广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B卷）理科数学（PDF版）

2019年汕头市普通高考第二次模拟考试试题 理科数学 第1页(共5页) 秘密启用前 试卷类型：B 2019年汕头市普通高考第二次模拟考试试题 理 科 数 学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在 试卷上。 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合要求的。符合要求的。 1设集合 1,0,1,2A ，集合 |2 , x By yxR，则AB A0，1 B1，2 C0，1，2 D （0，+） 2已知复数 1 34zi ， 2 zti ，且 12 zz是实数，则实数t等于 A 3 4 B 4 3 C 4 3 D 3 4 3记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a ， 342 22SaS，则 8 a A8 B9 C16 D15 4已知向量a，b的夹角为 2 ，且2, 1a ，2b，则2ab A2 3 B3 C21 D41 5已知ABC的周长为12，且2,0A ，2,0B，则顶点C的轨迹方程为 A 22 42 1(0) xy y B 22 42 1(0) xy y C 22 1612 1(0) xy y D 22 1612 1(0) xy y 2019年汕头市普通高考第二次模拟考试试题 理科数学 第2页(共5页) 6在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60 分以下视为不及格， 若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误 的是 A成绩在70,80分的考生人数最多 B不及格的考生人数为1000人 C考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D考生竞赛成绩的中位数为75分 第 6 题图 7某学校校运会有 4 个项目（包括立定跳远） ，小珊、大头、笔笔、阿莹 4 位同学各自选定 一个项目报名参加（互不干扰） ，则立定跳远这个项目恰有两人报名的方案有 A36 种 B54 种 C72 种 D. 108 种 8如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小 正方形的边长为 1，则该几何体的体积为 A 22 3 B 23 3 C 25 3 D 26 3 9命题 2 000 1,1 ,20pxxax ：为假命题 的一个充分不必要条件为 A( 1,1)a B 1 (,1) 2 a C( 1,2)a D. 1,1a 10已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是 A.ln1yxxx B.ln1yxxx C. ln 1 x yx x D. ln 1 x yx x 11已知直线 4 x 是函数( )sincosf xxax 的一条对称轴，若 12 ,x x满足 12 ( )()2f xf x， 则 12 xx的最小值为 A 4 B 2 第 10 题图 C 2 3 D 3 4 2019年汕头市普通高考第二次模拟考试试题 理科数学 第3页(共5页) 12若 12 0 xxa都有 211212 lnlnxxxxxx成立，则a的最大值为 A 1 2 B1 Ce D2e 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13设变量x、y满足约束条件 5 24 1 0 xy xy yx y ，则目标函数32zxy的最大值为_. 14已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点为 1 F、 2 F，过 1 F且斜率为 2 2 的 直线l与C的一条渐近线在第一象限相交于A点， 若 21 AFAF， 则该双曲线的离心率为 _. 15记 n S为数列 n a的前n项和，若 2 3S ， 1 1 nn aS ，则通项公式 n a _ 16长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1,2,3ABADAA， P是棱 1 DD上的动点，则 1 PAC 的面积最小时， 1 DP PD _ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 (一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17(本小题满分 12 分) ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知2 23(cos )bcaB (1)求cos A； (2)过点A作ADAB交BC的延长线于D，若3CD ，23ADAC，求ACD的 面积. 18(本小题满分 12 分) 如图，等边三角形PAC所在平面与梯形 ABCD所在平面互相垂直，且有/ /ADBC， 2ABADDC，4BC . (1)证明：平面PAB平面PAC； (2)求二面角BPCD的余弦值. 