中学生标准学术能力诊断性测试（11月）试卷 文科数学（PDF版）

第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年年 11 月测试月测试 文科文科数学试卷数学试卷（一卷）（一卷） 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知全集U = R，集合 1 |0 x Ax x =， |lg(31)Bx yx=，则() U AB = A(0,1 B 1 (0, 3 C 1 ( ,1 3 D 1 (, 3 2已知aR，复数 2i 3i a z = + （i为虚数单位），若z为纯虚数，则a = A 2 3 B 2 3 C6 D6 3某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行 问卷调查，若采用分层抽样方法，则4050岁年龄段应抽取的人数是 A7 B8 C9 D10 4下列函数中，在区间(0, )+ 上单调递增的是 A3 x y = B 0.5 logyx= C 2 1 y x = D 1 2 x y x + = + 5已知抛物线 2 4yx=的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A、B两点，若| 3|AFBF=，则 |AB = A4 B 9 2 C13 2 D16 3 6已知 1 tan() 43 = ，则 sin(2)2sin()cos() 2 += A 7 5 B 1 5 C 1 5 D 31 25 7设变量x、y满足约束条件 20 240 240 xy xy xy + + ，且zkxy=+的最大值为12，则实数k的值为 A2 B3 C2 D3 8 在ABC中， 角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 若1a =，2 3c =， sinsin() 3 bAaB=， 则sinC = A 3 7 B 21 7 C 21 12 D 57 19 9某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外 接球的表面积为 A27 B28 C29 D30 10函数 | | 1 3cose 6 x yx=的大致图象是 11.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的右焦点为F，直线:3l yx=与C交于A,B两点， AF,BF的中点分别为M,N，若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为 A33 B2 31 C32+ D31+ 12.在ABC中，8AB =,6AC =,60A=,M为ABC的外心， 若AMABAC=+, R， 则43+= A 3 4 B 5 3 C 7 3 D 8 3 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 n a为等比数列，若 3 3a =, 5 12a =，则 7 a = 14若函数( )2cos(2 )cos2 (0) 2 f xxx =+的图象过点(0,1)M，则( )f x的值域为 15黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 广泛的应用， 其定义为： 1 ,( ,) ( ) 0,0,10,1 qq xp q pppR x x = = = 当都是正整数是既约真分数 当或上的无理数 ， 若函数( )f x是定义 在 R 上的奇函数，且对任意x都有(2)( )0fxf x+=，当0,1x时，( )( )f xR x=，则 18 ()(lg30) 5 ff+= 16 如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，E、F、G分别是 1 DD、AB、 BC的中点，过点E、F、G的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几 何体的体积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17 （12 分）某学校为了解学生假期参与志愿服务活动 的情况，随机调查了 30 名男生，30 名女生，得到他 们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表（单 位：人） ： （1）能否有 95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过 1 小时与性别有关？ （2）以这 60 名学生参与志愿服务活动时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校 学生中随机抽查 10 名学生，试估计这 10 名学生中一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的人 数 附： 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd = + k 3.841 6.635 10.828 18 （12 分）已知数列 n a是等差数列，其前n项和为 n S，且 3 5a =， 42 37Sa=；数列 n b为等 比数列，且 12 ba=， 49 bS= （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若 n n n a c b = ，设数列 n c的前n项和为 n T，求证： 1 1 3 n T 19 （12 分）如图，已知四边形ABCD为梯形，/AB