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2019年高考理科数学考前30天-计算题专训（十五）17（本小题满分12分）在中，内角，所对的边分别为，且（1）求角；（2）若，的面积为，求的值【解析】解：（1）由得，3分又，所以，得，所以分（2）由的面积为及得，即，8分又，从而由余弦定理得，所以，10分所以12分18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，为的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【解析】（1）证明：设为的中点，连接，因为为的中位线，所以，且又，所以，故四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面4分（2）解：设为的中点，因为，所以为等边三角形，故；因为，所以；又平面，所以，两两垂直；6分以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，；设为平面的一个法向量，则，即，令，则，9分又，所以，即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为12分19（本小题满分12分）是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的监测数据中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）（1）在这18个数据中随机抽取3个数据，求其中恰有2个数据为空气质量达到一级的概率；（2）在这18个数据中随机抽取3个数据，用表示其中不超标数据的个数，求的分布列及数学期望；（3）以这18天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量为二级【解析】解：（1）概率；3分（2）由题意，服从超几何分布：其中，的可能取值为0、1、2、3由，得，；6分所以的分布列为：0123得期望或用公式9分（3）由题意，一年中空气质量为二级的概率，所以一年（按天计算）中约有天的空气质量为二级12分20（本小题满分12分）已知椭圆：经过点，且两个焦点，的坐标依次为和（1）求椭圆的标准方程；（2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程【解析】解：（1）由椭圆定义得，即，又，所以，得椭圆的标准方程为4分（2）设直线的方程为，直线的方程与椭圆方程联立，消去得，当判别式时，得，6分设，因为点，在直线上，得，整理得，即，化简得；8分原点到直线的距离，由已知有是定值，所以有，解得，10分即当时，直线与以原点为圆心的定圆相切，此时，定圆的标准方程为12分21（本小题满分12分）已知函数（1）若函数在区间内单调递增，求的取值范围；（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立【解析】（1）解：的定义域为，1分若满足题意，只要在恒成立即可，即恒成立，又，所以4分（2）证明：，则的定义域为，若有两个极值
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