第 18 题图 * ()nN 2019年汕头市普通高考第二次模拟考试试题 理科数学 第4页(共5页) 19(本小题满分 12 分) 已知抛物线D： 2 4xy，过x轴上一点E（不同于原点）的直线l与抛物线D交于两点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，与y轴交于C点. (1)若 1 EAEC， 2 EBEC，求乘积 1 2 的值； (2)若(4,0)E，过A，B分别作抛物线D的切线，两切线交于点M，证明：点M在定直 线上，求出此定直线方程. 20(本小题满分 12 分) 某工厂,A B两条相互独立的生产线生产同款产品， 在产量一样的情况下通过日常监控得 知，,A B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和21p(0.51)p (1)从,A B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值 0 p (2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的 0 p作为p的值 已知,A B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失 5 元和 3 元， 若从两条生 产线上各随机抽检 1000 件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损 失较多？ 若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分 别获利 10 元、8 元、6 元，现从,A B 生产线的最终合格品中各随机抽取 100 件进行检测，结果统计如右图： 用样本的频率分布估计总体分 布，记该工厂生产一件产品的利润为 X，求X的分布列并估计该厂产量 2000 件时利润的期望值 第 20 题图 2019年汕头市普通高考第二次模拟考试试题 理科数学 第5页(共5页) 21(本小题满分 12 分) 已知函数( ) x f xeaxa(aR). (1)讨论函数( )f x的极值； (2)设 12 ,x x是( )f x的两个零点，证明： 12 0 xx. (二二)选考题：共选考题：共10分。请考生在第分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 记分。记分。 22(本小题满分 10 分)选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为 cos 3 sin xa ya （为参数，0a ）. 以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 cos()2 2 4 . (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线l的距离的最大值为3 2，求a的值 23(本小题满分10分)选修选修45：不等式选讲：不等式选讲 已知函数( )221f xxx (1)在右图的坐标系中画出y=( )f x的图象； (2)若y=( )f x的最小值为m，当正数, a b 满足 21 m ba 时，求2ab的最小值 第 23 题图 高效冲刺用高考数学必备题型手册 第1页(共6页) 理科数学参考答案和评分标准 一选择题 二填空题 13. 6 14. 3 15. 1 2n n a 16. 1 4 17. 解： （1）由正弦定理得：2 2sin 3(sinsincos)BCAB 1 分 3(sin()sincos )ABAB2 分 3(sincoscossinsincos )ABABAB3 分 3cossinAB4 分 (0, )AQsin0,A.5 分 2 2 cos 3 A6 分 （2）如图， 2 1 sin1 cos 3 BACBAC 7 分 1 cossin 3 CADBAC8 分 设3ADx，则2ACx，在ACD中，由余弦定理，得 22 9492 23cosxxxxCAD 9 分 解得1x ，即3,2ADAC，10 分 1 2 3 sin 2 ACD SCAD 11 分 12 2 2 32 2 23 12 分 18.