2016年四川省内江市高考数学五模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年四川省内江市高考数学五模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1设复数 z=1 i 的共轭复数为 ，则 z =（ ） A 0 B 1 C 2 D 2已知集合 A=0， 1， 2， 3，集合 B=x|x=a， b A，且 a b，则 AB=（ ） A 0， 2， 3 B 0， 1， 2 C 0， 2， 4 D 0， 2， 3， 6 3下列说法正确的是（ ） A “a b”是 “充分不必要条件 B命题 “ R， 0”的否定是 “ R， 0” C关于 x 的方程 a+1） x+a 2=0 的两实根异号的充要条件是 a 1 D若 f（ x）是 R 上的偶函数，则 f（ x+1）的图象的对称轴是 x= 1 4下列说法错误的是（ ） A若直线 a 平面 ，直线 b 平面 ，则直线 a 不一定平行于直线 b B若平面 不垂直于平面 ，则 内一定不存在直线垂直于平面 C若平面 平面 ，则 内一定不存在直线平行于平面 D若平面 平面 v，平面 平面 v， =l，则 l 一定垂直于平面 v 5（ 1 2x） 5（ 1+3x） 4 的展开式中 系数等于（ ） A 120 B 26 C 94 D 214 6若双曲线 的渐近线与圆（ x 5） 2+y2=r 0）相切，则 r=（ ） A 5 B C 2 D 7执行如图的程序框图，则输出的 S 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8等腰直角三角形 ， C=90， C=1，点 M， N 分别是 点，点 边界）内任意一点，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 第 2 页（共 21 页） 9已知方程 =k 在（ 0， +）上有两个不同的解 ， （ ），则下面结论正确的是（ ） A 0已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x） = ，且 f（ x+1）=f（ x 1），函数 g（ x） = ，则方程 f（ x） =g（ x）在区间 7， 3上所有实根之和为（ ） A 6 B 8 C 11 D 12 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11已知 ， x （ ， ），则 _ 12有 6 个人站成一排，甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法有 _种 13已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图，如图所示，则该截面的面积是 _ 14设抛物线 x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， l， A 为垂足，如果 则 |_ 15定义一：对于一个函数 f（ x）（ x D），若存在两条距离为 d 的直线 y=kx+ y=kx+得在 x D 时， kx+f（ x） kx+成立，则称函数 f（ x）在 D 内有一个宽度为 定义二：若一个函数 f（ x），对于任意给定的正数 ，都存在一个实数 得函数 f（ x）在 +）内有一个宽度为 的通道，则称 f（ x）在正无穷处有永恒通道下列函数： f（ x） =f（ x） = ， f（ x） = ， f（ x） =f（ x） =e x， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16设 x R，函数 f（ x） =2 + x） （ ）求函数 f（ x）在 0， 上的单调递增区间； 第 3 页（共 21 页） （ ）设锐角 内角 A、 B、 C 所对边分别为 a、 b、 c，且 = ，求 f（ A）的取值范围 17设正项等比数列 ， ， 是 3 2等差中项 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 各项为正，且 与 的等比中项，求数列 前 n 项和 对任意 n N*都有 立，求实数 m 的取值范围 18在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在 2015 年公务员考试中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，按成绩分为 5 组 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100，得到的频率分布直方图如图 所示 （ 1）求 a 值及这 100 名考生的平均成绩； （ 2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取 6 名考生进入第二轮面试，现从这 6 名考生中抽取 3 名考生接受单位领导面试，设第四组中有 名考生接受领导面试，求 的分布列和数学期望 19如图，四边形 ， 0， ， 面 F （ 1）求证： 面 （ 2）若二面角 C D 的大小为 60，求 面 成角的正弦值 第 4 页（共 21 页） 20设非零平面向量 ， =（ ， ），规定 =| | | |椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点，点 M， N 分别是其上的顶点，右顶点，且 =6 ，离心率 e= （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 直线交椭圆 C 于点 A， B，求： 的取值范围 21设 f（ x） = ， g（ x） =a 0） （ ）求函数 F（ x） =f（ x） g（ x）的极值； （ ）若函数 G（ x） =f（ x） g（ x） +（ a 1） x 在区间 内有两个零点，求实数 （ ）求证：当 x 0 时， 0 第 5 页（共 21 页） 2016 年四川省内江市高考数学五模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1设复数 