱形的判定定理得出结论 【解答】 （ 1）证明： 四边形 平行四边形， D， 在 ， ， （ 2）解：四边形 菱形时，四边形 菱形 F， 四边形 平行四边形， 四边形 菱形， 四边形 菱形 【点评】 本题主要考查了平行四边形的性质和菱形的性质及判定定理，综合运用各定理是解答此题的关键 22（ 10 分）（ 2016崂山区一模）某公司销售 A， B 两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息 1：销售 A 种产品所获利润 y：（万元）与销售产品 x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示： 信息 2：销售 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系 根据以上信息，解答下列问题； （ 1）求二次函数解析式； （ 2）该公司准备购进 A、 B 两种产品共 10 吨 ，求销售 A、 B 两种产品获得的利润之和最大是多少万元 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）由抛物线过原点可设 y 与 x 间的函数关系式为 y=利用待定系数法求解可得； （ 2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（ 10 m）吨，销售 A、 B 两种产品获得的利润之和为 W 元，根据： A 产品利润 +B 产品利润 =总利润可得 W= 10 m），配方后根据二次函数的性质即可知最值情况 【解答】 解：（ 1）根据题意，设销售 A 种产品所获利润 y 与 销售产品 x 之间的函数关系式为 y= 将（ 1， （ 3， 入解析式， 得： ， 解得： ， 销售 A 种产品所获利润 y 与销售产品 x 之间的函数关系式为 y= （ 2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（ 10 m）吨，销售 A、 B 两种产品获得的利润之和为 W 元， 则 W= 10 m） = = m 6） 2+ 0， 当 m=6 时， W 取得最大值，最大值为 元， 答：购进 A 产品 6 吨，购进 B 产品 4 吨，销售 A、 B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是 元 【点评】 本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，（ 2）中整理得到所获利润与购进 A 产品的吨数的关系式是解题的关键 23（ 10 分）（ 2016市北区二模）模型介绍：古希腊有一个著名的 “将军饮马问题 ”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧 的两个军营 A、 B，他总是先去 A 营，再到河边饮 马，之后再去 B 营，如图 ，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图 ，作 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 直线 l 交于点 C，点 C 就是所求的位置请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答 （ 1）理由：如图 ，在直线 L 上任取一点 C，连结 BC 直线 L 是点 B， B的对称轴，点 C， C在 L 上 ， CB= CB B=B= 在 中， CB B CB B CB即 B 最小 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把 A， B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用 “两 点之间线段最短 ”，即转化为 “三角形两边之和大于第三边 ”的问题加以解决（其中 C 为 l 的交点，即 A、 C、 B三点共线） 本问题可拓展为 “求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值 ”问题的数学模型 （ 2）模型应用 如图 ，正方形 边长为 2， E 为 中 点， F 是 一动点 求 B 的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知， B 与 D 关于直线 结 F，则 B 的最小值就是线段 长度， B 的最小值是 如图 ，已知 O 的直径 4， 度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 ，使 P 的值最小，则 P 的最小值是 2 如图 ，一次函数 y= 2x+4 的图象与 x、 y 轴分别交于点 A， B 两点，点 O 为坐标原点，点 C 与点 D 分别为线段 中点，点 P 为 一动点求 D 取得最小值时 【考点】 一次函数综合题 【分析】 （ 1）根据对称轴是对称点连线的垂直平分线，依据垂直平分线的性质求解； （ 2）图 ，当 E 最小时，等于线段 长，利用勾股定理求得； 图 ，先作 B 关于 对称点 E，连接 P， 求出 0，求出 等腰直角三角形，根据勾股定理求出 可求出答案； 图 ：设点 的对称点为 C，连接 C，则 C，