CD，90CBA=， 四 边 形ACFE为 矩 形 ， 且 平 面ACFE 平 面ABCD， 又 ABBCCFa=，2CDa= （1）求证：DEBF； （2）求点E到平面BDF的距离 20 （12 分）已知点 5 (2, ) 3 M在椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab +=上， 1 A, 2 A分别为E的左、右顶点，直 线 1 AM与 2 A M的斜率之积为 5 9 ,F为椭圆的右焦点，直线 9 : 2 l x = （1）求椭圆E的方程； （2）直线m过点F且与椭圆E交于B,C两点，直线 2 BA、 2 CA分别与直线l交于P,Q两点试 问：以PQ为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由 21 （12 分）已知函数 ( )ln(1)1f xxxax x= ，aR （1）当1a = 时，求曲线 ( )yf x= 在点 (1,(1)Mf 处的切线方程； （2）当1a 时，求证：函数 ( )( )1g xf x=+ 恰有两个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分分作答时请写清题号作答时请写清题号 22 选修 44：坐标系与参数方程选讲（10 分） 以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程 是6sin4cos=+，直线l的参数方程是 4cos 3sin xt yt =+ =+ ， （t为参数） （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于M、N两点，且| 4 3MN =，求直线l的倾斜角 23 选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |31|32|f xxx=+的最大值为m, ,a b c均为正实数，且abcm+= （1）求证： 111 9 abc +； （2）求证：3abc+ 超过 1 小时 不超过 1 小时 男 22 8 女 14 16 第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年年 11 月测试月测试 文科数学文科数学（一卷）答案（一卷）答案 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C D D A C B C A D C 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 48 14. 3 3, 2 15. 1 5 16. 3 119 144 a 三、 解答题三、 解答题： 共共 70 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：（一）必考题：60 分分 17.（12 分）分） 解： （1）作出列联表如下（单位：人） ： 超过 1 小时 不超过 1 小时 合计 男 22 8 30 女 14 16 30 合计 36 24 60 2 分 则 2 2 60(22 16 14 8)40 4.44 36 24 30 309 K = ， 4 分 所以 2 3.841K ， 5 分 所以有 95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时与性别有关. 6 分 （2）根据以上数据，学生一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的概率为： 363 605 p =， 8 分 故估计这 10 名学生中一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的人数为： 3 106 5 =（人）. 12 分 第2页 共 5 页 18.（12 分）分） 解： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 由 3 5a =， 42 37Sa=，可得， 1 11 25 4 3 43()7 2 ad adad += += ， 2 分 解得： 1 1 2 a d = = ，所以21 n an=. 4 分 所以， 1 3b =， 4 81b =，故 3 4 1 27 b q b =，3q =，3n n b =. 6 分 （2）由（1）可得， 21 3 n n n n an c b =， 则 123 1111 135(21) 3333 n n Tn= + + +， 2341 111111 135(23)(21) 333333 n nn Tnn + = + + +， -得， 12341 2111111 12222(21) 3333333 n nn Tn + = +，8 分 所以 21 11 11 (1) 21122(1) 33 2(21) 1 33333 1 3 n n nn n Tn + + =+= ， 所以 1 1 3 n n n T + = ， 10 分 因为n N，所以 1 0 3n n+ ， 1 11 3 n n n T + = ， 11 分 又0 n c ，所以 1 21 1 33 n TT= =，所以 1 1 3 n T. 12 分 19.（12 分）分） 证明： （1）因为ACFE为矩形，AEAC，且平面ACFE 平面ABCD， 平面ACFE平面ABCDAC=， 所 以AE 平 面ABCD， 同 理CF 平 面ABCD， 故 90DCFBCFBAEDAE= = = =， 则在RtDCF中，5DFa=， 在RtBCF中，2BFa=， 在RtABE 中， 2BEa=. 