z=1 i 的共轭复数为 ，则 z =（ ） A 0 B 1 C 2 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数 z 求出 ，然后代入 z 化简计算得答案 【解答】 解：由 z=1 i， 得 则 z =（ 1 i） （ 1+i） =2 故选： C 2已知集合 A=0， 1， 2， 3，集合 B=x|x=a， b A， 且 a b，则 AB=（ ） A 0， 2， 3 B 0， 1， 2 C 0， 2， 4 D 0， 2， 3， 6 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据集合的交集的运算和集合的表示方法即可求出答案 【解答】 解：集合 A=0， 1， 2， 3，集合 B=x|x=a， b A，且 a b=0， 2， 3， 6 则 AB=0， 2， 3 故选： A 3下列说法正确的是（ ） A “a b”是 “充分不必要条件 B命题 “ R， 0”的否定是 “ R， 0” C关 于 x 的方程 a+1） x+a 2=0 的两实根异号的充要条件是 a 1 D若 f（ x）是 R 上的偶函数，则 f（ x+1）的图象的对称轴是 x= 1 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可， B根据特称命题的否定是全称命题进行判断， C根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根的分布进行求解即可， D根据偶函数的性质以及函数平移关系进行判断 【解答】 解： A当 a=1， b= 1 时，满足 a b，但 成立，即充分性不成立，故 B命题 “ R， 0”的否定是 “ R， 0”，故 B 错误， C若方程 a+1） x+a 2=0 的两实根异号， 则 ，即 ，即 a 2， 即方程有两实根异号的充要条件是 a 2，故 C 错误， D若 f（ x）是 R 上的偶函数，则公式 f（ x）关于 y 轴即 x=0 对称， 将函数 f（ x）向左平移 1 个单位，得到 f（ x+1），则函数关于 x= 1 对称， 第 6 页（共 21 页） 即 D 正确， 故选： D 4下列说法错误 的是（ ） A若直线 a 平面 ，直线 b 平面 ，则直线 a 不一定平行于直线 b B若平面 不垂直于平面 ，则 内一定不存在直线垂直于平面 C若平面 平面 ，则 内一定不存在直线平行于平面 D若平面 平面 v，平面 平面 v， =l，则 l 一定垂直于平面 v 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据线面平行的性质定理进行判断， B利用反证法结合面面垂直的性质进行判断， C利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断， D根据面面垂直的性质进行判断 【解答】 解： A若直线 a 平面 ，直线 b 平面 ，则 a， b 平行或相交或是异面直线，则直线 a 不一定平行于直线 b 正确，故 A 正确， B若 内存在直线垂直于平面 ，则根据面面垂直的判定定理得 ，与平面 不垂直于平面 矛盾，故若平面 不垂直于平面 ，则 内一定不存在直线垂直于平面 正确，故 C若平面 平面 ，则 内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面 平行，故 C 错误， D若平面 平面 v，平面 平面 v， =l，则根据面面垂直的性质得 l 一定垂直于平面 v，故 D 正确， 故选： C 5（ 1 2x） 5（ 1+3x） 4 的展开式中 系数 等于（ ） A 120 B 26 C 94 D 214 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 把（ 1 2x） 5 和（ 1+3x） 4 按照二项式定理展开，可得展开式中 系数 【解答】 解： （ 1 2x） 5（ 1+3x） 4=（ 1 10x+4080032（ 1+12x+54081 它的展开式中 系数等于 54+（ 10） 12+40= 26， 故选： B 6若双曲线 的渐近线与圆（ x 5） 2+y2=r 0）相切，则 r=（ ） A 5 B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系 【分析】 取双曲线 的一条渐近线 ，由已知渐近线与圆（ x 5） 2+y2=r 0）相切得性质可得：圆心（ 5， 0）到渐近线的距离 d=r，利用点到直线的距离公式得出即可 【解答】 解：取双曲线 的一条渐近线 ， 渐近线与圆（ x 5） 2+y2=r 0）相切， 第 7 页（共 21 页） 圆心（ 5， 0）到渐近线的距离 d=r，即 ，解得 r= 故选 B 7执行如图的程序框图，则输出的 S 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图的功能是求 S=1断终止程序运行的 k 值，利用对数换底公式求得 S 值 【解答】 解：由程序框图得：第一次运行 S=1k=4； 第二次运行 S=1k=5； 第三次运行 S=1k=6； 直到 k=9 时，程序运行终止，此时S=1， 故选 B 8等腰直角三角形 ， C=90， C=1，点 M， N 分别是 点，点 边界）内任意一点，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解 【解答】 解：以 C 为坐标原点， 所在直线为 x 轴， 建立直 角坐标系， 则 A（ 1， 0）， B（ 0， 1）， 设 P（ x， y）， 第 8 页（共 21 页） 则 且 =（ 1， ）， =（ x ， y ）， 则 = x+ y+ ， 令 t= x+ y+ ，结合线性规划知识， 则 y=2x+2t 当直线 t= x+ y+ 经过点 A（ 1， 0）时， 有最小值， 将（ 1， 0）代入得 t= ， 当直线 t= x+ y+ 经过点 B 时， 有 最大值， 将（ 0， 1）代入得 t= ， 则 的取值范围是 ， ， 故选： A 