（1）证明：取BC中点M，连接AM 则四边形AMCD为菱形，即有 1 2 AMMCBC，1 分 所以ABAC2 分 ABQ平面ABCD 平面ABCD 平面PAC 平面ABCDI平面PACAC3 分 AB平面PAC4 分 又AB平面PAB 平面PAB 平面PAC5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C C D B C B B B B 高效冲刺用高考数学必备题型手册 第2页(共6页) （2）由（1）可得2 3AC 取AC中点O，连接PO，则,3POAC PO6 分 POQ平面PAC 平面PAC 平面ABCD 平面PACI平面ABCDAC PO平面ABCD7 分 以A为原点建系如图，则 (2,0,0),B，(0, 3,3)P，(0,2 3,0)C，( 1, 3,0)D ，8 分 ( 2,2 3,0)BC uuu r ，(0, 3, 3)PC uuu r ，( 1,3,0)CD uuu r 设平面BPC的法向量为 1 ( , , )nx y z u r ，则 22 30 330 xy yz ，取1z ，得 1 (3, 3,1)n u r 9 分 设平面PCD的法向量为 2 ( , , )nx y z uu r ，则 30 330 xy yz ，取1z ，得 1 ( 3, 3,1)n u r 10 分 1 2 1 2 1 2 93 15 cos, 13|1313 n n n n nn ruu r ruu r ruu r 11 分 二面角BPCD的余弦值为 5 13 12 分 19.解析： （1）设( ,0)E t0t ，(0,)Cm，.1 分分 由由 1 2 EAEC EBEC uu u ruuu r uuu ruuu r 得得 111 222 (,)(,) (,)(,) xt yt m xt yt m ，.2 分分 解得 1 1 2 2 tx t tx t .3 分分 设设直线直线l的斜率为的斜率为k，其方程为，其方程为()yk xt， 高效冲刺用高考数学必备题型手册 第3页(共6页) 由 2 () 4 yk xt xy 得得 2 440 xkxkt，.4 分分 16 ()0k kt 时，设时，设 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 1212 4 ,4xxk x xkt，.5 分分 所以所以 22 1212 12 22 ()44 1 txx tx xtktkt tt .6 分分 （2）设( , )M x y， 由 2 4xy得得 2 4 x y ，所以 2 x y .7 分分 所以在 2 1 1 ( ,) 4 x A x处处的切线方程为 2 11 1 () 42 xx yxx，即 2 11 24 x xx y ， 同理在 2 2 2 (,) 4 x B x的切线方程为 2 22 24 x xx y ，.8 分分 由由 2 11 2 22 24 24 x xx y x xx y 得 12 12 2 4 xx x x x y ，.9 分分 因为(4,0)E，即，即4t .10 分分 所以由（1）得， 1212 4 ,16xxk x xk，所以 2 4 xk yk ，.11 分分 所以得2yx，即交点( , )M x y在直线2yx上.12 分分 20. 解：解： （1）设从,A B生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C， 设从,A B生产线上抽检到合格品分别为事件,MN，则,MN互为独立事件1 分 由已知有()P Mp，()21P Np且(0.51)p，则 2 ( )1()1()() 1 (1) 1 (21)1 2(1) P CP M NP MP N ppp 2 分 令 2 1 2(1)0.995p，即 2 (1)0.0025p，解得0.95p 3 分 故p的最小值 0 0.95p 4 分 （2）由（1）可知,A B生产线生产的产品为合格品的概率分别为0.95和0.9 高效冲刺用高考数学必备题型手册 第4页(共6页) 即,A B生产线的不合格品率分别为0.05和0.1 5 分 解法解法 1 1： 设从,A B生产线上各随机抽检 1000 件产品，抽到的不合格品件数分别为 12 ,XX， 则 1 (1000,0.05)XB， 2 (1000,0.1)XB 6 分 所以,A B生产线挽回损失的平均数分别为 1 (5)5 1000 0.05250EX （元） ， 2 (3)3 1000 0.1300EX （元）7 分 则 12 (5)(3)EXEX，估计B线挽回的平均损失较多8 分 解法解法 2 2： 由已知，A生产线上随机抽检 1000 件产品， 估计有不合格品1000 0.0550（件） ，可挽回损失：50 5250 （元） ；6 分 B生产线上随机抽检 1000 件产品， 估计有不合格品1000 0.1 100（件） ，可挽回损失：100 3300 （元）7 分 则估计B线挽回的平均损失较多 8 分 由已知，10, 8, 6X ，用样本的频率分布估计总体分布，则 203511 (10) 20040 P X ， 60401 (8) 2002 P X ， 20259 (6) 20040 P X 10 分 X的分布列为 X 10 8 6 P 11 40 1 2 9 40 11 分 111981 ()10868.1 4024010 E X （元） 故估计该厂产量 2000 件时利润的期望值为2000 8.1 16200（元） 12 分 21. 