1 分 第 19 题 第3页 共 5 页 在梯形ABCD中，90CBA=，ABBCa=，2CDa=， 所以5BDa=，2ADa=，2ACa=，所以在RtDAE中，3DEa=.2 分 所以在DBE中，5BDa=，2BEa=，3DEa=，可知 222 BDBEDE=+， 故90DEB=，即DEBE； 4 分 在DEF中，5DFa=，3DEa=，2EFACa=，可知 222 DFDEEF=+， 故90DEF=，即DEEF 5 分 又BEEFE=，所以DE 平面BEF 又BF 平面BEF，所以DEBF. 6 分 （2）在BEF中，2BEBFEFa=， 则 22 33 ( 2 ) 42 BEF Saa =. 由（1）知，DE 平面BEF，故三棱锥DBEF的体积为: 23 1131 3 3322 D BEFBEF VDESaaa =. 8 分 在BDF中，5BDDFa=，2BFa=，则在等腰BDF中，底边BF上的高为： 22 23 2 ( 5 )() 22 aaa=，则 2 13 23 2 222 BDF Saaa =. 10 分 设点E到平面BDF的距离为h，故三棱锥EBDF的体积为: 2 13 32 E BDF Vha = ， 根据 D BEFE BDF VV =，可得 23 131 322 haa =，则ha=， 所以点E到平面BDF的距离为a 12 分 20.（12 分）分） 解： （1）由题意可知 1( ,0)Aa， 2( ,0) A a，则 12 2 55 255 33 229(4)9 A MA M kk aaa = + ， 所以 22 2 425 1, 9 255 , 9(4)9 ab a += = 解得： 3, 5, a b = = 2 分 所以椭圆的方程为 22 1 95 xy += 3 分 E 第4页 共 5 页 （2）由（1）可知，(2,0)F， 当直线m斜率不存在时，易知 5 (2, ) 3 B， 5 (2,) 3 C， 95 ( ,) 22 P， 9 5 ( , ) 2 2 Q， 以PQ为直径的圆的方程为： 22 925 () 24 xy+=，此时圆过点(2,0)F，(7,0)R. 4 分 下面证明以PQ为直径的圆过定点(2,0)F，(7,0)R. 当直线m斜率存在时，设:(2)(0)m yk xk=， 11 ( ,)B x y， 22 (,)C x y， 联立 22 1 95 (2) xy yk x += = ，可得 2222 (59)3636450kxk xk+=， 则 2 12 2 36 59 k xx k += + ， 2 12 2 3645 59 k x x k = + . 5 分 直线 1 2 1 :(3) 3 y BAyx x = ，令 9 2 x =，得 1 1 39 ( ,) 2 2(3) y P x ，同理可得 2 2 39 ( ,) 2 2(3) y Q x .6 分 那么 1 1 35 ( ,) 2 2(3) y FP x = ， 2 2 35 ( ,) 2 2(3) y FQ x = ， 7 分 则 22 12121212 12121212 99(2)(2)92()4252525 44(3)(3)44(3)(3)443()9 y ykxxkx xxx FP FQ xxxxx xxx + =+=+=+ + ， （*） 将 2 12 2 36 59 k xx k += + ， 2 12 2 3645 59 k x x k = + 代入（*）式， 得 22 2 2 22 222 22 36452 36 9(4) 25259( 25)2525 5959 0 36453 36444 944 4(9) 5959 kk k k kk FP FQ kkk kk + + =+=+= + + ，11 分 故FPFQ，所以点(2,0)F在以PQ为直径的圆上， 同理，点(7,0)R也在以PQ为直径的圆上. 综上可知，以PQ为直径的圆过定点(2,0)F，(7,0)R 12 分 21.（12 分）分） 解： （1）当1a = 时， 2 ( )ln1f xxxxx=+，(1)1f= ， 1 分 ( )ln1 21ln2fxxxxx=+ + =+，故(1)2 f =， 2 分 故所求切线的方程为：12(1)yx+ =，即230 xy= 3 分 （2）( )ln(1)ln(1)g xxxax xxxa x=，0 x ， 第5页 共 5 页 因为0 x ，所以只需证明在已知条件下，( )ln(1)h xxa x=恰有两个零点即可. 由( )ln(1)h xxa x=，则 1 () 1 ( ) a x a h xa xx = ， 4 分 当 1 (0,)x a 时，( )0h x；当 1 ( ,)x a +时，( )0h x. 所以( )h x在区间 1 (0,) a 内单调递增，在区间 1 ( ,) a +内单调递减，5 分 因为1a ，故 1 01 a ，所以 1 ( )(1)0hh a =， 6 分 记( )e(0) x r xx x=，则( )e10 x r x= ，所以( )exr xx=单调递增，故1a 时， ( )(1)e10r ar= ，即e0 a a，e1 a a，所以 11 eaa ，即 1 0e a a ， 又(e)lne(e1)e0 aaaa haa =， 9 分 由 1 ( )0h a ,(e)0 a h ，且( )h x在区间 1 (0,) a 内单调递增，可得， 存在唯一 0 1 (e,) a x a ，即 0 1 (0,)x a ，使得 0 ()0h x=， 10 分 又( )h x在区间 1 ( ,) a +内单调递减，(1)0h=， 1 1( ,) a +， 故( )ln(1)h xxa x=恰有两个零点， 所以，1a 时，函数( )( )1g xf x=+恰有两个零点. 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.作答时请写清题号