9已知方程 =k 在（ 0， +）上有两个不 同的解 ， （ ），则下面结论正确的是（ ） A 考点】 函数的零点与方程根的关系 第 9 页（共 21 页） 【分析】 由题意可得， y=|x|的图象与直线 y=k 0）在（ 0， +）上有且仅有两个公共点，故直线 y= y=|x|在（ ， ）内相切，且切于点（ ， ），切线的斜率为 = ，化简可得结论 【解答】 解： =k， |x|= 要使方程 =k（ k 0）在（ 0， +）上有两个不同的解， 则 y=|x|的图象与直线 y=k 0）在（ 0， +）上 有且仅有两个公共点， 所以直线 y= y=|x|在（ ， ）内相切， 且切于点（ ， ）， 切线的斜率 为 = ， =， =2=2 故选： C 10已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x） = ，且 f（ x+1）=f（ x 1），函数 g（ x） = ，则方程 f（ x） =g（ x）在区间 7， 3上所有实根之和为（ ） A 6 B 8 C 11 D 12 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数的图象 【分析】 画出函数的图象，利用两个函数的交点关于（ 2， 1）对称，然后求解结果 【解答】 解：画出两个函数的图象， 第 10 页（共 21 页） 方程 f（ x） =g（ x）在区间 7， 3上所有实根共有 5 个， 其中 于（ 2， 1）对称，另一个是 3， 5 个根的和为：（ 4） +（ 4） +（ 3） = 11 故选： C 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸 上） 11已知 ， x （ ， ），则 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 求出余弦函数值，然后求解正切函数值即可 【解答】 解： ， x （ ， ）， = ， = 故答案为： 12有 6 个人站成一排，甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法有 480 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意 ，甲，乙，丙三人的位置顺序为丙在甲乙之间或丙在甲乙两边，即可得甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法是全部排法数目的 ，计算可得答案 【解答】 解：甲，乙，丙三人的位置顺序为丙在甲乙之间或丙在甲乙两边， 故 6 个人站成一排，甲乙两人都站在丙的同侧的不同站法有 80 种， 故答案为： 480 第 11 页（共 21 页） 13已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图，如图所示，则该截面的面积是 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据集合的三视图得出该几何体是正方体切去一个棱台，画出它的直观图，求出截面面积即可 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是正方体去掉一个棱台，如图所示； 截面为等腰梯形，且两底边长分别为 ， ，腰长 1F= ， 梯形的高为 = ， 截面面积 S=（ +2 ） = 故答案为： 14设抛物线 x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， l， A 为垂足，如果 则 | 8 【考点】 直线与抛物线的位置关系 【分析】 通过设 P（ m， n）（不妨令 m、 n 均为正数），利用 等腰三角形及直角三角形，求出 n， m，通过抛物线的定义求解即可 【解答】 解：由题可知：抛物线 x 的焦点为： F（ 2， 0） ， 抛物线 x 的准线方程为： x= 2， 不妨设 P（ m， n）（ m、 n 均为正数），则 8m= |2+m， | ， 第 12 页（共 21 页） 由抛物线的定义可知： |2+m， 等腰三角形， 又 ， 2p=|FA| |8 即 =8， 8 得： 8m=48， 解得： m=6， |2+6=8 故答案为： 8 15定义一：对于一个函数 f（ x）（ x D），若存在两条距离为 d 的直线 y=kx+ y=kx+得在 x D 时， kx+f（ x） kx+成立，则称函数 f（ x）在 D 内有一个宽度为 定义二：若一个函数 f（ x），对于任意给定的正数 ，都存在一个实数 得函数 f（ x）在 +）内有一个宽度为 的通道，则称 f（ x）在正无穷处有永恒通道下列函数： f（ x） =f（ x） = ， f（ x） = ， f（ x） =f（ x） =e x， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 根据定义一与定义二，对所给函数进行逐一进行判定，解题的关键看函数的单调性和是否有渐近线等 【解答】 解： f（ x） =着 x 的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数 得函数 f（ x）在 +）内有一个宽度为 的通道，故 f（ x）在正无穷处无永恒通道； f（ x） = ，随着 x 的增大，函数值趋近于 0，对于任意给定的正数 ，都存在一个实数 得函数 f（ x）在 +）内有一个宽度为 的通道，故 f（ x）在正无穷处有永恒通道； f（ x） = ，随着 x 的增大，函数值也在增大，有两条渐近线 y= x，对于任意给定的正数 ，都存在一个实数 得函数 f（ x）在 +）内有一个宽度为 的通道，故 f（ x）在正无穷处有永恒通道； f（ x） =着 x 的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数 得函数 f（ x）在 +）内有一个宽度为 的通道，故 f（ x）在正无穷处无永恒通道； f（ x） =e x，随着 x 的增大，函数值趋近于 0，趋近于 x 轴，对于任意给定的正数 ，都存在一个实数 得函数 f（ x）在 +）内有一个宽度为 