解： （1）( )f x的定义域为(,) 又 /( )x fxea 当0a 时，在(,) 上， /( ) 0fx ，( )f x是增函数，( )f x无极値； 当0a 时， /( ) 0fx 得lnxa 在(,ln )a上， /( ) 0fx ，( )f x是减函数； 在(ln ,)a 上， /( ) 0fx ，( )f x是增函数， 高效冲刺用高考数学必备题型手册 第5页(共6页) 所以当lnxa时，( )f x取得极小值(ln )lnlnfaaaaaaa，无极大值； 综合知：当0a 时，( )f x无极値； 当0a 时，( )f x有极小值(ln )lnfaaa，无极大值； （2）设 12 ,x x是( )f x的两个零点，则0a 即 12 ,x x是方程( )0f x 的根 所以 12 ,x x是方程 11 x x ae 的根 令 1 ( ) x x h x e 即 12 ,x x是函数( )h x与 1 y a 图像的交点的横坐标 又 / 2 (1) ( )0 xx xx exex h x ee ，得0 x 在(,0)上 /( ) 0h x ，( )h x是增函数；在(0,)上 /( ) 0h x ，( )h x是减函数， 所以：当0 x 时，( )h x取得极大値(0)1h 又当1x 时，( )0h x ；1x时，( )0h x 要使得函数( )h x与 1 y a 图像有两个交点，则 1 01 a 则1a 且 12 10 xx 12 0 xx 21 0 xx ，且 1 01x 要证 12 0 xx，即证 121 1 ()()( )hxh xh x a 又 1 2 1111 ()( )(1)10 x hxh xx ex 令 2 ( )(1)1( 10) x k xx exx 即证：( )0k x /222 ( )2(1)1(1 2 )1 xxx k xex ex e 令 /2 ( )( )(1 2 )1 x m xk xx e /222 ( )22(1 2 )4 xxx m xex exe 在( 1,0)上 /( ) 0m x ，( )m x是增函数，所以 / ( )( )(0)0m xk xm，则( )k x是减 函数，所以( )(0)0k xk成立 所以 12 0 xx成立. 22. 解：解： （1）依题意得曲线C的普通方程为 22 22 1 3 xy aa ，.2分 因为cos()2 2 4 所以cossin4，.3分 因为cosx，siny，.4分 所以直线l的直角坐标方程为4xy即40xy，.5分 高效冲刺用高考数学必备题型手册 第6页(共6页) （2）设点 ( cos , 3 sin)P aa，则点P到直线l的距离 cos3 sin4 2 aa d .7分 2 sin()4 6 2 a .8分 因为 0a，所以当sin( )1 6 时， max 24 3 2 2 a d ，.9分 所以1a.10 分 23. 解：解： （1） 31,1, ( )3, 11, 31,1. xx f xxx xx ( )yf x 的图像如图所示.5分 （2）由（1）知 min ( )( 1)2f xf，所以2m.6 分 所以 121 2(2 )() 2 abab ba .7 分 5 2 ab ba .8 分 59 2 22 a b b a .9 分 当且仅当 ab ba 即 2 3 ab 时等号成立， 所以2ab的最小值为 9 2 . .10 分 姓 名 考生号 考场号 座位号 选 择 题 答 题 区 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 二、填空题 13 14 15 16 三、解答题 17.（本小题满分 12 分） 2012019 9 年汕头市普通高考第二次模拟考试年汕头市普通高考第二次模拟考试理科数学答题卡理科数学答题卡 试卷类型 试卷 A 试卷 B 以下为非选择题答题区，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内按题号顺序作答，否则答案无效。以下为非选择题答题区，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内按题号顺序作答，否则答案无效。 注意事项： 1.在“条形码粘贴处”横贴条形码，注意不要超 出框外。 2.答题前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔 填写姓名、考生号、考场号和座位号。 3.用 2B 铅笔填涂信息点，正确方法是。信息 点框内必须涂满、涂黑，否则无效；修改时须 用橡皮擦干净。 4.考生必须根据监考员所发试卷的类型正确填 涂试卷类型信息点，否则答案无效。 5.作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 6.作答选做题时， 须将选做的试题号所对应的信 息点涂黑，漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 7.保持卡面清洁，不要折叠和弄破。 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 12 A B C D 条形码粘贴处 （请核对条形码上的考生号和姓名） 第第 1 面面 （共（共 6 面）面） 第卷 选择题 第卷 非选择题 监考员填涂缺考监考员填涂缺考 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 18.（本小题满分 12 分） 请勿在此处作任何标记或作答 第第 2 面面 （共（共 6 面）面） 姓 名 考生号