的通道，故 f（ x）在正无穷处有永恒通道 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16设 x R，函数 f（ x） =2 + x） （ ）求函数 f（ x）在 0， 上的单调递增区间； 第 13 页（共 21 页） （ ）设锐角 内角 A、 B、 C 所对边分别为 a、 b、 c，且 = ，求 f（ A）的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）首先，结合二倍角公式和辅助角公式化简给定的函数，得到 f（ x） =22x ），然后，根据三角函数的单调性进行确定单调递增区间； （ 2）先结合余弦定理化简得到 ，然后，结合正弦定理，得到 ，结合范围得到 B= ，然后，根据有关角的范围，从而确定 f（ A）的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =2 + x） =2 22x ） 由 2 2x 2， k Z， 解得 x ， k Z 令 k=0，得 x ， 又 x 0， ，此时 0 x ； 令 k=1，得 x ， 又 x 0， ，此时 x 所以函数 f（ x）在 0， 上的单调增区间是 0， ， ， （ ） = ， 由余弦定理得： = 所以 ， 即 2 由正弦定理得： 2 即 2B+C） 又 0，故 ， 第 14 页（共 21 页） B= ， C= A ，则 A ， 因为 锐角三角形， 所以 A ， 2A ， 所以 f（ A） =22A ）的取值范围是（ 1， 2 17设正项等比数列 ， ， 是 3 2等差中项 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 各项为正，且 与 的等比中项，求数列 前 n 项和 对任意 n N*都有 立，求实数 m 的取值范围 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1）设正项等比数 列 公比为 q，由已知列式求出公比 q，代入等比数列的通项公式得答案； （ 2）由 与 的等比中项，求得数列 通项公式，再由错位相减法求出数列前 n 项和 对任意 n N*都有 立求得实数 m 的取值范围 【解答】 解：（ 1）设正项等比数列 公比为 q，由题意得： 2+4q， q=3 或 q= 1（舍去）， ； （ 2） 与 的等比中项， = = ， ， 则 ， ， 两式作差得： = 调递增， 第 15 页（共 21 页） 最小值为 ， 由 ，得 或 ， 解得： 0 m 1 或 m 64， 故实数 m 的取值范围是（ 0， 1） （ 64， +） 18在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在 2015 年公务员考试中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，按成绩分为 5 组 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100，得到的频率分布直方图如图所示 （ 1）求 a 值及这 100 名考生的平均成绩； （ 2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取 6 名考生进入第二轮面试，现从这 6 名考生中抽 取 3 名考生接受单位领导面试，设第四组中有 名考生接受领导面试，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）利用频率分布直方图，求解 a 与这 100 名考生的平均成绩 （ 2）第 3， 4， 5 组考生分别有 30、 20、 10 人，按分层抽样，各组抽取人数为 3， 2， 1， =0，1， 2，求出概率， 【解答】 解：（ 1）由（ a+ 10=1，得 a= 平均成绩为（ 55 5 5 5 5 10= （ 2）第 3， 4， 5 组考生分别有 30、 20、 10 人，按分层抽样，各组抽取人数为 3， 2， 1 显然 =0， 1， 2， ， ， 的分布列为 0 1 2 P 第 16 页（共 21 页） 19如图，四边形 ， 0， ， 面 F （ 1）求证： 面 （ 2）若二面角 C D 的大小为 60，求 面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）设 O，连接 出 证明 后证明 可证明 面 （ 2）以 在直线建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面 面 一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线 面 成角的正弦 【解答】 解：（ 1）证明：设 O，连接 ， 由余弦定理可得： ， ， 又 四边形 平行四边形 又 面 面 （ 2） 面 分别以 在直线建立如图所示空间直角坐标系， 则 ，设 DE=h，则 F（ 0， 2， h） ， ， 设平面 法向量为 ，则 ，即 ， 取 ，有 易知平面 一个法向量 第 17 页（共 21 页） 解得 ，易知面 一个法向量 ， 直线 面 成角的正弦为 20设非零平面向量 ， =（ ， ），规定 =| | | |椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点，点 M， N 分别是其上的顶点，右顶点，且 =6 ，离心率 e= （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 直线交椭圆 C 于点 A， B，求： 的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；平面向 量数量积的运算 【分析】 （ ）由已知条件推导出 ab=6 ， ，由此能求出椭圆的标准方程 （ ）当直线为 x 轴时， =0；当直线不为 x 轴时，设直线 方程为： x=，由 得（ 8） 664=0， =| | |S 由此能求出 的取值范围 【解答】 解：（ ）由题意知 M（ 0， b）， N（ a， 0）， =90， c2=